高等數(shù)學(xué)教案ch定積分

1、高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分第五章定積分教學(xué)目的：1、理解定積分的概念。2、掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。3、理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓一萊布尼茨公式。4、了解廣義積分的概念并會計算廣義積分。教學(xué)重點：1、定積分的性質(zhì)及定積分中值定理2、定積分的換元積分法與分部積分法。3、牛頓一萊布尼茨公式。教學(xué)難點：1、定積分的概念2、積分中值定理3、定積分的換元積分法分部積分法。4、變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5, 1定積分概念與性質(zhì)一、定積分問題舉例1 .曲邊梯形的面積曲邊梯形：設(shè)函數(shù)y(x)在區(qū)間a . b上非負(fù)、連續(xù)，由直線x=a、x=b、y=0及

2、曲線y=f (x)所圍成 的圖形稱為曲邊梯形.其中曲線弧稱為曲邊，求曲邊梯形的面積的近似值 ：將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形.每個小曲邊梯形都用一個等寬的小矩形代替.每個小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積.則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值.具體方法是：在區(qū)間a b中任意插入若干個分點a=X0 ： X1 ： x2 ：Xn 4 ： xn b把a b分成n個小區(qū)間xo .X1 . x1 .x2 . x2、X3、Jxnd .Xn .它們的長度依次為 LX1二X1刁0 .X2二X2刁1 “- Xn = Xn -Xn J .經(jīng)過每一個分點作平行于y軸的直線段.把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯

3、形在每個小區(qū)間Xi4.Xi上任取一點以Xi4.x i為底、f ()為高的窄矩形近似替代第i個窄曲邊梯形(i=1. 2. ,n).把這樣得到的n個窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積 A的近似值.即nA sf (巴1)&1 + f (巴2) &2 七十 f ( - n )Axn =藝 f (-i 2X .i#求曲邊梯形的面積的精確值：顯然分點越多、每個小曲邊梯形越窄所求得的曲邊梯形面積 A的近似值就越接近曲邊梯形面積A的精確值.因此.要求曲邊梯形面積 A的精確值.只需無限地增加分點.使每個小曲邊 梯形的寬度趨于零，記.上述增加分點.使每個小曲邊梯形的寬度趨于零.相當(dāng)于令-=max LX1 二X2

4、LXn .于是-0，所以曲邊梯形的面積為2.變速直線運動的路程設(shè)物體作直線運動.已知速度v(t)是時間間隔T 1 T 2上t的連續(xù)函數(shù).且v(t)_O.計算在這 段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S .求近似路程：我們把時間間隔Ti .T 2分成n個小的時間間隔 廿.在每個小的時間間隔 厲i內(nèi).物體運動看 成是均速的.其速度近似為物體在時間間隔.先內(nèi)某點i的速度V(.i).物體在時間間隔.自內(nèi)運動的距離近似為AS= v(亀)戊i ,把物體在每一小的時間間隔iti內(nèi)運動的距離加起來作為物體在時間間隔T i T 2內(nèi)所經(jīng)過的路程 S的近似值.具體做法是：在時間間隔T i .T 2內(nèi)任意插入若干個分點T 1

5、=t 0 ： t 1 ： t 2 ： ：t n：t n =T 2 .把T i T 2分成n個小段t 0 .t l . t 1 .t 2.訂tn.t n.各小段時間的長依次為Lt 1 =t 1 -t 0 Lt 2 t 2 -t 1t n t n t n相應(yīng)地.在各段時間內(nèi)物體經(jīng)過的路程依次為=S 1 lS S n .在時間間隔ti/.t i上任取一個時刻.i(t：j： ti).以.i時刻的速度V(，i)來代替ti/.t i上各 個時刻的速度.得到部分路程.Si的近似值.即也Si= v(ii) 4i(i=1 . 2 .，n),于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運動路程S的近似值.即nS

6、vCi)%i 4求精確值：記，max -t 1 ,t 2tn.當(dāng)，時.取上述和式的極限.即得變速直線運動的路程nS =lim 二 v( i) ：ti , -0 i d設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a b上非負(fù)、連續(xù)，求直線x=a、x=b、y=0 及曲線y寸(x)所圍成的曲邊梯形的面積.(1)用分點a汝o ：x1 ：x2 ：:Xn 4 ：xn =b把區(qū)間a b分成n個小區(qū)間 X0 .X1 . X1 .x2 .x2 .X3 . . xn 4 .Xn .記 xiNi-xi J (i =1 . 2. n).任取Xi 4 Xi.以Xi 4 Xi為底的小曲邊梯形的面積可近似為f(也x (i=1 .2 .n)；所

