空間兩條直線的位置關(guān)系

1、空間兩條直線的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一 空間兩條直線的位置關(guān)系1異面直線 定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩直線叫做異面直線。 特點(diǎn)：既不相交，也不平行。理解：“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，指這兩條直線永不具備確定平面的條件，因此，異面直線既不相交，也不平行，要注意把握異面直線的不共面性。“不同在任”也可以理解為“任何一個(gè)平面都不可能同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩條直線”。不能把異面直線誤解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線也就是說(shuō)，在兩個(gè)不同平面內(nèi)的直線，它們既可以是平行直線，也可以是相交直線2空間兩條直線的位置關(guān)系 相交在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 平行在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)； 異面不同在任何個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共

2、點(diǎn)例1、正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論： 直線AM與CC1是相交直線； 直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線； 直線AM與DD1是異面直線其中正確的結(jié)論為_(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)答案：例2、異面直線是指_ 空間中兩條不相交的直線； 分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線； 平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線；不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線變式1、一個(gè)正方體中共有對(duì)異面直線知識(shí)點(diǎn)二 平行直線1公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.abbcÞac符號(hào)表示： ABCDB11A1C1B1D1ABCDEF

3、2等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等. 例3、如圖在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，求證：EFA1C1.ABCDEFGHABCDEFGH折疊變式1、如圖E、F、G、H是平面四邊形ABCD四邊中點(diǎn)，四邊形EFGH的形狀是平行四邊形嗎？為什么？如果將ABCD沿著對(duì)角線BD折起就形成空間四邊形ABCD，那么四邊形EFGH的形狀還是平行四邊形嗎？E1EA1C1B1D1ABCD1例4、如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E1、E分別為A1D1、AD的中點(diǎn)，求證：C1E1B1=CEB知識(shí)點(diǎn)三 異面直線1、 異面直

4、線的畫法：為了充分顯示出它們既不平行又不相交的特點(diǎn)，常常需要以輔助平面作為襯托，以加強(qiáng)直觀性，如下圖(l)，若畫成如下圖(2)的情形，就分不開了，千萬(wàn)不能畫成(2)的圖形。畫平面襯托時(shí)，通常畫成下圖中的情形。2、異面直線的判定異面直線判定定理：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線 判定兩條直線為異面直線的常用方法有：定義法：不同在任一平面內(nèi)的兩條直線定理法：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線為異面直線 推論法：一條異面直線上兩點(diǎn)與另一條異面直線上兩點(diǎn)所連成的兩條直線為異面直線 反證法：反證法是證明立體幾何問(wèn)題的一種重要方法，證明步驟有

5、三步：一是提出與結(jié)論相反的假設(shè)；二是由此假設(shè)推出與題目條件或某一公理、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾結(jié)果；三是推翻假設(shè)，從而肯定與假設(shè)相反的結(jié)論，即命題的結(jié)論成立，3、異面直線所成的角 a與b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線aa，b /b，直線a和b 所成的銳角（或直角）叫做異面直線a，b所成的角如下圖所示異面直線所成角的范圍是0°<90°； (2)為了求異面直線a，b所成的角，可以在空間中任取一點(diǎn)O，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常常取這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn)，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)或異面直線連線中點(diǎn)，也可以是異面直線中某一條上的一個(gè)特殊點(diǎn). 將這個(gè)角放入某個(gè)三角形中計(jì)

6、算這個(gè)角的大小，若該三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小. (3)我們規(guī)定：兩條平行直線所成的角為0°角，兩條相交直線所成的角為這兩條相交直線所成的四個(gè)角中的銳角（或直角），因此在空間中的兩條直線所成的角的范圍為(0°，90°；特別地，若兩異面直線所成角為90°，則稱兩異面直線互相垂直； (4)求異面直線所成角的一般步驟是： 構(gòu)造恰當(dāng)?shù)剡x擇一個(gè)點(diǎn)，用平移法構(gòu)造異面直線所成的角 證明 證明中所作出的角就是所求異面直線所成的角， 計(jì)算通過(guò)解三角形（常用余弦定理）等知識(shí)，求中所構(gòu)造的角的大小，結(jié)論假如所構(gòu)造的角的大小為，若0°

