高等數(shù)學(xué)（5）常微分方程

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)- -謝琳主講謝琳主講第四章第四章常微分方程初步常微分方程初步 微分方程理論，在整個高等數(shù)學(xué)體系中可以微分方程理論，在整個高等數(shù)學(xué)體系中可以算是最核心內(nèi)容之一。很多近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)算是最核心內(nèi)容之一。很多近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)理論分支的產(chǎn)生，幾乎都是圍繞著微分方程派理論分支的產(chǎn)生，幾乎都是圍繞著微分方程派生出來的。生出來的。 從現(xiàn)實應(yīng)用的角度講，微分方程也是在建立數(shù)學(xué)模從現(xiàn)實應(yīng)用的角度講，微分方程也是在建立數(shù)學(xué)模型時被運用得最多的。不僅僅是力學(xué)（最早運用微分型時被運用得最多的。不僅僅是力學(xué)（最早運用微分方程的領(lǐng)域）、物理學(xué)、化學(xué)這些基礎(chǔ)學(xué)科，也包括方程的領(lǐng)域）、物理學(xué)、化學(xué)這些基礎(chǔ)學(xué)

2、科，也包括生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融理論，甚至社會學(xué)等領(lǐng)域，在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融理論，甚至社會學(xué)等領(lǐng)域，在構(gòu)建其過程變化的模型時，也都會遇到微分方程問題。構(gòu)建其過程變化的模型時，也都會遇到微分方程問題。 道理很簡單，因為導(dǎo)數(shù)反映變化率，所以如果變化道理很簡單，因為導(dǎo)數(shù)反映變化率，所以如果變化率和其他變量相關(guān)，就可能遇到微分方程。率和其他變量相關(guān)，就可能遇到微分方程。第四章作業(yè)第四章作業(yè)第二節(jié)：第二節(jié)：2（2,4）；）；3（2,4）；）； 4（2,4）；）；5；6；7（4）；）；8.第四節(jié)：第四節(jié)：2；4（2,3,6,8,9,10,15,16） 5；6（2）；）；8；10；11.第五節(jié)：第五節(jié)：1（

3、2,3）；）；2；3；4.第四章第四章 常微分方程初步常微分方程初步1 基本概念；基本概念；2 2 初等積分法；初等積分法；3 3 一階方程建模（閱讀材料一階方程建模（閱讀材料- -略）；略）；4 4 高階線性微分方程；高階線性微分方程；5 5 線性微分方程組線性微分方程組微分方程的基本概念微分方程的基本概念1 基本概念基本概念2 作為數(shù)學(xué)模型的微分方程作為數(shù)學(xué)模型的微分方程 1 與微分方程相關(guān)的基本概念與微分方程相關(guān)的基本概念（1）微分方程微分方程：包含自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)：包含自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或微分）的等式稱為（或微分）的等式稱為微分方程微分方程。如果方程中的未知。如果方程中

4、的未知函數(shù)是一元函數(shù)。則稱方程為函數(shù)是一元函數(shù)。則稱方程為常微分方程常微分方程。例如：。例如：xdxdy2 （i） ；）時時（2,1 yx且且 。（ii） ；kMdtdM 且有且有 。）（0)0(MM （iii）pthxkdtdxndtxdsin2222 其中，出現(xiàn)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為其中，出現(xiàn)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程的階方程的階。（2） 線性與非線性微分方程：假設(shè)微分方程中線性與非線性微分方程：假設(shè)微分方程中的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)函數(shù)都是作為一次式出現(xiàn)的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)函數(shù)都是作為一次式出現(xiàn)的，方程就稱為的，方程就稱為線性線性的；否則就是的；否則就是非線性非線性的。的。2)(bx

