上學(xué)期高三同步測(cè)控優(yōu)化訓(xùn)練數(shù)學(xué)A極限A卷附答案

1、第二章 極限知識(shí)網(wǎng)絡(luò)范題精講【例1】 求下列極限：(1)(1|a|b|);(2).分析一:當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),的分子、分母中都含無(wú)窮多項(xiàng),而“和的極限等于極限的和”只能用于有限多項(xiàng)相加.因此,需要先將分子、分母化為含有有限多項(xiàng)的算式,然后再用極限的運(yùn)算法則求極限.而所有數(shù)列的極限最終通過(guò)C=C(常數(shù)),=0, qn=0(|q|1)來(lái)解決.解: =.因?yàn)?|a|b|,所以|1,| |1.所以原式=0.分析二:如果把x=2直接代入,分子、分母均為0,即分式是“”型,極限不能確定,所以不能利用簡(jiǎn)單的代入法來(lái)求極限,應(yīng)先把分子、分母因式分解,約去分子、分母公因式(x+2),然后再求極限.解:=.評(píng)注:對(duì)于

2、有限項(xiàng)數(shù)列(函數(shù))的和、差、積、商的形式,如果每一項(xiàng)都有極限,可直接使用數(shù)列(函數(shù))極限的運(yùn)算法則求解；對(duì)不能直接使用數(shù)列(函數(shù))極限運(yùn)算法則的,可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)數(shù)列(函數(shù))極限的形式,再通過(guò)極限的運(yùn)算法則求解.常見(jiàn)的變形思路和技 巧是(1)對(duì)“”型,通常將分子、分母同除以增得“最快”的單項(xiàng)；(2)對(duì)“”型,通常將分子、分母同乘以“+”,進(jìn)行分子有理化后,再求極限；(3)對(duì)“”型,通常將分子、分母進(jìn)行因式分解,以約去使分子、分母為零的因式.【例2】 已知數(shù)列, ,Sn為其前n項(xiàng)和,計(jì)算得S1=,S2=,S3=,S4=,觀(guān)察上述結(jié)果推測(cè)出計(jì)算Sn的公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.分析:

3、本題以數(shù)列為載體,主要考查觀(guān)察、分析、歸納的能力和數(shù)學(xué)歸納法,先通過(guò)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行觀(guān)察和分析,猜想出Sn的公式,再對(duì)Sn的公式用數(shù)學(xué)歸納法論證.前一部分是基礎(chǔ),后一部分是發(fā)展.這種“先猜想,后論證”的題型正是近幾年高考的探索性題型,有利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造性思維,是熱點(diǎn)之一.用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是如何利用歸納假設(shè).在利用歸納假設(shè)進(jìn)行化簡(jiǎn)過(guò)程中,要時(shí)刻瞄準(zhǔn)n=k+1時(shí)等式右邊這一目標(biāo).解:分母依次是3,5,7,9的平方數(shù),分子比分母小1,由此猜想Sn=.證明如下：(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=,等式成立；(2)設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即Sk=.則Sk+1=Sk+=,即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.

4、根據(jù)(1)、(2),可知等式對(duì)任何nN*都成立.評(píng)注:數(shù)學(xué)歸納法通常用來(lái)證明與正整數(shù)有關(guān)的命題,它屬于完全歸納法,有兩個(gè)基本 步驟：第一步是起始步,證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0是使結(jié)論成立的最小的正整數(shù))時(shí),結(jié)論正確；第二步是假設(shè)步,假設(shè)n=k(kN*,且kn0)時(shí)結(jié)論正確,證明n=k+1時(shí),結(jié)論也正確.其中第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),兩者相輔相成,缺一不可.【例3】 如下圖,在RtABC中,B=90,tanC=,AB=a,在A(yíng)BC內(nèi)作一系列的正方形,求所有這些正方形的面積和S.分析:這個(gè)題目的關(guān)鍵點(diǎn)是每一個(gè)小三角形都相似,據(jù)此可以寫(xiě)出Sn與an的關(guān)系式,經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn),再求極限.解:設(shè)

5、第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為an,則由三角形相似,可得=(其中Sn=a1+a2+an).因?yàn)锳B=a,tanC=,所以BC=2a.于是,即Sn=2a2an.當(dāng)n2時(shí),有an=SnSn1=2an+2an1,即3an=2an1.因?yàn)閠anC=,所以AB=a=a1+a1.所以a12=a2.所以數(shù)列an2是首項(xiàng)為a2,公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，S=(S1+S2+Sn)= =a2.評(píng)注:解決與無(wú)窮數(shù)列各項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是由題意找準(zhǔn)首項(xiàng)、公比，求出前n項(xiàng)和，再求極限.對(duì)于形如qn的極限，當(dāng)|q|1時(shí)，可將分子、分母同除以增長(zhǎng)“最快”的項(xiàng),先轉(zhuǎn)化形式,再求極限.試題詳解高中同步測(cè)控優(yōu)化訓(xùn)練(三)第二章 極限(A

