2020年北京市海淀區(qū)高考數學二模試卷(理科)含答案解析

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上2020年北京市海淀區(qū)高考數學二模試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1已知全集U=R，M=x|x1，P=x|x2，則U（MP）=（）Ax|1x2Bx|x1Cx|x2Dx|x1或x22數列an的首項a1=2，且（n+1）an=nan+1，則a3的值為（）A5B6C7D83若點P（2，4）在直線l：（t為參數）上，則a的值為（）A3B2C1D14在ABC中，cosA=，cosB=，則sin（AB）=（）ABCD5在（x+a）5（其中a0）的展開式中，x2的系數與x3的系數相同，則a的值為（）A2B1C1D26函數f（x）=lnxx+1的零點個數是（

2、）A1B2C3D47如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，點P在線段AD上運動，則|+|的取值范圍是（）A6，4+4B4，8C4，8D6，128直線l：ax+y1=0與x，y軸的交點分別為A，B，直線l與圓O：x2+y2=1的交點為C，D，給出下面三個結論：a1，SAOB=；a1，|AB|CD|；a1，SCOD其中，所有正確結論的序號是（）ABCD二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9已知=1i，其中i為虛數單位，aR，則a=10某校為了解全校高中學生五一小長假參加實踐活動的情況，抽查了100名學生，統(tǒng)計他們假期參加實踐活動的實踐，繪成的頻率分布直方圖如圖所示，這

3、100名學生中參加實踐活動時間在610小時內的人數為11如圖，A，B，C是O上的三點，點D是劣弧的中點，過點B的切線交弦CD的延長線于點E若BAC=80°，則BED=12若點P（a，b）在不等式組所表示的平面區(qū)域內，則原點O到直線ax+by1=0的距離的取值范圍是13已知點A（，），B（，1），C（，0），若這三個點中有且僅有兩個點在函數f（x）=sinx的圖象上，則正數的最小值為14正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點P，Q，R分別是棱A1A，A1B1，A1D1的中點，以PQR為底面作正三棱柱若此三棱柱另一底面的三個頂點也都在該正方體的表面上，則這個正三棱柱的高h=三、解答

4、題（共6小題，滿分80分）15已知函數f（x）=2sinxcos2x（1）比較f（），f（）的大?。唬?）求函數f（x）的最大值16某空調專賣店試銷A、B、C三種新型空調，銷售情況如表所示：第一周 第二周第三周 第四周第五周 A型數量（臺） 11 10 15 A4 A5 B型數量（臺） 10 12 13 B4 B5 C型數量（臺） 158 12C4 C5（1）求A型空調前三周的平均周銷售量；（2）根據C型空調前三周的銷售情況，預估C型空調五周的平均周銷售量為10臺，當C型空調周銷售量的方差最小時，求C4，C5的值；（注：方差s2= x1）2+（x）2+（xn）2，其中為x1，x2，xn的平均數

5、）（3）為跟蹤調查空調的使用情況，根據銷售記錄，從第二周和第三周售出的空調中分別隨機抽取一臺，求抽取的兩臺空調中A型空調臺數X的分布列及數學期望17如圖，等腰梯形ABCD中，ABCD，DEAB于E，CFAB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2將AED和BFC分別沿DE，CF折起，使A，B兩點重合，記為點M，得到一個四棱錐MCDEF，點G，N，H分別是MC，MD，EF的中點（1）求證：GH平面DEM；（2）求證：EMCN；（3）求直線GH與平面NFC所成角的大小18已知函數f（x）=ex（x2+ax+a）（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區(qū)間；（2）若關于x的不等式f（x）ea在a，

6、+）上有解，求實數a的取值范圍；（3）若曲線y=f（x）存在兩條互相垂直的切線，求實數a的取值范圍（只需直接寫出結果）19已知點A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1x2）是曲線y2=4x（y0）上的兩點，A，D兩點在x軸上的射影分別為點B，C，且|BC|=2（）當點B的坐標為（1，0）時，求直線AD的斜率；（）記OAD的面積為S1，梯形ABCD的面積為S2，求證：20已知集合n=X|X=（x1，x2，xi，xn），xi0，1，i=1，2，n，其中n3X=x1，x2，xi，xnn，稱xi為X的第i個坐標分量若Sn，且滿足如下兩條性質：S中元素個數不少于4個；X，Y，ZS，存在m1，2，n