5、axbxaxdtdx )()()(32xgbyyay niiixgya0)()(一般線性方程的形式為：一般線性方程的形式為： 。下面是兩個非線性方程的例子：下面是兩個非線性方程的例子：；。（3）關(guān)于微分方程的解：）關(guān)于微分方程的解：方程的解；通解、積分方程的解；通解、積分曲線族；特解、積分曲線；定解條件（個數(shù)）；初始曲線族；特解、積分曲線；定解條件（個數(shù)）；初始條件與初值問題。條件與初值問題。下面通過一個例子說明這些概念。下面通過一個例子說明這些概念。例例 考慮一個簡單方程：考慮一個簡單方程：tnnAedtxd ，其中，其中 是常數(shù)。是常數(shù)。A【例【例4-1】（曲線的方程問題）設(shè)一曲線通過點】

6、（曲線的方程問題）設(shè)一曲線通過點(1,2)，且在該曲線上任一點且在該曲線上任一點P(x,y)處的切線斜率為處的切線斜率為2x，求此曲，求此曲線方程線方程【例【例4-2】（放射性元素的衰變問題）放射性元素鈾，】（放射性元素的衰變問題）放射性元素鈾，由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其他元素，鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其他元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫衰變由原子物理學(xué)的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫衰變由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量M成成正比如果時刻正比如果時刻t=0時鈾的含量為時鈾的含量為M0，試求在衰變過，試求在衰變

7、過程中鈾在任一時刻程中鈾在任一時刻t的含量的含量M(t)【前述方程（【前述方程（ii）】【見前述方程（【見前述方程（i）】【例【例4-3】（彈簧振動問題）設(shè)有一彈簧，它的上端固】（彈簧振動問題）設(shè)有一彈簧，它的上端固定，下端掛一個質(zhì)量為定，下端掛一個質(zhì)量為m的物體，彈簧伸長的物體，彈簧伸長l后就會處后就會處于靜止?fàn)顟B(tài)，這個位置就是物體的平衡位置如果用于靜止?fàn)顟B(tài)，這個位置就是物體的平衡位置如果用力將物體向下拉至某一位置，然后突然放開，那么物力將物體向下拉至某一位置，然后突然放開，那么物體就會在平衡位置附近作上下振動，試確定物體的運體就會在平衡位置附近作上下振動，試確定物體的運動規(guī)律動規(guī)律x（圖（

8、圖4-14-1）lOxa)簡諧振動（無阻尼自由振動）簡諧振動（無阻尼自由振動）220d xmcxdtb) 有阻尼自由振動有阻尼自由振動，設(shè)阻力與速度成正比，為，設(shè)阻力與速度成正比，為dtdxR ，則有方程，則有方程dtdxcxdtxdm 22將其將其“首一化首一化”，即得：，即得：。0222 xkdtdxndtxdc)有阻尼強(qiáng)迫振動有阻尼強(qiáng)迫振動，設(shè)有鉛直干擾力，設(shè)有鉛直干擾力ptHFsin ，pthxkdtdxndtxdsin2222 其中其中 。mHh 2 關(guān)于數(shù)學(xué)模型關(guān)于數(shù)學(xué)模型 （1）在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的時候，首先要搞清楚所）在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的時候，首先要搞清楚所要探討的對象是什么？建立模型

9、的目的是什么？要探討的對象是什么？建立模型的目的是什么？（2）在（）在（1）明確的情況下，確定構(gòu)建模型）明確的情況下，確定構(gòu)建模型的系統(tǒng)因素，即選擇與目的和對象有關(guān)的變量。的系統(tǒng)因素，即選擇與目的和對象有關(guān)的變量。 當(dāng)然，選擇模型所涉及的變量，有一定的主觀性。當(dāng)然，選擇模型所涉及的變量，有一定的主觀性?？紤]的變量太多，會使模型過于復(fù)雜，太少也可考慮的變量太多，會使模型過于復(fù)雜，太少也可能使模型嚴(yán)重失真。這往往需要權(quán)衡能使模型嚴(yán)重失真。這往往需要權(quán)衡（3）作出假設(shè)。沒有假設(shè)，就沒有數(shù)學(xué)的應(yīng)用。）作出假設(shè)。沒有假設(shè)，就沒有數(shù)學(xué)的應(yīng)用。當(dāng)然，要盡可能使假設(shè)合理。但假設(shè)是否合理，當(dāng)然，要盡可能使假設(shè)合