7、求曲邊梯形面積 A的近似值為nA：、f( )：Xi ,i 4記1 =max X .X2 .八xn.所以曲邊梯形面積的精確值為f( i，Xi設(shè)物體作直線運動.已知速度v二v(t)是時間間隔T 1 T 2上t的連續(xù)函數(shù). 且v(t) _0 .計算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S ,(1)用分點Ti 0：ti：:t2； rtntn二T2把時間間隔T 1 T2分成n個小時間 段：to.tl.tl、叮tntn* 記 Atidi-tiJL(i=1. 2.n),任取J ti J ti.在時間段ti J ti內(nèi)物體所經(jīng)過的路程可近似為v( .i)=ti(iW ： 2、.n)；所求路程S的近似值為nS ：、v(

8、.i) ti .i =1(3)記塞=max . :t.：t . . :tn.所求路程的精確值為二、定積分定義拋開上述問題的具體意義.抓住它們在數(shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括.就抽象出下述定積分的定義，定義 設(shè)函數(shù)f(x)在a b上有界.在a b中任意插入若干個分點a =x ： X1 ： x2 ：.:XnXn =b把區(qū)間a b分成n個小區(qū)間X0.X1 ：X1 .X2 . ： XnX .Xn.各小段區(qū)間的長依次為-X1 刁1Xo =X2=X2X1)Xn *.在每個小區(qū)間Xi- Xi上任取一個點i (Xi V ： i ： Xi).作函數(shù)值f ( i)與小區(qū)間長度=Xi的乘積f(?i) Zxi (

9、i=1 . 2dn).并作出和nS f ( i)申，i 二記鑿=max . xi LX2二xn.如果不論對a b怎樣分法.也不論在小區(qū)間xi-i .Xi上點i怎樣取法.只要當(dāng) Q時.和S總趨于確定的極限I .這時我們稱這個極限I為函數(shù)f (x)在區(qū)間a . b上 的定積分.記作ff(x)dx.bna f (x)dx =lim、f ( J . xi , 0i 4其中f (x)叫做被積函數(shù)f (x)dx叫做被積表達(dá)式x叫做積分變量 a叫做積分下限.b叫做積分上限.a .b叫做積分區(qū)間,定義 設(shè)函數(shù)f(x )在a.b上有界.用分點a-xo：xi嘆2：xn：xn-：b把a.b分成n個小區(qū)間:xo .x

10、i .xi .X2.xn.xn.記 Axi=xu(i=1、2 痔、n).任：Exi 丄.xi (i=i ： 2 ,冷n).作和nf( i)：Xi.i 4記=max .xi .歆2 . . .xn 如杲當(dāng)0時上述和式的極限存在且極限值與區(qū)間a . b的 b分法和i的取法無關(guān).則稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的定積分.記作.f(x)dx.abnf(x)dx = lim f( jx .a0 i A根據(jù)定積分的定義.曲邊梯形的面積為 A=ff(x)dx , 變速直線運動的路程為S = Tv(t)dt .1說明(1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān).而與積分變量的記法無關(guān).即f (x)da)

11、f(t)d bf(u)du .n和a f( ipKi通常稱為f (x)的積分和.如果函數(shù)f (x)在a b上的定積分存在.我們就說f (x)在區(qū)間a b上可積 函數(shù)f(x)在a b上滿足什么條件時f (x)在a b上可積呢？定理1 設(shè)f (x)在區(qū)間a b上連續(xù).則f (x)在a b上可積定理2 設(shè)f (x)在區(qū)間a b上有界.且只有有限個間斷點.則f (x)在a b上可積定積分的幾何意義：在區(qū)間a b上.當(dāng)f(x)_O時.積分：f(x)dx在幾何上表示由曲線y=f (x)、兩條直線x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積當(dāng)f(x)切時.由曲線y =f (x)、兩條直線x=a、x=b與x軸所