7、<90°，則即為所求異面直線所成角的大小；若90°<<180°，則180°即為所求。例5、已知平面，直線直線，求證：直線a和b是異面直線例6、如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，問(wèn)： (1)AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由解：(1)不是異面直線理由如下：M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，MNA1C1.又A1AD1D，而D1DC1C，A1AC1C，A1ACC1為平行四邊形，A1C1AC，得到MNAC，A，M，N，C在同一個(gè)平面內(nèi)，故AM和CN

8、不是異面直線(2)是異面直線理由如下：假設(shè)D1B與CC1在同一個(gè)平面D1CC1內(nèi)，則B平面CC1D1，C平面CC1D1，BC平面CC1D1，這與BC是正方體的棱相矛盾，假例7、如圖21218，已知不共面的三條直線a，b，c相交于點(diǎn)P，Aa，Ba，Cb，Dc，求證：AD和BC是異面直線 證法一：（反證法）：假設(shè)AD和BC共面，所確定的平面為，那么點(diǎn)P、A、B、C、D都在平面內(nèi)， 直線a、b、c都在平面內(nèi)，與已知條件a、b、c不共面相矛盾 AD與BC是異面直線 證法二：（直接用判定定理）： acP， a和c確定一個(gè)平面，設(shè)為，巳知CÏ平面，B平面，ADÌ平面，BÏAD

9、， AD和BC是異面直線 變式1、 如圖21219，a，b是異面直線，A、Ba，C、Db，E、F分別為線段AC和BD的中點(diǎn)，判斷直線EF和a的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論答案：EF和a是異面直線，可用反證法證明例8、正方體ACl中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1Cl的中點(diǎn)，求異面直線DB1與EF所成角的大小。變式1、空間四邊形ABCD中，E、F分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)，若BCAD2EF，求直線EF與直線AD所成的角。 例9、直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于A30° B45° C60° D90°解：C變式1、已知空間四邊形ABCD各邊長(zhǎng)相等，求異面直線

10、AB和CD所成 的角的大小.解：異面直線AB、CD成90°角.鞏固練習(xí)：一、 判斷題1. 若三條直線兩兩平行，則這三條直線必共面 ( )2. 互不平行的兩條直線是異面直線 ( )二、 單選題1. 關(guān)于異面直線，有下列3個(gè)命題：分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩直線是異面直線平面內(nèi)的一直線與平面外的一直線是異面直線都不在某一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線其中真命題的個(gè)數(shù)是A0 B1 C2 D32. 直線a、b是兩條異面直線，A、B與C、D分別為直線a、b上不同的點(diǎn)，則直線AC與BD的關(guān)系是A可能相交 B可能平行 C異面 D相交或異面3. 兩條異面直線指的是A在空間不相交的兩條直線 B分別位于兩個(gè)不同

11、平面內(nèi)的兩條直線C一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線 D不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線4. 下列命題中，真命題的是A兩兩相交的三條直線共面 B兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線共面C不共面的四點(diǎn)中可以有三點(diǎn)共線 D邊長(zhǎng)相等的四邊形一定是菱形5. 空間兩條互相平行的直線，指的是A在空間沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線B分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線C位于同一平面內(nèi)且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線D分別與第三條直線成等角的兩條直線6. 平面M、N相交于EF，分別在平面M、N內(nèi)作EAC=FBD，則AC和BD的關(guān)系是A異面 B平行 C相交 D不確定7. 直線a和b是異面直線，直線ca，那么b與cA異面 B不異面 C相交 D