10、理。但假設(shè)是否合理，往往是一個經(jīng)驗和實踐的問題，不僅是思辨的。往往是一個經(jīng)驗和實踐的問題，不僅是思辨的。 這是一相當(dāng)主觀的模型。盡管據(jù)說比較準(zhǔn)確反映這是一相當(dāng)主觀的模型。盡管據(jù)說比較準(zhǔn)確反映了美國了美國70年左右的人口增長。但是那時候的美國卻年左右的人口增長。但是那時候的美國卻是大量移民的時代。多數(shù)文獻(xiàn)似乎不太提及這一點。是大量移民的時代。多數(shù)文獻(xiàn)似乎不太提及這一點。（4）關(guān)于馬爾薩斯的人口模型）關(guān)于馬爾薩斯的人口模型 。kPdtdP 一個可以做調(diào)整的相對靜態(tài)模型是：一個可以做調(diào)整的相對靜態(tài)模型是：)(PPfdtdP 說它是說它是相對靜態(tài)相對靜態(tài)，因為這個模型假設(shè)人口增長，因為這個模型假設(shè)人口

11、增長僅僅與僅僅與“瞬時人口瞬時人口”相關(guān)，而與其它社會與自然相關(guān)，而與其它社會與自然因素?zé)o關(guān)（比如計劃生育政策因素?zé)o關(guān)（比如計劃生育政策-一點歷史比較）。一點歷史比較）。不過這個模型常用來描述動物數(shù)量增長。不過這個模型常用來描述動物數(shù)量增長。（5）關(guān)于牛頓熱力學(xué)定律）關(guān)于牛頓熱力學(xué)定律 ： 其含義無非是說，溫度變化速率與溫差成正比。其含義無非是說，溫度變化速率與溫差成正比。)(mTTkdtdT 微分方程的初等積分法微分方程的初等積分法1.一階可分離變量方程一階可分離變量方程2.一階線性微分方程一階線性微分方程3.利用變量代換化簡方程利用變量代換化簡方程 絕大多數(shù)的微分方程，是無法用解析法（代數(shù)

12、和絕大多數(shù)的微分方程，是無法用解析法（代數(shù)和積分方法）求解的。積分方法）求解的。 當(dāng)然，總有一些微分方程可以解出其未知函數(shù)。當(dāng)然，總有一些微分方程可以解出其未知函數(shù)。 本章各節(jié)中，主要介紹可以用解析方法解出來的本章各節(jié)中，主要介紹可以用解析方法解出來的某些類型的常微分方程。某些類型的常微分方程。 更為深入的方程理論，不在本教程的要求范圍。更為深入的方程理論，不在本教程的要求范圍。1.一階可分離變量的微分方程一階可分離變量的微分方程 此類方程，可以直接分離變量，實際相當(dāng)于兩個此類方程，可以直接分離變量，實際相當(dāng)于兩個一階微分形式的等式。從解法上講，屬最簡單的。一階微分形式的等式。從解法上講，屬最

13、簡單的。 解這類方程就是直接積分。如果涉及的函數(shù)可積，解這類方程就是直接積分。如果涉及的函數(shù)可積，也就解出了方程。但是此類方程得到的往往是也就解出了方程。但是此類方程得到的往往是隱式通隱式通解解，在解決初值問題時，注意這一點。，在解決初值問題時，注意這一點?！纠纠?-4】求方程】求方程 的通解的通解22(1)(1)0 xydxyxdy【例【例4-5】求解初值問題】求解初值問題 .4)0(0sin)1(cos yydyeydxx注：事實上，由解析法解微分方程，基本途徑總是注：事實上，由解析法解微分方程，基本途徑總是要把微分方程變換成可以求積分的形式。而要把微分方程變換成可以求積分的形式。而“可