12、圍成的曲邊梯形位于x軸的下方.定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值bnnbaf(x)dx=liqi f( J. Xi = -limj -f( j). ：xa-f(x)dx .a7 4.- -Oi 4a當(dāng)f (x)既取得正值又取得負(fù)值時.函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸的上方.而其它部分在x軸的下方，如果我們對面積賦以正負(fù)號.在x軸上方的圖形面積賦以正號.在x軸下方的圖形面積賦以負(fù)號.則在一般情形下.定積分bf (x)dx的幾何意義為：它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線X 、x =b之間的各部分面積的代數(shù)和用定積分的定義計算定積分：例1.利用定義計算定積分0x2dx ,解 把區(qū)間0

13、.1分成n等份.分點為和小區(qū)間長度為Xi =丄(i=1 .n1) . 3 =(i=1 . 2y n),nn??；=L(i =1 . 2 * +, n).作積分和 nnnn(肌x 役xi 邁i 1i i =1 n n1 1,6n(n 1)(2n 1)詁(1 n)(2”因為.當(dāng)，一O時.n ；所以njx2dx=ljm 士 咕)儀=1計1+丄)(2+丄)=丄,0-已#n 匸6n n 3利定積分的幾何意義求積分例2 用定積分的幾何意義求0(1-x)dx ,解：函數(shù)y=1-x在區(qū)間0 . 1上的定積分是以y=1-X為曲邊.以區(qū)間0 . 1為底的曲邊梯形的面 積,因為以y=1 -x為曲邊.以區(qū)間0 . 1為

14、底的曲邊梯形是一直角三角形.其底邊長及高均為1 .所以0(1x)dx=1 仆兮-三、定積分的性質(zhì)兩點規(guī)定：r, b當(dāng)a時.f (x)dx =0 .當(dāng) ab 時.f f (x)dx=_f f (x)dx .性質(zhì)1函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和jf (x) _g(x)dx = f(x)dx_ g(x)dxbn證明：af(x)-g(x)dx=Xf(ig(小nn=lim f ( J g( J. ：xr y 017高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分性質(zhì)2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面即nb= klim f ( J二片=k f (x)dx , ：0ida則在整個區(qū)間上的定

15、積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之fkf (x)dx=k f (x)dx ,這是因為 fkf (x)dx=Lim E kf()Ax /Ti 二性質(zhì)如果將積分區(qū)間分成兩部分 和即：f(x)dx= ：f(x)dx C f (x)dx .這個性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性值得注意的是不論 a b c的相對位置如何總有等式af(x)dx = ：f(x)dx : f(x)dx成立.例如.當(dāng)abc時.由于f(x)dx :f(x)dx .于是有：f(x)dx 二：f(x)dx-：f(x)dx = ：f(x)dx ：f(x)dx .性質(zhì)4如果在區(qū)間a b上f (x)三1則x =b a性質(zhì)5如果在區(qū)間a b上

16、f (x) _0 .則：f(x)dx _0(a :b).推論1如果在區(qū)間a b上f (x)ilg(x)則：f(x)dx E ：g(x)dx(a :b).這是因為g (x)-f (x)_0.從而bbbag(x)dx-a f(x)dx = ag(x) -f(x)dx_O所以#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分ff(x)dx 訂g(x)dx .推論 2 | jf(x)dx|蘭f|f(x)|dx(ab), 這是因為-|f (x)| f (x) |f (x)| .所以-ajf(x)|da)f(x)dab|f(x)|dx.即 | ：f(x)dx|汀|f(x)|dx| .性質(zhì)6設(shè)M及m分別是

17、函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的最大值及最小值.則 m(ba)蘭(f (x)dx WM (b a) (ab),證明 因為m_f (x)_M .所以fmdx 蘭 ff(x)dxEfM d x.從而m(b -a)蘭 f f (x)dx 蘭M (b#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分性質(zhì)7(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù).則在積分區(qū)間a.b上至少存在一個點.使下式成立：f(x)dx = f( )(b-a).這個公式叫做積分中值公式證明由性質(zhì)6m(b -a)蘭 f f (x)dx M (b-a)各項除以b得mW jf（x）dxEM .b -a再由連續(xù)函數(shù)的介值定理.在

