中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題講座_百度文庫(kù)

1、中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題講座第九講 幾何圖形的歸納, 猜想, 證明問題【前言】實(shí)行新課標(biāo)以來，中考加大了對(duì)考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察，但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識(shí)要到高中才會(huì)正式考察，所以大多放在填空壓軸題來出。08年的中考填空壓軸是一道代數(shù)歸納題，已經(jīng)展現(xiàn)出了這種趨勢(shì)。09年的一模，二模也只是較少的區(qū)縣出了這種歸納題，然而中考的時(shí)候就出了一道幾何方面的n 等分點(diǎn)總結(jié)問題。于是今年的一模二模，這種有關(guān)幾何的歸納，猜想問題鋪天蓋地而來，這就是一個(gè)重要的風(fēng)向標(biāo)。而且根據(jù)學(xué)生反映，這種問題一般較難，得分率很低，經(jīng)常有同學(xué)選擇+填空就只錯(cuò)了這一道。對(duì)于這類歸納總結(jié)問題來說，思考的方法是最重要的，所以一下

2、我們通過今年的一二模真題來看看如何應(yīng)對(duì)這種新題型。第一部分 真題精講【例1】2010，海淀，一模如圖，n +1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)B 2D 1C 1的面積為S 1，B 3D 2C 2的面積為S 2，B n +1D n C n的面積為S n ，則S 2S n （用含n 的式子表示） B AC 1B 2C 2B C 3C 4C 5B【思路分析】拿到這種題型，第一步就是認(rèn)清所求的圖形到底是什么樣的。本題還好，將陰影部分標(biāo)出，不至于看錯(cuò)。但是如果不標(biāo)就會(huì)有同學(xué)誤以為所求的面積是B AC , B AC 這種的, 第二步就是看這些圖形之間有什么共性和聯(lián)系. 首先S 所代22332

3、表的三角形的底邊C 2D 2是三角形AC 2D 2的底邊, 而這個(gè)三角形和AC 3B 3是相似的. 所以邊長(zhǎng)的比例就是AC 2與AC 3的比值. 于是12接下來通過總結(jié), 我們發(fā)現(xiàn)所求的三角形有一個(gè)最大的共性就是高相等, B 點(diǎn)，S 2= 223將陰影部分放在反過來的等邊三角形中看）。那么既然是求面積，高相等，剩下的自然就是底邊的問題了。我們發(fā)現(xiàn)所有的B,C點(diǎn)連線的邊都是平行的，于是自然可以得出D n 自然是所在邊上的n+1等分點(diǎn). 例如D 2就是B 2C 2的一個(gè)三等分點(diǎn). 于是D n C n =n +1-1(n+1-1是什么意思? 為什么要減 1? 112 S B n +1D n C n

4、=D n C n =n +122【例2】2010，西城，一模在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱邊長(zhǎng)為1且頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的正方形為單位格點(diǎn) 正方形，如圖，菱形ABCD 的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-8，0 ，(0，4 ，(8，0 ，(0，-4 ，則菱形ABCD 能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個(gè)數(shù)是_個(gè)；若菱形，則菱形A B C D 能覆蓋的單位格點(diǎn)正0 ，(0，n ，(2n ，0 ，(0，-n （n 為正整數(shù)）A n B n C n D n 的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-2n ，n n n n方形的個(gè)數(shù)為_（用含有n 的式子表示） 【思路分析】此題方法比較多，例如第一空直接數(shù)格子都可以數(shù)出是48（笑）。這里筆者提

5、供一種方法，其他方法大家可以自己去想想看。因?yàn)榍蟮氖橇庑伟恼叫蝹€(gè)數(shù)，所以只需求出被X,Y 軸所分的四個(gè)三角形包涵的個(gè)數(shù)，再乘以4即可。比如我們來看第二象限那個(gè)三角形。第二象限菱形那條邊過（-2n,0）(0,n,自然可以寫出直線解析式為y =11,x +n 斜率意味著222什么? 看上圖, 注意箭頭標(biāo)注的那些空白三角形, 這些RT 三角形一共有2n/2=n個(gè), 他們的縱直角邊與橫直角邊的比是不是就是1? 而且這些直角三角形都是全等的, 面積均為兩個(gè)單位格點(diǎn)正方形的一半. 那么整個(gè)的AOB 的面積自然就是12白小三角形的面積之和為2點(diǎn)就是4n -4n ., n2n n 所有個(gè)空21, 相減之

6、后自然就是所有格點(diǎn)正方形的面積n -n , 也就是數(shù)量了. 所以整個(gè)菱形的正方形格n 212【例3】2010，平谷，一模如圖，AOB =45，過OA 上到點(diǎn)O 的距離分別為1，357911. 的點(diǎn)作OA 的垂線與OB 相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別為S ，S ，S ，S ，則第一個(gè)黑色梯形的面積S =；觀察圖中的規(guī)律，第n (n 為正整數(shù) 個(gè)黑11234 色梯形的面積S =n135791113.A【思路分析】本題方法也比較多樣。所有陰影部分都是一個(gè)直角梯形，而因?yàn)锳OB =45，所以梯形的上下底長(zhǎng)度分別都1對(duì)應(yīng)了垂足到0點(diǎn)的距離, 而高則是固定的2。第一個(gè)梯形上底是1，下底是3，

7、所以S 1=(1+32=4. 第二個(gè)梯形面積2S 2=11(5+72=12, 第三個(gè)是S 3=(9+112=20, 至此, 我們發(fā)現(xiàn)本題中梯形面積數(shù)值上其實(shí)就是上下底的和. 而且各個(gè)梯形22的上底都是前一個(gè)梯形上底加上4。于是第n 個(gè)梯形的上底就是1+4(n-1=4n-3,(第一個(gè)梯形的上底1加上(n-1個(gè)4. 下底自然就是4n-1, 于是S n 就是8n-4.【例4】2010，豐臺(tái)，一模在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)請(qǐng)你觀察圖中正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3每個(gè)正方形四條邊上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)按此規(guī)律推算出正方形A 10B