14、分可分離變量離變量”，便是此類形式中最重要、最基本的形式。，便是此類形式中最重要、最基本的形式。 下面一系列微分方程的解法，基本上是用下面一系列微分方程的解法，基本上是用變量代換變量代換將方程轉(zhuǎn)化為可分離變量的形式。將方程轉(zhuǎn)化為可分離變量的形式。221(1)ycx將相同變元分離到一邊，易解得：將相同變元分離到一邊，易解得：1cos;2 2 .xecy c分離不同變量到兩側(cè)，易解得：分離不同變量到兩側(cè)，易解得：2.一階線性微分方程一階線性微分方程 從方程分類角度講，類似在代數(shù)學(xué)中的一元線性方從方程分類角度講，類似在代數(shù)學(xué)中的一元線性方程，一階線性微分方程應(yīng)該是最簡單的微分方程了。程，一階線性微分

15、方程應(yīng)該是最簡單的微分方程了。不過從方程的形式上看，一階微分方程有兩個相互關(guān)不過從方程的形式上看，一階微分方程有兩個相互關(guān)聯(lián)的未知元（未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)）。聯(lián)的未知元（未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)）。 盡管一階線性微分方程最簡單，可是掌握這類方程盡管一階線性微分方程最簡單，可是掌握這類方程的解法和解的結(jié)構(gòu)形式，卻是進(jìn)一步探討其它復(fù)雜方的解法和解的結(jié)構(gòu)形式，卻是進(jìn)一步探討其它復(fù)雜方程的重要基礎(chǔ)。程的重要基礎(chǔ)。 類似于考察代數(shù)方程解的結(jié)構(gòu)，對于微分方程也是類似于考察代數(shù)方程解的結(jié)構(gòu)，對于微分方程也是首先考慮對應(yīng)的齊次方程，因其可分離變量，故易解。首先考慮對應(yīng)的齊次方程，因其可分離變量，故易解。 假設(shè)解出對應(yīng)

16、齊次方程之后，再考慮一階線性微分假設(shè)解出對應(yīng)齊次方程之后，再考慮一階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)應(yīng)該具有什么形式。方程解的結(jié)構(gòu)應(yīng)該具有什么形式。)()(xqyxpdxdy （1）非齊次（代數(shù)）線性方程的通解是由其一個）非齊次（代數(shù)）線性方程的通解是由其一個特解加上對應(yīng)齊次方程的通解得到的。特解加上對應(yīng)齊次方程的通解得到的。 由于由于求導(dǎo)算子也是線性算子求導(dǎo)算子也是線性算子，可知關(guān)于線性微分，可知關(guān)于線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，這個結(jié)論也應(yīng)該成立。方程解的結(jié)構(gòu)，這個結(jié)論也應(yīng)該成立。（2）一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：）一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：)()(xqyxpdxdy 或者簡寫為：或者簡寫為： 。qpy

17、y 其對應(yīng)的齊次方程為其對應(yīng)的齊次方程為0 pydxdy或或 。0 pyy為為可分離變量可分離變量的方程，計算（或看出）其通解為：的方程，計算（或看出）其通解為：-( )p x dxyCe （3）考察其特解的形式。如果熟悉導(dǎo)數(shù)公式的話，）考察其特解的形式。如果熟悉導(dǎo)數(shù)公式的話，在觀察方程的時候，可以想到：在觀察方程的時候，可以想到：( )( )( )( ( )( )( ( )p x dxp x dxp x dxdduu x ep x u x eedxdx 如果令如果令 ，( )( )p x dxyu x e 那么只要那么只要 pdxexqdxdu)(也就是也就是dxexqxudxxp )()(