12、異面或相交8. 如果一條直線和兩條異面直線都相交，那么它們可確定A4個(gè)平面 B3個(gè)平面C2個(gè)平面 D1個(gè)平面9. 若m和n是異面直線，n和l也是異面直線，則A當(dāng)ml=時(shí)，m與l異面 Bml=C當(dāng)m與l共面時(shí)，ml Dm與l相交、異面、平行都可能10若P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則()A過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都平行B過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都垂直C過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都相交D過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都異面11過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作()A1條 B2條 C3條 D4條三、 填

13、空題1. “直線a、b異面”的否定說(shuō)法是“_”2. 不平行的兩條直線的位置關(guān)系是_3. “直線a、b相交”的否定說(shuō)法是“_”4. 過(guò)已知直線外一點(diǎn)，可以作_條直線與已知直線垂直5. 分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是_6. 已知直線a和b是異面直線，直線c和a平行而不和b相交，則c和b的位置關(guān)系是_7. 直線a、b確定一個(gè)平面，則a、b的位置關(guān)系是_8. “直線a、b異面”還可以說(shuō)成“直線a、b既不_，又不_”9. 空間有三條直線a、b、c，如果ba，ca，那么直線b、c的位置關(guān)系是_10. 和兩條異面直線中的一條相交的直線與另一條直線的位置關(guān)系是_11. 已知直線a、b、c滿足ab，b與

14、c是異面直線，則a與c的位置關(guān)系是_12. 正方體ABCDA1B1C1D1中，與側(cè)面對(duì)角線AD1成異面直線的棱共有_條，它們分別是_13. 正方體ABCDA1B1C1D1中，與棱AB成異面直線的棱共有_條，它們分別是_14. 正方體的12條棱中，互為異面直線的有_對(duì).答案一、 判斷題1. ×2. ×二、 單選題1. A 2. C 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10.B 11.D三、 填空題1. a、b共面 2. 相交或異面 3. a、b不相交或a、b無(wú)公共點(diǎn)4. 無(wú)數(shù) 5. 平行或相交或異面 6. 異面 7. 相交或平行 8. 相交，

15、平行9. 平行或相交或異面 10. 相交或平行或異面 11. 相交或異面12. 6；BC，B1C1，BB1，CC1，DC，A1B1 13. 4；A1D1，B1C1，CC1，DD114. 24空間兩條直線的位置關(guān)系1. 已知直線都在平面外, 則下列推斷錯(cuò)誤的是（ ）A BC D【答案】C2. 已知直線l平面，P，那么過(guò)點(diǎn)P且平行于l的直線()A只有一條，不在平面內(nèi)B只有一條，在平面內(nèi)C有兩條，不一定都在平面內(nèi)D有無(wú)數(shù)條，不一定都在平面內(nèi)【答案】B3. 下列命題正確的是（ ）A若兩條直線與同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面C若一

16、條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行【答案】C4. 下列四個(gè)條件中,能確定一個(gè)平面的是（ ）A. 一條直線和一個(gè)點(diǎn) B.空間兩條直線C. 空間任意三點(diǎn) D.兩條平行直線【答案】D5. 在平整的地面上任意放一根筆直的鋼管,則在地面上必存在直線與鋼管所在的直線()A.平行 B.相交 C.異面 D.垂直【答案】D6. 平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系（ ）A平行 B相交 C異面 D平行、相交或異面【答案】D7. 下列命題中，錯(cuò)誤的是()A三角形的兩條邊平行一個(gè)平面，則第三邊也平行于這個(gè)平面B平面 平面，a，過(guò)內(nèi)的一點(diǎn)B有惟一的一

17、條直線b，使ba.C，、的交線為a、b、c、d，則abcd.D一條直線與兩個(gè)平面所成角相等，則這兩個(gè)平面平行【答案】D8. 直線不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（ ）A內(nèi)所有直線與異面 B內(nèi)不存在與平行的直線C內(nèi)存在唯一的直線與平行 D內(nèi)的直線與都相交【答案】B9. 正三棱錐P-ABC的高為2，側(cè)棱與底面所成的角為450，則點(diǎn)A到側(cè)面PBC的距離是（ ）A. B. C. D.【答案】D10. 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值是（ ）A B C D【答案】D11. 已知直線，平面，且，給出下列四個(gè)命題：若，則；