6、卷)說(shuō)明：本試卷分為第、卷兩部分,請(qǐng)將第卷選擇題的答案填入題后括號(hào)內(nèi),第卷可在各題后直接作答.共100分,考試時(shí)間90分鐘.第卷(選擇題 共30分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)1.下列無(wú)窮數(shù)列中,極限不存在的數(shù)列是A.1,(1)n+1,B.3,3,3,3,3,C.3,D.1,0,1,0,sin,分析:本題考查常見(jiàn)數(shù)列的極限.解: (1)n+1=0, 3=3,=(2+)=2,A、B、C存在極限.而D是一擺動(dòng)數(shù)列,不存在極限.答案:D2.若an=3且 bn=1,那么 (an+bn)2等于A(yíng).4B.4C.16D.16分析:本題考查數(shù)列極限的運(yùn)算法則,即如果兩個(gè)數(shù)列都有極限,那

7、么它們的和、差、積、商的極限分別等于它們極限的和、差、積、商.解: (an+bn)2= (an2+2anbn+bn2)=an2+2anbn+bn2=32+23(1)+(1)2=4.答案:A3.若f(x)=在x=2處連續(xù),則實(shí)數(shù)a、b的值是A.1,2 B.0,2C.0,2 D.0,0分析:本題考查函數(shù)的左、右極限與函數(shù)極限的關(guān)系、函數(shù)連續(xù)的概念及它們之間的 關(guān)系.解:f(x)在x=2處連續(xù)f(x)=f(x)=f(2)=4.f(x)= (x2+a)=4+a=4,a=0.f(x)=(x+b)=2+b=4,b=2.答案:B4.等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,若=,則的值等于A(yíng).1B.C.

8、D.分析：本題考查當(dāng)n時(shí)數(shù)列的極限.解題的關(guān)鍵是由條件中前n項(xiàng)和的關(guān)系轉(zhuǎn)化成項(xiàng)的關(guān)系,把轉(zhuǎn)化成關(guān)于n的多項(xiàng)式.解法一:設(shè)Sn=kn2n,Tn=kn(3n+1)(k為非零常數(shù)).由an=SnSn1(n2),得an=2kn22k(n1)2=4kn2k,bn=kn(3n+1)k(n1)3(n1)+1=6kn2k.= = =.解法二：由.又.= .答案:C5.某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān),若n=k(kN*)時(shí),該命題成立,那么可推得n=k+1時(shí),該命題也成立.現(xiàn)在已知當(dāng)n=5時(shí),該命題不成立,那么可推得A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立C.當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立D.當(dāng)n=4時(shí)該命題成立分析:

9、本題借助數(shù)學(xué)歸納法考查四種命題間的關(guān)系,即原命題與其逆否命題等價(jià),逆命題與否命題等價(jià).解:n=k時(shí)命題成立n=k+1時(shí)命題成立,其逆否命題是“n=k+1時(shí)命題不成立n=k時(shí)命題不成立”,n=5時(shí)命題不成立n=4時(shí)命題不成立.答案:C6.的值為A.3 B.3C.2 D.不存在分析:本題考查函數(shù)在xx0處的極限值.如果把x=x0代入函數(shù)解析式,解析式有意義,那么f(x0)的值就是函數(shù)的極限值.解:=3.答案:B7.函數(shù)f(x)=的不連續(xù)點(diǎn)是A.x=2B.x=2C.x=2和x=2D.x=4分析:本題考查函數(shù)的連續(xù)性.一般地,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)必須滿(mǎn)足下面三個(gè)條件：(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x

10、=x0處有定義；(2)f(x)存在； (3)f(x)=f(x0),即函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的極限值等于這一點(diǎn)的函數(shù)值.解:因函數(shù)在x=2時(shí)無(wú)定義,所以不連續(xù)點(diǎn)是x=2.答案:C8.欲用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)于足夠大的自然數(shù)n,總有2nn3,n0為驗(yàn)證的第一個(gè)值,則A.n0=1B.n0為大于1小于10的某個(gè)整數(shù)C.n010D.n0=2分析:本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),第一步初始值n0的確定.不能認(rèn)為初始值都從n0=1開(kāi)始,需根據(jù)實(shí)際題目而定.當(dāng)1n10時(shí),2n與n3的大小不確定,而當(dāng)n10時(shí),總有2nn3.答案:C9.已知一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為f(n),nN,若7f(n)=f(n1)(n2)且f(

11、1)=3,則 f(1)+f(2)+f(n)等于A(yíng).B.C.7D.分析：本題考查當(dāng)n時(shí)數(shù)列的極限.關(guān)鍵是先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式f(n),然后求其前n項(xiàng)和,把待求極限式化成有限項(xiàng)形式,即關(guān)于n的多項(xiàng)式,再求極限.解:f(1)=30,.數(shù)列為首項(xiàng)為3,公比為的等比數(shù)列.f(n)=3()n-1.由公比不為1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,得Sn=.f(1)+f(2)+f(n)=1()n=.答案:A10. (2x+1)n=0成立的實(shí)數(shù)x的范圍是A.x=B.x0C.1x0D.1x0分析:本題考查數(shù)列的一個(gè)重要極限,即an=0,|a|1.解:要使(2x+1)n=0,只需|2x+1|1,即12x+11.解得1x0.答