7、，使得X，Y，Z的第m個坐標分量是1；則稱S為n的一個好子集（1）S=X，Y，Z，W為3的一個好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），寫出Z，W；（2）若S為n的一個好子集，求證：S中元素個數不超過2n1；（3）若S為n的一個好子集，且S中恰有2n1個元素，求證：一定存在唯一一個k1，2，n，使得S中所有元素的第k個坐標分量都是12020年北京市海淀區(qū)高考數學二模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1已知全集U=R，M=x|x1，P=x|x2，則U（MP）=（）Ax|1x2Bx|x1Cx|x2Dx|x1或x2【考點】交、并、補集的混合運算【分析

8、】求出MP，從而求出其補集即可【解答】解：M=x|x1，P=x|x2，MP=x|x1或x2，U（MP）=x|1x2，故選：A2數列an的首項a1=2，且（n+1）an=nan+1，則a3的值為（）A5B6C7D8【考點】數列遞推式【分析】由題意可得an+1=an，分別代值計算即可【解答】解：數列an的首項a1=2，且（n+1）an=nan+1，an+1=an，a2=a1=2×2=4，a3=×a2=×4=6，故選：B3若點P（2，4）在直線l：（t為參數）上，則a的值為（）A3B2C1D1【考點】參數方程化成普通方程【分析】由題意可得：，解得a即可得出【解答】解：，

9、解得a=1故選：D4在ABC中，cosA=，cosB=，則sin（AB）=（）ABCD【考點】兩角和與差的正弦函數【分析】根據同角三角函數得到sinA，sinB的值；然后將其代入兩角和與差的正弦函數中求值即可【解答】解：0A，0B，cosA=，cosB=，sinA=，sinB=，sin（AB）=sinAcosBcosAsinB=××=故選：B5在（x+a）5（其中a0）的展開式中，x2的系數與x3的系數相同，則a的值為（）A2B1C1D2【考點】二項式系數的性質【分析】通過二項式定理，寫出（x+a）5（其中a0）的展開式中通項Tk+1=x5kak，利用x2的系數與x3的系數

10、相同可得到關于a的方程，進而計算可得結論【解答】解：在（x+a）5（其中a0）的展開式中，通項Tk+1=x5kak，x2的系數與x3的系數相同，a3=a2，又a0，a=1，故選：C6函數f（x）=lnxx+1的零點個數是（）A1B2C3D4【考點】函數零點的判定定理【分析】利用導數求出函數的最大值，即可判斷出零點的個數【解答】解：f（x）=1=，當x=1時，函數f（x）取得最大值，f（1）=01+1=0，因此函數f（x）有且僅有一個零點1故選：A7如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，點P在線段AD上運動，則|+|的取值范圍是（）A6，4+4B4，8C4，8D6，12【考點

11、】平面向量數量積的運算【分析】可過D作AB的垂線，且垂足為E，這樣可分別以EB，ED為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，根據條件即可求出A，B，D的坐標，從而可以得出直線AD的方程為，從而可設，且2x0，從而可以求出向量的坐標，從而得出，而配方即可求出函數y=16（x2+2x+4）在2，0上的值域，即得出的取值范圍，從而得出的取值范圍【解答】解：如圖，過D作AB的垂線，垂足為E，分別以EB，ED為x，y軸，建立平面直角坐標系；根據條件可得，AE=2，EB=6，DE=；直線AD方程為：；設，（2x0）；，；=16（x2+2x+4）=16（x+1）2+48；2x0；4816（x+1）2+4864；即