18、a b上至少存在一點-f（）沽:f（x）dx于是兩端乘以b得中值公式f(x)dx = f ( )(b-a),積分中值公式的幾何解釋 ：應(yīng)注意：不論ab .積分中值公式都成立9高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分S(T2) -S(Ti)及v(t)dt .5 2微積分基本公式一、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)物體從某定點開始作直線運動.在t時刻所經(jīng)過的路程為S(t).速度為v=v(t)=S(t)(v(t)_O).則在時間間隔.T2內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S可表示為#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分f(t)dt即Jv(t)dt 二S(T2)-S(Ti)11上式

19、表明.速度函數(shù)v(t)在區(qū)間T1 T2上的定積分等于v(t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間Ti T2上的增這個特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a.b上連續(xù).并且設(shè)x為a . b上的一點，我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間a.x 上的定積分:f(x)dx稱為積分上限的函數(shù).它是區(qū)間a b上的函數(shù).記為Q(x)(x)dx .或(x) =f (t)dt “定理1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上連續(xù).則函數(shù)(x) = f f(x)dx在a b上具有導(dǎo)數(shù).并且它的導(dǎo)數(shù)為G(x)+ af(t)dt=f(x)(a*b).dx a簡要證明若x (a .b).取X使(a.b)

20、,： - ：(X、x)-：(x) = a f(t)dt - af (t)dt應(yīng)用積分中值定理.有XT ( ) :x .其中在x與XIX之間Lx 0時x，于是:：J(xlim/. = lxmof( limxf()(x)若x=a .取匚x0 .則同理可證為亠(x) = f(a) 若x=b .取匚x0，證明函數(shù)F(x) =在(0 .=)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)證明：tf(t)dt=xf(x) 0xF(x)f)；f(t)dtf(x)；tf(t)dt(0xf(t)dt)2_f(x)；(x -t)f(t)dt(:f(t)dt)2#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分按假設(shè).當(dāng)0JO.(x)f (t)0 .所以:f(t)dt

21、.0 .(X(x-t)f(t)dt 0 .從而F (x)0 (x0).這就證明了 F (x)在(0 .；)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)例7.求limxte*dtosx解：這是一個零比零型未定式limx )01cosxe2dtlimx一0cosx-1 e_L2dtx)02x 2e 提示：設(shè) (x) = fedt .則(cosxxe2dt ,1 e dt d (cosx) d (u)=e2 (-sinx) = -sinxxdx 1dxdu dx13高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分5,3定積分的換元法和分部積分法一、換元積分法定理假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上連續(xù).函數(shù)xC(t)滿足條件：(：)=a .(2)：(t)在

22、:.-(或.：)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).且其值域不越出a b.則有2#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分2#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分這個公式叫做定積分的換元公式，證明由假設(shè)知f(x)在區(qū)間a b上是連續(xù).因而是可積的f (t)在區(qū)間:.工或.：)上也是連續(xù)的.因而是可積的，假設(shè)F(x)是f (x)的一個原函數(shù).則2#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分2#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分因此:f(x)dxf(t)(t)dt .另一方面.因為F (t)豐(t) t) = f (t) (t).所以 F ：(t)是 f :(t) : (t)的一個原函數(shù).從而.f ：(t)b：(t)dt =F C ) -F G )=F(b)-F(a).2

23、#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分2#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分acost acostdtza sin t例 1 計算 0 a2 -x2dx (a0).2#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分2#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分dt t5dt提不：=a2x2a2 - a2s in21=a costdxpcos t ,當(dāng) x=0 時 t=0.當(dāng)x=a時 t 二二2ji例 2 計算 o2 cos5xsinxdx .解令t =cos x則nji、2 cos5 x sin xdx2 cos5 xd cosx2#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分2#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分提示：當(dāng)x=0時t=1 .當(dāng)x二時t=02#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分.

