2015屆高考數(shù)學(xué)文二輪專題訓(xùn)練專題七第1講概-率

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第1講概率考情解讀(1)選擇、填空題中?？脊诺涓判秃蛶缀胃判偷幕緫?yīng)用，難度較小(2)解答題中常將古典概型與概率的基本性質(zhì)相結(jié)合，側(cè)重考查邏輯思維能力，知識的綜合應(yīng)用能力1概率的五個基本性質(zhì)(1)隨機(jī)事件的概率：0P(A)1.(2)必然事件的概率是1.(3)不可能事件的概率是0.(4)若事件A，B互斥，則P(AB)P(A)P(B)(5)若事件A，B對立，則P(AB)P(A)P(B)1，P(A)1P(B)2兩種常見的概率模型(1)古典概型特點(diǎn)：有限性，等可能性概率公式：P(A).(2)幾何概型特點(diǎn)：無限性，等可能性P(A).熱點(diǎn)一古典概型例1(2013·山東)

2、某小組共有A，B，C，D，E五位同學(xué)，他們的身高(單位：米)及體重指標(biāo)(單位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82體重指標(biāo)19.225.118.523.320.9(1)從該小組身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在18.5,23.9)中的概率思維啟迪列舉選法的所有情況，統(tǒng)計(jì)符合條件的方法數(shù)，然后使用古典概型的概率公式解(1)從身高低于1.80的4名同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C

3、)，(B，D)，(C，D)共6個設(shè)“選到的2人身高都在1.78以下”為事件M，其包括的事件有3個，故P(M).(2)從小組5名同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10個設(shè)“選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在18.5,23.9)”為事件N，且事件N包括事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)共3個則P(N).思維升華求古典概型概率的步驟(1)反復(fù)閱讀題目，收集題目中的各種信息，理解題意；(2)判斷試驗(yàn)是否為古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列

4、舉法求出總的基本事件的個數(shù)n及事件A中包含的基本事件的個數(shù)m；(4)計(jì)算事件A的概率P(A).(1)若集合Aa|a100，a3k，kN*，集合Bb|b100，b2k，kN*，在AB中隨機(jī)地選取一個元素，則所選取的元素恰好在AB中的概率為_答案解析易知A3,6,9，99，B2,4,6，100，則AB6,12,18，96，其中有元素16個AB中元素共有33501667(個)，所求概率為.(2)甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若|ab|1，就稱甲乙“心有靈犀”現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀

5、”的概率為()A. B. C. D.答案D解析根據(jù)題目條件知所有的數(shù)組(a，b)共有6236組，而滿足條件|ab|1的數(shù)組(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16組，根據(jù)古典概型的概率公式知所求的概率為P.故選D.熱點(diǎn)二幾何概型例2(1)(2014·湖南)在區(qū)間2,3上隨機(jī)選取一個數(shù)X，則X1的概率為()A. B. C. D.(2)(2013·四川)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈這兩串彩燈的第

6、一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是()A. B. C. D.思維啟迪(1)幾何概型，試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度；(2)幾何概型，試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)槊娣e答案(1)B(2)C解析(1)在區(qū)間2,3上隨機(jī)選取一個數(shù)X，則X1，即2X1的概率為p.(2)如圖所示，設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時刻為x、y，x、y相互獨(dú)立，由題意可知，所以兩串彩燈第一次亮的時間相差不超過2秒的概率為P(|xy|2).思維升華當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積、弧長、夾角等時，

7、應(yīng)考慮使用幾何概型求解；利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域(1)在區(qū)間3,3上隨機(jī)取一個數(shù)x，使得函數(shù)f(x)1有意義的概率為_(2)已知P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，20，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在ABC內(nèi)，則黃豆落在PBC內(nèi)的概率是()A. B.C. D.答案(1)(2)D解析(1)由得f(x)的定義域?yàn)?,1，由幾何概型的概率公式，得所求概率為P.(2)取邊BC上的中點(diǎn)D，由20，得2，而由向量的中點(diǎn)公式知2，則有，即P為AD的中點(diǎn)，則SABC2SPBC，根據(jù)幾何概率的概率公式知，所求的概率為.熱點(diǎn)三互斥事件與對