18、)(即可滿足方程。即可滿足方程。于是我們得到一個解為：于是我們得到一個解為：)(dxqeeypdxpdx （4）方程的通解為：）方程的通解為： pdxCe)(dxqeeypdxpdx （注：這又是可分離變量的形式）。（注：這又是可分離變量的形式）。（5）關(guān)于常數(shù)變易法（一種變量代換法）。）關(guān)于常數(shù)變易法（一種變量代換法）。 回顧前面的分析過程。我們看到作為對應(yīng)齊次方程回顧前面的分析過程。我們看到作為對應(yīng)齊次方程解的函數(shù)解的函數(shù)pdxCe ，其乘積因子是常數(shù)項，其乘積因子是常數(shù)項C，求導(dǎo)，求導(dǎo)時時不能產(chǎn)生非齊次項。于是將其變換為待定的函數(shù)不能產(chǎn)生非齊次項。于是將其變換為待定的函數(shù)u(x)（所謂的

19、（所謂的常數(shù)變易法常數(shù)變易法），并由此將原方程），并由此將原方程變換為可變換為可分離變量分離變量（即可利用積分求解）的方程。（即可利用積分求解）的方程?！纠纠?-6】求方程】求方程 的通解的通解522(1)1dyyxdxx （6）例題）例題( )22( );(1)1p x dxp xec xx 222( )(1)(1)2 (1)2 (1)(1)yu xxyu xu xu xx。用常數(shù)變易法：。用常數(shù)變易法：有有【例【例4-7】求一曲線方程，這條曲線通過原點，并且它】求一曲線方程，這條曲線通過原點，并且它在點在點(x,y)處的切線斜率等于處的切線斜率等于2x+y)(dxqeeypdxpdx p

20、dxCe2(0)0dyxydxy ( 2)( 22)2(1)dxdxxxxxexedxcexeecxce (0)022(1)xycyex 代入公式可得通解：代入公式可得通解：由初始條件有：由初始條件有：22( )(1)(1)u xxuxc 可得：可得：32222( )(1)(1) ( (1)3yu xxyxxc注：這里僅為注：這里僅為常數(shù)變易法常數(shù)變易法做例。也可直接代入公式計算。做例。也可直接代入公式計算。 3.變量代換化簡方程變量代換化簡方程 前面已經(jīng)看到，一階線性微分方程的解法，在前面已經(jīng)看到，一階線性微分方程的解法，在本質(zhì)上也是利用變換，轉(zhuǎn)化為本質(zhì)上也是利用變換，轉(zhuǎn)化為“可分離變量可分

21、離變量”的形的形式。式。 由于一階線性微分方程已經(jīng)被解決了，所以將任由于一階線性微分方程已經(jīng)被解決了，所以將任何其它類型的方程，特別是某些在形式上是高階微何其它類型的方程，特別是某些在形式上是高階微分方程的類型，轉(zhuǎn)化成一階線性微分的形式，也屬分方程的類型，轉(zhuǎn)化成一階線性微分的形式，也屬于成功轉(zhuǎn)化為于成功轉(zhuǎn)化為“可分離變量可分離變量”的形式了。的形式了。 下面主要有兩大類內(nèi)容：下面主要有兩大類內(nèi)容： 變量代換的目的就是把方程變換為變量代換的目的就是把方程變換為“可分離變量可分離變量”的類型。的類型。（1）能變換為）能變換為“可直接分離變量可直接分離變量”的一類方程；的一類方程；（2）可變換為）可

22、變換為“一階線性一階線性”類型的方程。類型的方程。（1）能夠變換為）能夠變換為“可直接分離變量可直接分離變量”的一類方程：的一類方程：)(222111cybxacybxadxdy 111222dya xb ycdxa xb yc 或者其最簡形式：或者其最簡形式：（2）。）。分如下三種情況討論：分如下三種情況討論：120cc；（；（iii）1122,0,abab ；（1），），0,2211 baba0max2, 1 iic（ii）（i），（i）當(dāng)）當(dāng) 120cc時，方程為：時，方程為：)(xyhdxdy 此類型的方程稱為（此類型的方程稱為（0次）齊次（式）方程。次）齊次（式）方程。此時只需做變換

