高中數(shù)學(xué)必修4兩角差的余弦公式

1、課題： 兩角差的余弦公式教材：人教A版 數(shù)學(xué)必修4一、教學(xué)目標(biāo)：1.探究并糾正常犯的直覺(jué)性錯(cuò)誤；2.探究并理解用單位圓上的三角函數(shù)線推導(dǎo)兩角差的余弦公式；3.探究并理解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式；4.掌握兩角差的余弦公式的初步運(yùn)用.二、教學(xué)重難點(diǎn)： 重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立探索和討論交流，導(dǎo)出兩角差的余弦公式難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索與證明三、教學(xué)方法與手段：1.在教學(xué)中可以利用多媒體動(dòng)態(tài)演示“用單位圓上的三角函數(shù)線推導(dǎo)兩角差的余弦公式”以及“用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式”的過(guò)程，結(jié)合課件配合教學(xué)。2.利用課件中的單位圓及線段、角度等，可以清晰的演示出公式的探索過(guò)程。四、教學(xué)過(guò)程

2、： 教學(xué)過(guò)程提出問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖學(xué)生活動(dòng)一、引入1.計(jì)算猜想，是不是等于呢？通過(guò)具體例子體會(huì)差角的余弦是否等于余弦值之差學(xué)生動(dòng)筆計(jì)算，驗(yàn)證2.是否等于？由特殊到一般，明確直覺(jué)性的錯(cuò)誤出錯(cuò)原因，體會(huì)“恒等”的含義學(xué)生動(dòng)腦，動(dòng)手驗(yàn)證二、三角函數(shù)線推導(dǎo)方法3.三角函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中我們知道，等于角與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以用角的余弦線來(lái)表示。怎樣構(gòu)造角和角？復(fù)習(xí)三角函數(shù)線的有關(guān)知識(shí)學(xué)生畫(huà)單位圓，作出相關(guān)角的余弦線4.怎樣作出角的余弦線以及角的正弦線、余弦線？怎樣利用幾何直觀尋求OM的表示式？使學(xué)生從直觀角度加強(qiáng)對(duì)差角公式結(jié)構(gòu)的形式特征，探索用三角函數(shù)線表示學(xué)生結(jié)合單位圓，親自探索5.思考：上面的推導(dǎo)是否有

3、不嚴(yán)謹(jǐn)之處？是否存在特殊性？培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，體會(huì)所舉例的特殊性，能否推廣到一般情況師生共同作答：推導(dǎo)過(guò)程是在都是銳角，且的情況下得到的。同學(xué)們可以課后動(dòng)手試證明對(duì)任意角，都成立三、向量數(shù)量積推導(dǎo)方法6. 我們來(lái)仔細(xì)觀察猜想的結(jié)構(gòu)，等式的左邊是差角的余弦，我們?cè)谑裁吹胤揭?jiàn)到過(guò)類(lèi)似結(jié)構(gòu)？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，提出證明方法學(xué)生思考回答：向量的數(shù)量積7.應(yīng)選擇哪幾個(gè)向量，它們?cè)趺幢硎荆吭鯓永孟蛄繑?shù)量積的概念和計(jì)算公式得到探索結(jié)果？讓學(xué)生經(jīng)歷用向量知識(shí)解出數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量方法的作用根據(jù)老師的引導(dǎo)和觀察動(dòng)態(tài)課件，學(xué)生共同探索，明確應(yīng)選擇哪幾個(gè)向量，具體怎樣表示，怎樣利用數(shù)量積的計(jì)算得到探索結(jié)果8

4、.對(duì)以上推導(dǎo)是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處？若有，請(qǐng)作出補(bǔ)充.培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，小心求證實(shí)例中討論的存在取值范圍0，如一般情形，是否仍然成立，留學(xué)生思考，課后進(jìn)一步完善四、歸納結(jié)論9.小結(jié)：對(duì)比一下兩種證明方法，你認(rèn)為哪種更簡(jiǎn)單？ 對(duì)比和理解兩種探索方法的思路，并了解探究過(guò)程應(yīng)遵循的原則學(xué)生小結(jié)、比較兩種方法。用單位圓上的三角函數(shù)線推導(dǎo)可從直觀角度加強(qiáng)對(duì)差角公式的認(rèn)識(shí)，用向量推導(dǎo)突出向量運(yùn)算的威力，過(guò)程簡(jiǎn)潔。小結(jié)，得出公式：對(duì)于任意角都有五、例題10.例1：利用差角余弦公式求的值。變式題：利用差角余弦公式求的值。本例是通過(guò)應(yīng)用理解公式的基本練習(xí)，應(yīng)注意（1）具體的角應(yīng)適當(dāng)拆分成差角的形式（2）拆分的情