8、 10C 10D 10四條邊上的整點(diǎn)共有 個(gè) 【思路分析】此題看似麻煩，但是只要把握住“正方形”這個(gè)關(guān)鍵就可以了。對(duì)于A B C D 來說, 每條邊的長(zhǎng)度是2n, 那么n n n n自然整點(diǎn)個(gè)數(shù)就是2n+1，所以四條邊上整點(diǎn)一共有(2n+1x4-4=8n(個(gè) (要減去四個(gè)被重復(fù)算的頂點(diǎn), 于是A 10B 10C 10D 10就是80個(gè).【例5】2010，宣武，一模如圖，ABC 中，ACB=90°，AC=BC=1，取斜邊的中點(diǎn)，向斜邊做垂線，畫出一個(gè)新的等腰直角三角形，如此繼續(xù)下去，直到所畫直角三角形的斜邊與ABC 的BC 邊重疊為止，此時(shí)這個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)為_【思路分析】本題依然要找

9、出每個(gè)三角形和上一個(gè)三角形之間的規(guī)律聯(lián)系。關(guān)鍵詞“中點(diǎn)”“垂線”“等腰直角”。這就意味著每個(gè)三角形的銳角都是45度，并且直角邊都是上一個(gè)三角形直角邊的一半。繞一圈是360度，包涵了8個(gè)45°。于是繞到第八次就可以和BC 重疊了，此時(shí)邊長(zhǎng)為ABC 的【例6】2010，門頭溝，一模如圖，以等腰三角形AOB 的斜邊為直角邊向外作第2個(gè)等腰直角三角形ABA ，再以等腰直角三角形ABA 的斜邊為直角邊向111，故而得解。 8外作第3個(gè)等腰直角三角形A BB ，如此作下去，若OA =OB =1，則第n 個(gè)等腰直角三角形的面積S = _（n 為n 11正整數(shù)） . B 2A 1AOBB 1【思路分

10、析】和上題很類似的幾何圖形外延拓展問題。還是一樣慢慢找小三角形面積的規(guī)律。由題可得1242n S 1=，S 2=，S 3=. ，分子就是1,2,4,8,16這樣的數(shù)列。于是S n =2222【總結(jié)】幾何圖形的歸納總結(jié)問題其實(shí)就包括了代數(shù)方面的數(shù)列問題，只不過需要考生自己找出圖形與圖形之間的聯(lián)系而已。對(duì)于這類問題，首先就是要仔細(xì)讀題，看清楚題目所求的未知量是什么，然后找出各個(gè)未知量之間的聯(lián)系，這其中就包括了尋找未知量的拓展過程中，哪些變了，哪些沒有變。最后根據(jù)這些聯(lián)系列出通項(xiàng)去求解。在遇到具體關(guān)系很難找的問題時(shí)，不妨先寫出第一項(xiàng)，第二項(xiàng)，第三項(xiàng)然后去找數(shù)式上的規(guī)律，如上面例6就是一例，如果糾結(jié)于

11、幾何圖形當(dāng)中等腰三角形直角邊的平方，反而會(huì)使問題復(fù)雜化，直接列出前幾項(xiàng)的面積就可以大膽的猜測(cè)出來結(jié)果了。這類題目計(jì)算量往往不大，重在思考和分析的方法，還請(qǐng)考生細(xì)心掌握。第二部分 發(fā)散思考【思考1】2009，西城，二模如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，B (0,1，B (0,3，B (0,6，123B 4(0,10，以B 1B 2為對(duì)角線作第一個(gè)正方形A 1B 1C 1B 2，以 B 2B 3為對(duì)角線作第二個(gè)正方形A 2B 2C 2B 3，以B 3B 4為對(duì)角線作第三個(gè)正方形A B C B ，如果所作正方形的對(duì)角線B B 都在n n +13334y 軸上，且B B 的長(zhǎng)度依次增加1個(gè)單位，頂點(diǎn)A

12、 都在第一象n n +1n 限內(nèi)（n 1，且n 為整數(shù)）那么A 的縱坐標(biāo)為 n1的代數(shù)式表示A 的縱坐標(biāo)： n【思考2】2009，朝陽，二模如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一顆棋子從點(diǎn)P 處開始跳動(dòng)，第一 次跳到點(diǎn)P 關(guān)于x 軸的對(duì)稱點(diǎn)P 處，接著跳到點(diǎn)P 關(guān)于y 軸11的對(duì)稱點(diǎn) P 處，第三次再跳到點(diǎn)P 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)處， 22如此循環(huán)下去當(dāng)跳動(dòng)第2009次時(shí)，棋子落點(diǎn)處的坐標(biāo)是 【思考3】2009，昌平, 一模對(duì)于大于或等于2的自然數(shù)n 的平方進(jìn)行如下“分裂”，分裂成n 個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，則自然數(shù)7的分裂數(shù)中最大的數(shù)是 ，自然數(shù)n 2的分裂數(shù)中最大的數(shù)是 .【思考4】2009，延慶，一模一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在第一象限及x 軸、y 軸上運(yùn)動(dòng)，在第一秒鐘，它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(0，1 ，然后接著按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng), 即1 31 3 52(0，0 (01，(11，(1，0 ，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位，那么第35秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)是_【思考5】2009，海淀，二模 如圖，將邊長(zhǎng)為1+n123y3 2 1 2擺放前6(n =1, 2, 3, 的正方形紙片從左到右順次擺放，其對(duì)