23、：此時只需做變換：xyu ，即，即xuy ，得，得dxduxudxdy 于是方程變換為于是方程變換為“變量分離型變量分離型”：xdxuuhdu )(解此方程并代回解此方程并代回xuy 即可。即可。注：這里關(guān)于齊次方程的變換，不僅僅限于方程（注：這里關(guān)于齊次方程的變換，不僅僅限于方程（1）的類型了。只要是的類型了。只要是 類型的齊次方程均可。類型的齊次方程均可。)(xyhdxdy （ii）0max2, 1 iic并且并且0,2211 baba時，做平移變換：時，做平移變換： *yxyxvu，其中：，其中：0,21*2211 ccyxbaba則方程（則方程（1）變換為齊次方程形式：）變換為齊次方程

24、形式：)(2211vbuavbuadudv 注：請注意這里線性變換與平移變換的意義注：請注意這里線性變換與平移變換的意義-齊次線性齊次線性方程組的通解與非齊次方程組的特解之間的關(guān)系與幾何方程組的通解與非齊次方程組的特解之間的關(guān)系與幾何意義。隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，線性代數(shù)的內(nèi)容和思想方意義。隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，線性代數(shù)的內(nèi)容和思想方法將不斷的出現(xiàn)。法將不斷的出現(xiàn)。（iii）1122,0,abab 時，時，22ua xb y1222()duucbadxuc 則方程（則方程（1）變換為可分離變量的形式：）變換為可分離變量的形式：。變換：。變換：。說明：教材中的說明：教材中的228頁注（頁注（i）中所述

25、情況，其實已）中所述情況，其實已經(jīng)包含在這個范圍之內(nèi)了。無須特別討論。經(jīng)包含在這個范圍之內(nèi)了。無須特別討論。其中的其中的2121bbaa 。0max2, 1 iic【例【例4-8】求解方程】求解方程=tan().dyyydxxx 【例【例4-9】求方程】求方程 的通解的通解13xyyxy xyu ( )tandududxh uuux 令令，則，則1,2,11YXYXXxYydYXYdXXYYuX 令令得得再令再令方程變換為：方程變換為：22211(1)(21)122(21)dYduuuXdXdXuu dud uudXuuuuX ，即有：，即有：（2)可變換為可變換為“一階線性一階線性”的微分方

26、程類型的微分方程類型 所謂一階線性方程，有兩個特點：一是線性；二所謂一階線性方程，有兩個特點：一是線性；二是一階。一般情況下，非線性的高階方程是不會變是一階。一般情況下，非線性的高階方程是不會變換成這樣的簡單情況的。但也有某些特殊情況，經(jīng)換成這樣的簡單情況的。但也有某些特殊情況，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q，可以歸結(jié)為一階線性方程。過適當(dāng)?shù)淖儞Q，可以歸結(jié)為一階線性方程。（i）某些可轉(zhuǎn)化為線性方程的非線性一階方程。）某些可轉(zhuǎn)化為線性方程的非線性一階方程。 （a）在常微分方程中，涉及到的主變量是兩個，）在常微分方程中，涉及到的主變量是兩個，比如說比如說x 和和y。此時，對于一階方程而言，即可以將。此時，對于一階

27、方程而言，即可以將y 看做看做x 的函數(shù)，也可以將的函數(shù)，也可以將x 看做看做y 的函數(shù)。這時，的函數(shù)。這時，只要方程對于某個變量是線性的，該方程就可以作只要方程對于某個變量是線性的，該方程就可以作為一階線性方程求解了。下面便是一例：為一階線性方程求解了。下面便是一例：【例【例4-10】求方程】求方程 的通解的通解21+y=(ln )dyx ydxx21yxdxdy 這里有這里有y 的高次項，對的高次項，對y來說，不是一個線性程，來說，不是一個線性程，但是將但是將x作為未知函數(shù)，方程便是線性方程了，即：作為未知函數(shù)，方程便是線性方程了，即：2yxdydx 。解之可得：。解之可得：yceyyx