24、7T55cos5 x sin xdx2 cos5 xd cosx“6cos6x介寺os6。 icos6i 例 3 計算 0lsin 3x-sin5 xdx解 0；sin3xsin5xdx = 0 sinx|cosx|dx3 - 3孑 sin2 xcosxdx - -sin2 xcosxdx-Il 3J7 3=02 sin2 xd sin x sin2 xd sin x2=|sin2xf -|sin2 X空=2 _(_)=害5052555 3提示：in3 x-sin5x = . sin3 x(1-sin2x)二sin： x|cosx| ,在0 上 |cos x|=cos x .在，兀上 |cos

25、 x|=cos x, 2 2例4計算J嚴(yán)#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分解為xHx亠t2 X +2十 tdt 弓：(t2 3)dt#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分冷*3枱】：冷哼切電+3)】=年2提示：.dxhdt 當(dāng) xn 時曰當(dāng) xm 時 t=3例5證明：若f (x)在-a a上連續(xù)且為偶函數(shù).則J(x)dx=20 f(x)dx .證明 因為 ；f(x)dx = l f(x)dx 0 f (x)dx .-a- ao:f(x)dx* -：f (T)dt=： f(7)dt=； f (-x)dx .所以:f(x)dx = ； f(_x)dx 0 f (x)

26、dx=：f (-X) f(x)dx= 2f(x)dx=2；f(x)dx .若f(x)在-a a上連續(xù)且為奇函數(shù)a.冋af(x)dx= ？提示：若f(X)為奇函數(shù).則f (x) f (x) =0 .從而 aa(x)dx = 0 f(x) f (x)dx =0 ,例6若f (x)在0 . 1上連續(xù).證明H兀(1) 02 f (sin x)dx = 02 f (cosx)dx(2) o xf (sinx)dx=0 f(sin x)dx ,證明令x t貝y202 f(sin x)dx fsin(虧-t)dt2 2It二 02 f sin( -t)dt 二 02 f(cosx)dx .令x -二-t.則

27、0 xf (sin x)dx -(二-t) f sin(二-t)dt=0(二-t)fsin(二-t)dt = 0 (二-t)f (sin t)dt=tl 0f (sint)dt (sin t)dt =0 f (sin x)dx-0 xf(sin x)dx .所以 0 xf (sin x)dx=q 0 f(sin x)dx . 2xe x 約4例7設(shè)函數(shù)f(x)H岸一-xa ,如果極限存在.則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間玄耘)上的反常積分.記作 廣f(x)dx .即a 冷(xgjirn；：f(x)dx .#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分這時也稱反常積分af(x)dx收斂,

28、.此時如果上述極限不存在.函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a.母)上的反常積分(f(x)dx就沒有意義 稱反常積分a*f(x)dx發(fā)散,類似地.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(二b 上連續(xù).如果極限lim ff(x)dx(a0).0 tetdt 4 tedtb ：=tde。： p二-1 te 1 edt。一:P P4-1tepJ2et0-：P Plim teA12 =-2 -t； ： ： P pp p提示： lim telim lim =0 .tT說tT址pt J說 pept例3討論反常積分七U*dx(a0)的斂散性,X解 當(dāng)p=1時.a乞pdx = Ldx =|門乂嚴(yán)=亦,當(dāng) p1時：2dx珂占X1嚴(yán)/ ；.a

29、 xp 1pp11 _p因此.當(dāng)p1時.此反常積分收斂.其值為a 當(dāng)P叩時 此反常積分發(fā)散p =二、無界函數(shù)的反常積分定義2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a b上連續(xù).而在點a的右鄰域內(nèi)無界.取0 .如果極限limj f (x)dxt：a t存在.則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a.b上的反常積分.仍然記作ff(x)dx .即f f (x)dx = lim.：f (x)dx .這時也稱反常積分ff(x)dx收斂,如果上述極限不存在.就稱反常積分af(x)dx發(fā)散，類似地.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a b)上連續(xù).而在點b的左鄰域內(nèi)無界，取0 .如果極限lim f (x)dxib- a存在.則稱此極限為函數(shù)f(x)在a.b)上的反常積分.仍然記作ff(x)dx .即ff (x)dx=tJim_f f (x)dx ,這時也稱反常積分ff(x)dx收斂如果上述極限不存在.就稱反常積分f(x)dx發(fā)散設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上除點c(acb)外連續(xù).而在點c的鄰域內(nèi)無界如果兩個反常積分a f (x)dx 與 cf(x)dx21高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分高等數(shù)學(xué)教案 都收斂.則定義：f(x)dx= ：f(x)dx ：f(x)dx ,否則.就稱反常積分 f f (x)dx發(fā)散