12、；的范圍為故選：C8直線l：ax+y1=0與x，y軸的交點分別為A，B，直線l與圓O：x2+y2=1的交點為C，D，給出下面三個結論：a1，SAOB=；a1，|AB|CD|；a1，SCOD其中，所有正確結論的序號是（）ABCD【考點】直線與圓的位置關系【分析】當a1時，分別可得直線的截距，由三角形的面積公式易得結論正確；當a1時，反證法可得結論錯誤；由三角形的面積公式可得SCOD=sinAOC，可得結論正確【解答】解：當a1時，把x=0代入直線方程可得y=a，把y=0代入直線方程可得x=，SAOB=×a×=，故結論正確；當a1時，|AB|=，故|AB|2=a2+，直線l可化

13、為a2x+ya=0，圓心O到l的距離d=，故|CD|2=4（1d2）=41（a2+），假設|AB|CD|，則|AB|2|CD|2，即a2+4（1），整理可得（a2+）24（a2+）+40，即（a2+2）20，顯然矛盾，故結論錯誤；SCOD=|OA|OC|sinAOC=sinAOC，故a1，使得SCOD，結論正確故選：C二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9已知=1i，其中i為虛數單位，aR，則a=1【考點】復數代數形式的乘除運算【分析】根據復數的代數運算性質，求出a的值即可【解答】解：=1i，a+i=a=i=i=1故答案為：110某校為了解全校高中學生五一小長假參加實踐活動的情況，抽

14、查了100名學生，統(tǒng)計他們假期參加實踐活動的實踐，繪成的頻率分布直方圖如圖所示，這100名學生中參加實踐活動時間在610小時內的人數為58【考點】頻率分布直方圖【分析】利用頻率分布直方圖中，頻率等于縱坐標乘以組距，求出在610小時外的頻率；利用頻率和為1，求出在610小時內的頻率；利用頻數等于頻率乘以樣本容量，求出這100名同學中學習時間在610小時內的同學的人數【解答】解：由頻率分布直方圖知：（0.04+0.12+a+b+0.05）×2=1，a+b=0.29，參加實踐活動時間在610小時內的頻率為0.29×2=0.58，這100名學生中參加實踐活動時間在610小時內的人數

15、為100×0.58=58故答案為：5811如圖，A，B，C是O上的三點，點D是劣弧的中點，過點B的切線交弦CD的延長線于點E若BAC=80°，則BED=60°【考點】與圓有關的比例線段【分析】由弦切角定理可得EBC=A，再由圓的圓周角定理，可得BCE=A，在BCE中，運用三角形的內角和定理，計算即可得到所求值【解答】解：由BE為圓的切線，由弦切角定理可得EBC=A=80°，由D是劣弧的中點，可得BCE=A=40°，在BCE中，BEC=180°EBCBCE=180°80°40°=60°故答案為：6

16、0°12若點P（a，b）在不等式組所表示的平面區(qū)域內，則原點O到直線ax+by1=0的距離的取值范圍是，1【考點】簡單線性規(guī)劃【分析】由約束條件作出可行域，由點到直線的距離公式求出原點O到直線ax+by1=0的距離為，結合的幾何意義得答案【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，原點O到直線ax+by1=0的距離為，由圖可知的最小值為|OA|=1，最大值為|OB|=2，原點O到直線ax+by1=0的距離的取值范圍是，1故答案為：，113已知點A（，），B（，1），C（，0），若這三個點中有且僅有兩個點在函數f（x）=sinx的圖象上，則正數的最小值為4【考點】正弦函數的圖象【分析】由條件

17、利用正弦函數的圖象特征，分類討論，求得每種情況下正數的最小值，從而得出結論【解答】解：若只有A、B兩點在函數f（x）=sinx的圖象上，則有sin（）=，sin（）=1，sin0，則，即，求得無解若只有點A（，），C（，0）在函數f（x）=sin（x）的圖象上，則有sin（）=，sin（）=0，sin（）1，故有，即，求得的最小值為4若只有點B（，1）、C（，0）在函數f（x）=sinx的圖象上，則有sin，sin=1，sin=0，故有，即，求得的最小正值為10，綜上可得，的最小正值為4，故答案為：414正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點P，Q，R分別是棱A1A，A1B1，A1D1的