8、立事件例3某項(xiàng)活動的一組志愿者全部通曉中文，并且每個志愿者還都通曉英語、日語和韓語中的一種(但無人通曉兩種外語)已知從中任抽一人，其通曉中文和英語的概率為，通曉中文和日語的概率為.若通曉中文和韓語的人數(shù)不超過3人(1)求這組志愿者的人數(shù)；(2)現(xiàn)在從這組志愿者中選出通曉英語的志愿者1名，通曉韓語的志愿者1名，若甲通曉英語，乙通曉韓語，求甲和乙不全被選中的概率思維啟迪無人通曉兩種外語說明抽1人，其通曉英語、通曉日語、通曉韓語是互斥的解(1)設(shè)通曉中文和英語的人數(shù)為x，通曉中文和日語的人數(shù)為y，通曉中文和韓語的人數(shù)為z，且x，y，zN*，則解得所以這組志愿者的人數(shù)為53210.(2)設(shè)通曉中文和英

9、語的人為A1，A2，A3，A4，A5，甲為A1，通曉中文和韓語的人為B1，B2，乙為B1，則從這組志愿者中選出通曉英語和韓語的志愿者各1名的所有情況為(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A5，B1)，(A5，B2)，共10種，同時選中甲、乙的只有(A1，B1)1種所以甲和乙不全被選中的概率為1.思維升華求解互斥事件、對立事件的概率問題時，一要先利用條件判斷所給的事件是互斥事件，還是對立事件；二要將所求事件的概率轉(zhuǎn)化為互斥事件、對立事件的概率；三要準(zhǔn)確利用互斥事件、對立事件的概率公式去計(jì)算所求事件的概率

10、 (2013·江西)小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點(diǎn)，再從A1、A2、A3、A4、A5、A6(如圖)這6個點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X>0就去打球，若X0就去唱歌，若X<0就去下棋(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值；(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率解(1)X的所有可能取值為2，1,0,1.(2)數(shù)量積為2的有·，共1種；數(shù)量積為1的有·，·，·，·，·，·，共6種；數(shù)量積為0的有·，·，·，&#

11、183;，共4種；數(shù)量積為1的有·，·，·，·，共4種故所有可能的情況共有15種所以小波去下棋的概率為P1；因?yàn)槿コ璧母怕蕿镻2，所以小波不去唱歌的概率為P1P21.1互斥事件與對立事件的關(guān)系(1)對立一定互斥，互斥未必對立；(2)可將所求事件化為互斥事件A、B的和，再利用公式P(AB)P(A)P(B)來求，也可通過對立事件公式P()1P(A)來求P(A)2古典概型與幾何概型古典概型特點(diǎn)有限性等可能性計(jì)算公式P(A)幾何概型特點(diǎn)無限性等可能性計(jì)算公式P(A)真題感悟1(2014·陜西)從正方形四個頂點(diǎn)及其中心這5個點(diǎn)中，任取2個點(diǎn)，則這2個點(diǎn)

12、的距離不小于該正方形邊長的概率為()A. B. C. D.答案C解析取兩個點(diǎn)的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長的情況有6種，概率為.故選C.2(2014·福建)如圖，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為_答案0.18解析由題意知，這是個幾何概型問題，0.18，S正1，S陰0.18.押題精練1電子鐘一天顯示的時間是從00：00到23：59，每一時刻都由四個數(shù)字構(gòu)成，則一天中任一時刻顯示的四個數(shù)字之和為23的概率為()A. B. C. D.答案C解析因?yàn)闀r鐘一分鐘顯示一次，故總的顯示方法數(shù)為24×601 440(

13、種)，四個數(shù)字之和為23的有09：59,18：59,19：49,19：58四種情況，故所求概率為.2如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A1B.C.D.答案A解析設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個半圓交于點(diǎn)C，OA的中點(diǎn)為D，如圖，連接OC，DC.不妨令OAOB2，則ODDADC1.在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1×1×11，所以整體圖形中空白部分面積S22.又因?yàn)镾扇形OAB××22，所以陰影部分面積為S32.所以P1.3將一骰子向上拋擲兩次，所得點(diǎn)數(shù)分別為m和

14、n，則函數(shù)ymx3nx1在1，)上為增函數(shù)的概率是()A. B. C. D.答案D解析所有事件有6×636(種)，若滿足條件，則y2mx2n0對x1恒成立，又m>0，即(2mx2n)min2mn，即2mn，而2m<n有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6種，則2mn共30種P.(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1(2014·課標(biāo)全國)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為()A. B. C. D.答案D解析4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動的情況有2416

15、(種)，其中僅在周六(周日)參加的各有1種，所求概率為1.2已知菱形ABCD的邊長為4，ABC150°，若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到菱形的四個頂點(diǎn)的距離大于1的概率為()A. B1C. D1答案D解析P1.3一個袋中有3個黑球，2個白球共5個大小相同的球，每次摸出一球，放進(jìn)袋里再摸第二次，則兩次摸出的球都是白球的概率為()A. B.C. D.答案D解析有放回地摸球，基本事件總數(shù)為25；兩次都是白球所包含的基本事件為4.所以兩次摸出的球都是白球的概率為.4若利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生兩個不等的隨機(jī)數(shù)a和b，則方程x2有不等實(shí)數(shù)根的概率為()A. B.C. D.答案B解析方程x2，