28、222（b）伯努利方程：）伯努利方程：nyxQyxPdxdy)()( 令令，)1(1 nyzn代入，方程變換為：代入，方程變換為：)()1()()1(xQnzxPndxdz 。)()1()()1(xQnzxPndxdz 1ln ,zzxx - -22111(ln ) 12(ln ) 2zcxxyycxx 1 21=zyy 令令代入變換公式：代入變換公式：原方程變換為原方程變換為2yzy ，得，得這是一階線性方程，解之可得：這是一階線性方程，解之可得：（ii）某些可降階的方程類型）某些可降階的方程類型（a）)()(xfyn 此類方程，只需要逐次積分便可以了。此類方程，只需要逐次積分便可以了。（b

29、）方程中不顯含因變量）方程中不顯含因變量y 的情況。的情況。對于對于0),()()1()( nkkyyyxF，類型的方程，類型的方程，做變換：做變換：),1()( kyzk則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)閚-k階。階。【例【例4-11】求微分方程求微分方程 的通解的通解sinyxx 【例【例4-12】解方程】解方程22(1)10.xyy注：目前情況下，我們一般也只能解決此類二階方程。注：目前情況下，我們一般也只能解決此類二階方程?！纠纠?-13】求解初值問題】求解初值問題31.(0)1,(0)0y yyy （c）不顯含自變量）不顯含自變量x 的方程：的方程：( )( ,)0nF y y yy ，做變換：

30、做變換：yyz )(，則方程可以降一階。，則方程可以降一階。但是方程往往也不再是線性方程了。因為此時有但是方程往往也不再是線性方程了。因為此時有;dzdz dydzyzdxdy dxdy 2222)(dydzzdyzdzy 等等。等等。注意：要變換為以注意：要變換為以y為自變量，為自變量，z為未知函數(shù)的方程。為未知函數(shù)的方程。對我們所學(xué)的內(nèi)容而言，計算時只能處理二階情況。對我們所學(xué)的內(nèi)容而言，計算時只能處理二階情況。( )z yy 22231()dzyzzzzyycdyy (1)( , ,)0nF y z zz ，（關(guān)于（關(guān)于z的方程，的方程，y是自變量）是自變量）【例【例4-14】求解方程】

31、求解方程2()0.yyy（d）導(dǎo)數(shù)）導(dǎo)數(shù)=0的形式，首次積分法。的形式，首次積分法。若方程具有若方程具有),(),(0)1()( nnyyyxdxdyyyxF，的形式。則方程實際是的形式。則方程實際是(1)( , ,)nx y yyc ，這已經(jīng)是這已經(jīng)是n-1階的方程了。階的方程了。2()()0,.dyyyyyyycdx注：注：2(0)1,(0)01;1yycdyydx 222(0)1,11dyyydxyx 小結(jié)：本節(jié)的核心內(nèi)容是小結(jié)：本節(jié)的核心內(nèi)容是分離變量法分離變量法和和一階線性方程一階線性方程。其它幾個變換，也都是為了將某些特殊類型的方程線其它幾個變換，也都是為了將某些特殊類型的方程線性

32、化、低階化，最終還是要分離變量，求積分。性化、低階化，最終還是要分離變量，求積分。 解微分方程，一般的，說到底還是與積分相關(guān)的問解微分方程，一般的，說到底還是與積分相關(guān)的問題。題。 當(dāng)然，在已經(jīng)有了固定公式的情況下，可以直接代入當(dāng)然，在已經(jīng)有了固定公式的情況下，可以直接代入公式計算。公式計算。 不過，第四節(jié)以及后面的內(nèi)容，僅從計算的角度講，不過，第四節(jié)以及后面的內(nèi)容，僅從計算的角度講，積分卻不是主角。起主要作用的是代數(shù)方法，解代數(shù)積分卻不是主角。起主要作用的是代數(shù)方法，解代數(shù)方程或求矩陣的特征值等等。不過這只是對一類形式方程或求矩陣的特征值等等。不過這只是對一類形式簡單的高階方程或方程組（非簡