18、中點，以PQR為底面作正三棱柱若此三棱柱另一底面的三個頂點也都在該正方體的表面上，則這個正三棱柱的高h=【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】分別取過C點的三條面對角線的中點，則此三點為棱柱的另一個底面的三個頂點，利用中位線定理證明于是三棱柱的高為正方體體對角線的一半【解答】解：連結A1C，AC，B1C，D1C，分別取AC，B1C，D1C的中點E，F，G，連結EF，EG，FG由中位線定理可得PEA1C，QFA1C，RGA1C又A1C平面PQR，三棱柱PQREFG是正三棱柱三棱柱的高h=PE=A1C=故答案為三、解答題（共6小題，滿分80分）15已知函數f（x）=2sinxcos2x（1）比較f

19、（），f（）的大?。唬?）求函數f（x）的最大值【考點】三角函數中的恒等變換應用【分析】（1）將f（），f（）求出大小后比較即可（2）將f（x）化簡，由此得到最大值【解答】解：（1）f（）=，f（）=，f（）f（），（2）f（x）=2sinxcos2x=2sinx1+2sin2x，=2（sinx）2，函數f（x）的最大值為316某空調專賣店試銷A、B、C三種新型空調，銷售情況如表所示：第一周 第二周第三周 第四周第五周 A型數量（臺） 11 10 15 A4 A5 B型數量（臺） 10 12 13 B4 B5 C型數量（臺） 158 12C4 C5（1）求A型空調前三周的平均周銷售量；（2）根

20、據C型空調前三周的銷售情況，預估C型空調五周的平均周銷售量為10臺，當C型空調周銷售量的方差最小時，求C4，C5的值；（注：方差s2= x1）2+（x）2+（xn）2，其中為x1，x2，xn的平均數）（3）為跟蹤調查空調的使用情況，根據銷售記錄，從第二周和第三周售出的空調中分別隨機抽取一臺，求抽取的兩臺空調中A型空調臺數X的分布列及數學期望【考點】極差、方差與標準差【分析】（1）根據平均數公式計算即可，（2）根據方差的定義可得S2= 2（c4）+，根據二次函數性質求出c4=7或c4=8時，S2取得最小值，（3）依題意，隨機變量 的可能取值為 0，1，2，求出P，列出分布表，求出數學期望【解答】

21、解：（1）A型空調前三周的平均周銷售量=（11+10+15）=12臺，（2）因為C型空調平均周銷量為10臺，所以c4+c5=10×1515812=15，又S2= （1510）2+（810）2+（1210）2+（c410）2+（c510）2，化簡得到S2= 2（c4）+，因為c4N，所以c4=7或c4=8時，S2取得最小值，此時C5=8或C5=7，（3）依題意，隨機變量 的可能取值為 0，1，2，P（X=0）=×=，P（X=1）=×+×=，P（X=2）=×=，隨機變量的X的分布列，X 0 1 2P隨機變量的期望E（X）=0×+1

22、5;+2×=17如圖，等腰梯形ABCD中，ABCD，DEAB于E，CFAB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2將AED和BFC分別沿DE，CF折起，使A，B兩點重合，記為點M，得到一個四棱錐MCDEF，點G，N，H分別是MC，MD，EF的中點（1）求證：GH平面DEM；（2）求證：EMCN；（3）求直線GH與平面NFC所成角的大小【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定【分析】（1）連結NG，EN，則可證四邊形ENGH是平行四邊形，于是GHEN，于是GH平面DEM；（2）取CD的中點P，連結PH，則可證明PH平面MEF，以H為原點建立坐標系，求出和的坐標，通過計算=0

23、得出EMCN；（3）求出和平面NFC的法向量，則直線GH與平面NFC所成角的正弦值為|cos|，從而得出所求線面角的大小【解答】證明：（1）連結NG，EN，N，G分別是MD，MC的中點，NGCD，NG=CDH是EF的中點，EFCD，EF=CD，EHCD，EH=CD，NGEH，NG=EH，四邊形ENGH是平行四邊形，GHEN，又GH平面DEM，EN平面DEM，GH平面DEM（2）ME=EF=MF，MEF是等邊三角形，MHEF，取CD的中點P，連結PH，則PHDE，DEME，DEEF，MEEF=E，DE平面MEF，PH平面MEF以H為原點，以HM，HF，HP為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則