16、即x22x2b0，原方程有不等實(shí)數(shù)根，則需滿足(2)24×2b>0，即a>b.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，(a，b)的所有可能結(jié)果是邊長為1的正方形(不包括邊界)，而事件A“方程x2有不等實(shí)數(shù)根”的可能結(jié)果為圖中陰影部分(不包括邊界)由幾何概型公式可得P(A).5.已知點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y1上，點(diǎn)C(3,4)，若AB，則ABC的面積大于5的概率是()A. B.C. D.答案C解析設(shè)B(x,1)，根據(jù)題意知點(diǎn)D(，1)，若ABC的面積小于或等于5，則×DB×45，即DB，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x，而AB，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x3,3，所以ABC的面積小于

17、或等于5的概率為P，所以ABC的面積大于5的概率是1P.6在區(qū)間0,2上任取兩個實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)x3axb在區(qū)間1,1上有且僅有一個零點(diǎn)的概率是()A. B.C. D.答案D解析因?yàn)閒(x)3x2a，由于a0，故f(x)0恒成立，故函數(shù)f(x)在1,1上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上有且只有一個零點(diǎn)的充要條件是即設(shè)點(diǎn)(a，b)，則基本事件所在的區(qū)域是畫出平面區(qū)域，如圖所示，根據(jù)幾何概型的意義，所求的概率是以圖中陰影部分的面積和以2為邊長的正方形的面積的比值，這個比值是.故選D.二、填空題7點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個定點(diǎn)若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長度小于1的概率為_

18、答案解析如圖，設(shè)A，M，N為圓周的三等分點(diǎn)，當(dāng)B點(diǎn)取在優(yōu)弧上時，對劣弧來說，其長度小于1，故其概率為.8(2013·江蘇)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m7，n9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為_答案解析P.9拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且四面上分別標(biāo)有1,2,3,4的正四面體，其底面落于桌面，記所得的數(shù)字分別為x，y，則為整數(shù)的概率是_答案解析將拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的正四面體所得的數(shù)字x，y記作有序?qū)崝?shù)對(x，y)，共包含16個基本事件，其中為整數(shù)的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8個基本事件，

19、故所求的概率為.10已知區(qū)域(x，y)|xy10，x0，y0，A(x，y)|xy0，x5，y0，若向區(qū)域上隨機(jī)投1個點(diǎn)，則這個點(diǎn)落入?yún)^(qū)域A的概率P(A)_.答案解析作出如圖所示的可行域，易得區(qū)域的面積為×10×1050，區(qū)域A(陰影部分)的面積為×5×5.故該點(diǎn)落在區(qū)域A的概率P(A).三、解答題11設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x2，xy)(1)在一個盒子中，放有標(biāo)號為1,2,3的三張卡片，現(xiàn)從此盒中有放回地先后抽到兩張卡片的標(biāo)號分別記為x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；(2)若利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)在0,3上先后取兩個數(shù)分別記

20、為x，y，求P點(diǎn)在第一象限的概率解(1)記抽到的卡片標(biāo)號為(x，y)，所有的情況分別如表所示：(x，y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P(x2，xy)(1，0)(1，1)(1，2)(0,1)(0,0)(0，1)(1,2)(1,1)(1,0)|OP|11011其中基本事件的總數(shù)為9，隨機(jī)事件A為“|OP|取到最大值”包含2個基本事件，故所求的概率為P(A).(2)設(shè)事件B為“P點(diǎn)在第一象限”若則其所表示的區(qū)域面積為3×39.由題意可得事件B滿足即如圖所示的陰影部分，其區(qū)域面積為1×3×1×1.故P

21、(B).12有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽，由500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名次，根據(jù)年齡將大眾評委分為五組，各組的人數(shù)如下：組別ABCDE人數(shù)5010015015050(1)為了調(diào)查評委對7位歌手的支持情況，現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委，其中從B組中抽取了6人請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表.組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6(2)在(1)中，若A，B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的評委中分別任選1人，求這2人都支持1號歌手的概率解(1)由題設(shè)知，分層抽樣的抽取比例為6%，所以各組抽取的人數(shù)如下表：組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993(2)記從A組抽到的3個評委為a1，a2，a3，其中a1，a2支持1號歌手；從B組抽到的6個評委為b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1號歌手從a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取1人的所有結(jié)果為由以上樹狀圖知所