18、若，則；若，則；若，則其中真命題的個(gè)數(shù)為( )A1 B2 C3 D4【答案】B12. 設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不重合的平面，給定下列四個(gè)命題：若，則； 若，則；若，則； 若，則其中真命題的是（ ）A和 B和 C和 D和【答案】B13. 如圖，在正四棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是（ ）ABCFA與垂直B與垂直 C與異面D與異面【答案】D14. 異面直線a、b，ab，c與a成30°角，則c與b成角的范圍是( )A. B. C. D. 【答案】A15. 在正方體A1B1C1D1ABCD中，AC與B1D所成的角的大小（ ）ABCD【答案】D16. 已知空間直角坐標(biāo)系中，

19、O為原點(diǎn)，A（0，0，3），B（0，4，0），C（5，0，0）則經(jīng)過(guò)O、A、B、C四點(diǎn)的球的體積為（ ）ABCD【答案】17. 設(shè)m,n是兩條不同直線,是兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題若若若其中正確的命題是( )A.B.C.D.【答案】D18. 已知直線和平面，（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】D19. 在下列條件下，可判斷平面與平面平行的是（ ）A. 、都垂直于平面B. 內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)到的距離相等C. l,m是內(nèi)兩條直線且l,mD. l,m是異面直線,且l,m,l,m 【答案】D20. 設(shè)是空間兩條不同直線，是空間兩個(gè)不同平面，當(dāng)時(shí),下列命題正確的是A若，則 B若，則C若，則

20、 D若，則【答案】C21. 已知直線、,平面，則下列命題中：若，,則 若，,則若，,則 若，, ,則，其中真命題有（ ）A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)【答案】B22. 如圖1所示，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，如圖2所示，那么，在四面體AEFH中必有()AAHEFH所在平面 BAGEFH所在平面CHFAEF所在平面 DHGAEF所在平面【答案】A23. 如圖，平行四邊形ABCD中，ABBD，沿BD將ABD折起，使面ABD面BCD，連接AC，則在四面體ABCD的四個(gè)面中，

21、互相垂直的平面的對(duì)數(shù)為（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C24. 棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N分別在線段AB1,BC1上,且AM=BN,給出以下結(jié)論:AA1MN 異面直線AB1,BC1所成的角為60° 四面體B1-D1CA的體積為A1CAB1,A1CBC1,其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A4 B3C2D1【答案】A 25. 已知一平面平行于兩條異面直線，一直線與兩異面直線都垂直，那么這個(gè)平面與這條直線的位置關(guān)系是()A平行 B垂直 C斜交 D不能確定【答案】B26. 已知兩個(gè)不重合的平面，給定以下條件：內(nèi)不共線的三點(diǎn)到的距離相等；是內(nèi)的兩條直線，且；是兩條異面

22、直線，且；其中可以判定的是 （ ）A B C D【答案】D27. 如圖所示，在空間四邊形ABCD中，ABBC，CDDA，E、F、G分別為CD、DA和AC的中點(diǎn)求證：平面BEF平面BGD.【答案】ABBC，CDAD，G是AC的中點(diǎn)，BGAC，DGAC.AC平面BGD.又EFAC，EF平面BGD.又EF？平面BEF，平面BDG平面BEF. 28. 已知三條不重合的直線，兩個(gè)不重合的平面，有下列命題：若，且，則 若，且，則若，則 若，則其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A4 B3 C2 D1【答案】C29. 若M、N分別是ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，MN與過(guò)直線BC的平面的位置關(guān)系是（ ）A.MN B.MN與相交或MN C. MN或MN D. MN或MN與相交或MN【答案】C30. 空間三條直線互相平行,由每?jī)蓷l平行線確定一個(gè)平面,則可確定平面的個(gè)