24、E（0，1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，1）=（，1，0），=（，1）=+1×+0×1=0EMNC（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，1），=（，1），=（0，0，2），=（，1），設平面NFC的法向量為=（x，y，z），則，即令y=1得=（，1，0），cos=直線GH與平面NFC所成角的正弦值為，直線GH與平面NFC所成角為18已知函數f（x）=ex（x2+ax+a）（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區(qū)間；（2）若關于x的不等式f（x）ea在a，+）上有解，求實數a的取值范圍；（3）若曲線y=f（x）存在兩條互相垂直的切線，求實數a的取值

25、范圍（只需直接寫出結果）【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程【分析】（1）當a=1時，f（x）=ex（x2+x+1），求出其導數，利用導數即可解出單調區(qū)間；（2）若關于x的不等式f（x）ea在a，+）上有解，即x2+ax+aeax，在a，+）上有解，構造兩個函數r（x）=x2+ax+a，t（x）=eax，研究兩個函數的在a，+）上的單調性，即可轉化出關于a的不等式，從而求得a的范圍；（3）由f（x）的導數f（x）=ex（x+2）（x+a），當a2時，函數y=f（x）的圖象與x軸有兩個交點，故f（x）圖象上存在兩條互相垂直的切線【解答】解：（1）當a=1時，f（x）=

26、ex（x2+x+1），則f（x）=ex（x2+3x+2），令f（x）0得x1或x2；令f（x）0得2x1函數f（x）的單調增區(qū)間（，2）與（1，+），單調遞減區(qū)間是（2，1）；（2）f（x）ea，即ex（x2+ax+a）ea，可變?yōu)閤2+ax+aeax，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=eax，當a0時，在a，+）上，由于r（x）的對稱軸為負，故r（x）在a，+）上增，t（x）在a，+）上減，欲使x2+ax+aeax有解，則只須r（a）t（a），即2a2+a1，解得1a，故0a；當a0時，在a，+）上，由于r（x）的對稱軸為正，故r（x）在a，+）上先減后增，t（x）在a，+）上減，欲使x

27、2+ax+aeax有解，只須r（）t（），即+ae，當a0時，+ae顯然成立綜上知，a即為符合條件的實數a的取值范圍；（3）a的取值范圍是a|a2，aR19已知點A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1x2）是曲線y2=4x（y0）上的兩點，A，D兩點在x軸上的射影分別為點B，C，且|BC|=2（）當點B的坐標為（1，0）時，求直線AD的斜率；（）記OAD的面積為S1，梯形ABCD的面積為S2，求證：【考點】拋物線的簡單性質【分析】（）由B的坐標，可得A的坐標，又|BC|=2，可得D的坐標（3，2），運用直線的斜率公式，即可得到所求值；（）法一：設直線AD的方程為y=kx+mM（0，m），

28、運用三角形的面積公式可得S1=|m|，將直線方程和拋物線的方程聯立，運用判別式大于0和韋達定理，以及梯形的面積公式可得S2，進而得到所求范圍；法二：設直線AD的方程為y=kx+m，代入拋物線的方程，運用韋達定理和弦長公式，點到直線的距離公式可得三角形的面積S1=|m|，梯形的面積公式可得S2，進而得到所求范圍【解答】解：（）由B（1，0），可得A（1，y1），代入y2=4x，得到y(tǒng)1=2，又|BC|=2，則x2x1=2，可得x2=3，代入y2=4x，得到y(tǒng)2=2，則；（）證法一：設直線AD的方程為y=kx+mM（0，m），則由，得k2x2+（2km4）x+m2=0，所以，又，又注意到，所以k0，m0，所以=，因為=1616km0，所以0km1，所以證法二：設直線AD的方程為y=kx+m由，得k2x2+（2km4）x+m2=0，所以，點O到直線AD的距離為，所以，又，又注意到，所以k0，m0，所以，因為=1616km0，所以0km1，所以20已知集合n=X|X=（x1，x2，xi，xn），xi0，1，i=1，2，n，其中n3X=x1，x2，xi，xnn，稱xi為X的第i個坐