第1屆初二第2試

1、希望杯第一屆（1990）第二試試題一、選擇題:（每題1分，共5分） 1.等腰三角形周長是24cm，一腰中線將周長分成53的兩部分，那么這個(gè)三角形的底邊長是 A7.5B12. C4.D12或42.已知P=，那么P的值是 A1987B1988. C1989D19903abc，xyz，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，則有 AMPN且MQN. BNPM且NQMCPMQ且PNQ. DQMP且QNP4凸四邊形ABCD中，DAB=BCD=900, CDAABC=21,ADCB=1,則BDA= A30°B45°. C60°.

2、 D不能確定5把一個(gè)邊長為1的正方形分割成面積相等的四部分，使得在其中的一部分內(nèi)存在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)邊長大于1的正三角形，滿足上述性質(zhì)的分割 A是不存在的. B恰有一種. C有有限多種，但不只是一種. D有無窮多種二、填空題:（每題1分，共5分）1 ABC中，CAB-B=90°，C的平分線與AB交于L，C的外角平分線與BA的延長線交于N已知CL=3，則CN=_2 若,那么的值是_.3 已知a，b，c滿足a+b+c=0，abc=8，則c的取值范圍是_4 ABC中, B=300,AB=,BC=,三個(gè)兩兩互相外切的圓全在ABC中，這三個(gè)圓面積之和的最大值的整數(shù)部分是_5

3、 設(shè)a,b,c是非零整數(shù),那么的值等于_.三、解答題:（每題5分，共15分）1從自然數(shù)1，2，3，354中任取178個(gè)數(shù)，試證：其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差是1772平面上有兩個(gè)邊長相等的正方形ABCD和ABCD，且正方形ABCD的頂點(diǎn)A在正方形ABCD的中心當(dāng)正方形ABCD繞A轉(zhuǎn)動時(shí)，兩個(gè)正方形的重合部分的面積必然是一個(gè)定值這個(gè)結(jié)論對嗎？證明你的判斷3用1，9，9，0四個(gè)數(shù)碼組成的所有可能的四位數(shù)中，每一個(gè)這樣的四位數(shù)與自然數(shù)n之和被7除余數(shù)都不為1，將所有滿足上述條件的自然數(shù)n由小到大排成一列n1n2n3n4，試求：n1·n2之值答案與提示一、選擇題提示：1若底邊長為12則其他二邊之

4、和也是12，矛盾故不可能是(B)或(D)又：底為4時(shí)，腰長是10符合題意故選(C)=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883只需選a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于這時(shí)M=2，N=-2，P=-1，Q=-1從而選(A)4由圖6可知：當(dāng)BDA=60°時(shí)，CDB5如圖7按同心圓分成面積相等的四部分在最外面一部分中顯然可以找到三個(gè)點(diǎn)，組成邊長大于1的正三角形如果三個(gè)圓換成任意的封閉曲線，只要符合分成的四部分面積相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三個(gè)點(diǎn)，使得組成邊長大于1的正三角形故選(D) 二、填空題

5、提示：1如圖8：NLC=B+1=CAB-90°+1=CAB-3=NNC=LC=35當(dāng)a，b，c均為正時(shí)，值為7當(dāng)a，b，c不均為正時(shí)，值為-1三、解答題1證法一 把1到354的自然數(shù)分成177個(gè)組：(1，178)，(2，179)，(3，180)，(177，354)這樣的組中，任一組內(nèi)的兩個(gè)數(shù)之差為177從1354中任取178個(gè)數(shù)，即是從這177個(gè)組中取出178個(gè)數(shù)，因而至少有兩個(gè)數(shù)出自同一個(gè)組也即至少有兩個(gè)數(shù)之差是177從而證明了任取的178個(gè)數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)，它們的差是177證法二 從1到354的自然數(shù)中，任取178個(gè)數(shù)由于任何數(shù)被177除，余數(shù)只能是0，1，2，176這177種之

6、一因而178個(gè)數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)a，b的余數(shù)相同，也即至少有兩個(gè)數(shù)a，b之差是177的倍數(shù)，即a-b=k×177又因1354中，任兩數(shù)之差小于2×177=354所以兩個(gè)不相等的數(shù)a，b之差必為177即a-b=177從自然數(shù)1，2，3，354中任取178個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差是1772如圖9，重合部分面積SAEBF是一個(gè)定值證明：連AB，AC，由A為正方形ABCD的中心，知ABE=ACF=45°又，當(dāng)AB與AB重合時(shí)，必有AD與AC重合，故知EAB=FAC在AFC和AEB中，SAEBF=SABC兩個(gè)正方形的重合部分面積必然是一個(gè)定值3可能的四位數(shù)有9種：19

7、90，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190其中 1990=7×284+2，1909=7×272+51099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6即它們被7除的余數(shù)分別為2，5，0，5，2，5，3，3，6即余數(shù)只有0，2，3，5，6五種它們加1，2，3都可能有余1的情形出現(xiàn)如0+11，6+21，5+3(mod7)而加4之后成為：4，6，7，9，10，沒