5、況可能不唯一（3）思考變式問(wèn)題，計(jì)算可由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)換成求的余弦得到，啟發(fā)學(xué)生多角度看問(wèn)題求解過(guò)程可由學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行，教師適當(dāng)點(diǎn)評(píng)，規(guī)范步驟，教師黑板板演學(xué)生自己動(dòng)手算第二種方法，做到邊學(xué)邊練，并練習(xí)加以引申的題目。11.例2：已知，是第三象限角，求的值。變式題：若將例2的條件去掉，該題如何解答？差角余弦公式的進(jìn)一步熟練運(yùn)用，應(yīng)使學(xué)生體會(huì)：（1）應(yīng)用差角公式應(yīng)做的必要準(zhǔn)備（2）結(jié)合相應(yīng)角的取值范圍確定角的正余弦值 正確運(yùn)用公式計(jì)算差角的余弦，學(xué)生先作答，教師對(duì)答題中出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行修正，明確規(guī)范答題的步驟變式題對(duì)題目加以引申，若去掉這個(gè)條件，應(yīng)進(jìn)行分類(lèi)討論完成六、課堂小結(jié)12.通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)

6、你有哪些收獲?自我小結(jié)本節(jié)課的收獲，讓學(xué)生通過(guò)小結(jié)，加深對(duì)公式及其推導(dǎo)過(guò)程的理解師生共同歸納：本節(jié)課用單位圓上的三角函數(shù)線和向量的數(shù)量積兩種方法推導(dǎo)出兩角差的余弦公式。理解和掌握探索的過(guò)程，可引導(dǎo)學(xué)生從兩方面進(jìn)行小結(jié)：（1）對(duì)公式的探索過(guò)程，用到了哪些知識(shí)，怎樣探索并完善的；（2）認(rèn)識(shí)差角余弦公式的結(jié)構(gòu)特征，能表述變換過(guò)程。五、課后練習(xí)1利用兩角差的余弦公式，求 設(shè)計(jì)意圖：題型同例1，評(píng)價(jià)學(xué)生是否正確記憶并使用公式。2化簡(jiǎn)求值：設(shè)計(jì)意圖：評(píng)價(jià)學(xué)生能否掌握公式的逆用，從反方向上正確運(yùn)用公式化簡(jiǎn)求值。第（2）小題需要根據(jù)公式右邊的特點(diǎn)，先分別將化成同角的余、正弦。3已知在第二象限，求設(shè)計(jì)意圖：題型

7、同例2，評(píng)價(jià)學(xué)生是否正確掌握并運(yùn)用公式。學(xué)生需要思考使用公式前應(yīng)作出的必要準(zhǔn)備，結(jié)合同角三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算。4，求設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本題評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)差角公式掌握情況，以及靈活運(yùn)用情況，難度較大?？疾鞂W(xué)生將拆分為兩個(gè)已知角之差：，由已知角的范圍進(jìn)一步求的正、余弦值，的余弦值，需要結(jié)合同角三角函數(shù)的知識(shí)運(yùn)算。附：教案說(shuō)明1、本節(jié)課中，兩角差的余弦公式的推導(dǎo)是本節(jié)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，尤其要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)主動(dòng)參與，獨(dú)立探索，試著自己歸納結(jié)論。有些學(xué)生往往重“結(jié)論”，輕“過(guò)程”，只記憶結(jié)論，而輕視公式、定理的推導(dǎo)過(guò)程，而這往往是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維嚴(yán)密性及邏輯關(guān)系的一個(gè)部分，也恰恰是最能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的。教學(xué)中可側(cè)重分析公式的結(jié)構(gòu)特征，引起學(xué)生尋求適當(dāng)方法推出公式的欲望，教師應(yīng)在引導(dǎo)上多下功夫。配合ppt課件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，可以收到較好的效果。2、對(duì)于例1，例2的教學(xué)，應(yīng)通過(guò)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，使學(xué)生能逐步熟記公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，正確運(yùn)用公式化簡(jiǎn)求值。可啟發(fā)學(xué)生，在具