12、案:C第卷(非選擇題 共70分)二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在橫線(xiàn)上)11.=_.分析:由于分子、分母的極限不存在,所以不能直接利用極限的四則運(yùn)算法則.通過(guò)分子、分母同除以n的冪指數(shù)中最大的一個(gè)n2,使各部分極限均存在,再利用極限的四則運(yùn)算法則求得極限值.解: =答案:12.=_.分析：本題考查當(dāng)xx0時(shí)函數(shù)的極限，把x=1代入分子、分母中,分式變成“”型,不能直接求極限.因此把分子、分母分別進(jìn)行因式分解,約去分子、分母中的“零因式”,然后代入求極限.解:= =.答案:13.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+an+1=(a1且nN*)”,在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊計(jì)算所得

13、的結(jié)果是_.分析:本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.用數(shù)學(xué)歸納法證題的前提是分清等式兩邊的構(gòu)成情況.就本題而言,它的左邊是按a的升冪排列的,共有(n+2)項(xiàng),故當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí),共有1+2=3項(xiàng),它們的和應(yīng)是1+a+a2.答案:1+a+a214._.分析:本題考查qn=0,|q|1的應(yīng)用.因當(dāng)n時(shí),構(gòu)成該式的四項(xiàng)均沒(méi)有極限,故應(yīng)將分子、分母同時(shí)除以底數(shù)最大、次數(shù)較高的項(xiàng)3n,以期轉(zhuǎn)化成每一項(xiàng)都有極限的形式,再運(yùn)用極限的運(yùn)算法則求解.解:=.答案:三、解答題(本大題共5小題,共54分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15.(本小題8分)討論函數(shù)f(x)=在x=2處的左極限、右極限以及在x=2處的

14、極限.分析:本題考查函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限,左、右極限的定義及其相互關(guān)系.f(x)=af(x)=f(x)=a.對(duì)于常見(jiàn)函數(shù),可先畫(huà)出它的圖象,觀(guān)察函數(shù)值的變化趨勢(shì),利用極限的定義確定各種 極限.解:當(dāng)x2時(shí),函數(shù)無(wú)限接近于0,即f(x)=0. 3分當(dāng)x2時(shí),函數(shù)無(wú)限接近于2,即f(x)=2.綜上,可知f(x)f(x), 6分函數(shù)f(x)在x=2處極限不存在. 8分16.(本小題10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+.分析:本題考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式.當(dāng)自變量取n時(shí),它的左邊是2n項(xiàng)和差的形式.故當(dāng)n=1時(shí),左邊保留兩項(xiàng)；當(dāng)n=k到n=k+1時(shí)添加兩項(xiàng).合理運(yùn)用歸納假設(shè)進(jìn)行化簡(jiǎn)的關(guān)鍵是瞄準(zhǔn)右邊的

15、目標(biāo),為達(dá)到目標(biāo),看哪些是不變的,哪些是變化的,化簡(jiǎn)變化的部分直至同目標(biāo)一致為止.證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左式=1,右式=,等式成立. 3分(2)假設(shè)n=k時(shí)等式成立,即1+.則1+=+ 6分=+=+.n=k+1時(shí),等式也成立. 9分綜合(1)、(2),可知對(duì)一切正自然數(shù)n等式成立. 10分17.(本小題12分)求下列極限：(1) (+);(2)(n1).分析:本題考查數(shù)列極限的運(yùn)算法則.其中(1)式是n項(xiàng)和的極限,當(dāng)n時(shí),項(xiàng)數(shù)變成了無(wú)窮項(xiàng),此時(shí),它不適用極限的運(yùn)算法則,故應(yīng)先求和,再求極限.(2)式屬于“”型,應(yīng)先將分子有理化,即分子、分母同乘以一個(gè)“+”型因式,再化簡(jiǎn)求值.解:(1) ()

16、=() 3分=1. 6分(2)(n1)= 9分= 11分=. 12分18.(本小題12分)求證:對(duì)于正整數(shù)n,11n+2+122n+1能被133整除.分析:本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題.關(guān)鍵在于由“n=k”成立推“n=k+1”成立過(guò)程中歸納假設(shè)的運(yùn)用.重點(diǎn)掌握“拼湊假設(shè)”的技巧.證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),113+122+1=3059.由3059=13323,所以113+123能被133整除. 3分(2)假設(shè)n=k(kN,k1)能被133整除,即11k+2+122k+1能被133整除,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),11k+3+122k+3=1111k+2+122122k+1=11(11k+2+122k+1)+122122k+111122k+1=11(11k+2+122k+1)+133122k+1.11(11k+2+122k+1)與133122k+1均能被133整除,11(11k+2+122k+1)+133122k+1能被133整除.當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 10分由(1)、(2),可知對(duì)任意nN命題均成立. 12分19.(