33、單的高階方程或方程組（非0次項系數(shù)為常數(shù)）而次項系數(shù)為常數(shù)）而言。其中積分（指數(shù)函數(shù)的積分）是潛在起著作用的。言。其中積分（指數(shù)函數(shù)的積分）是潛在起著作用的。高階線性微分方程高階線性微分方程1.通解的結(jié)構(gòu)；通解的結(jié)構(gòu)；2.高階常系數(shù)齊次線性方程；高階常系數(shù)齊次線性方程；3.高階常系數(shù)線性非齊次方程；高階常系數(shù)線性非齊次方程；4.某些變系數(shù)線性方程。某些變系數(shù)線性方程。1.高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 本節(jié)給出了六個定理，其中關(guān)于解的結(jié)構(gòu)定理，本節(jié)給出了六個定理，其中關(guān)于解的結(jié)構(gòu)定理，教材中僅僅涉及到二階線性微分方程。事實上可以教材中僅僅涉及到二階線性微分方程。事實上可以直接

34、給出一般的直接給出一般的n 階情況。階情況。 這六個定理，只有兩個定理不是平凡的，即：這六個定理，只有兩個定理不是平凡的，即： （1）解的存在及唯一性定理；）解的存在及唯一性定理； （2）齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理。）齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理。 其中，解的存在及唯一性定理是最重要的基礎(chǔ)，也其中，解的存在及唯一性定理是最重要的基礎(chǔ)，也是這里面最不平凡的定理。在這個定理的基礎(chǔ)上，是這里面最不平凡的定理。在這個定理的基礎(chǔ)上，可以相對比較容易的得到齊次線性微分方程解的結(jié)可以相對比較容易的得到齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理。其它定理，極容易想到，也容易驗證。構(gòu)定理。其它定理，極容易想到，也容易驗證。附錄：關(guān)于線性空

35、間與線性映射的一些基礎(chǔ)知識附錄：關(guān)于線性空間與線性映射的一些基礎(chǔ)知識1.線性空間，空間的一組基與空間維數(shù)，線性映射；線性空間，空間的一組基與空間維數(shù)，線性映射；2.線性空間的子空間與線性空間的子空間與“超平面超平面”概念概念-它們的區(qū)別；它們的區(qū)別；3.由空間中一組向量由空間中一組向量“張成張成”（線性生成）的子空間；（線性生成）的子空間；4.線性映射（從一個線性空間到另一個線性空間）線性映射（從一個線性空間到另一個線性空間）的映射像與映射核的映射像與映射核-像空間與核空間（子空間）。像空間與核空間（子空間）。5.線性空間的同構(gòu)概念線性空間的同構(gòu)概念-同構(gòu)的充要條件。同構(gòu)的充要條件。 下面從線

36、性映射的觀點闡述線性微分方程所表現(xiàn)的下面從線性映射的觀點闡述線性微分方程所表現(xiàn)的的關(guān)系。的關(guān)系。 并且利用上面所述的基本知識，給出齊次與非齊次并且利用上面所述的基本知識，給出齊次與非齊次的線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理。的線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理。（1）線性微分方程與線性映射（從映射觀點看方程）線性微分方程與線性映射（從映射觀點看方程） 一般的（一般的（n 階）線性微分方程為如下形式：階）線性微分方程為如下形式：( )(1)1( )( )( )nnnya x yax yf x （1）( )(1)1( )0nnnya x yax y （ ）（ ）該方程對應(yīng)的齊次方程為：該方程對應(yīng)的齊次方程為：（2）如

37、果引入算子符號如果引入算子符號 niiiidxdxaL0)(。即有：。即有：iiniidxydxaxyLyL 0)()()(則可以將則可以將 niiiidxdxaL0)(看做一個映射?？醋鲆粋€映射。為了便于說明，在這里引進(jìn)幾個記號：為了便于說明，在這里引進(jìn)幾個記號：,|,)(階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)上有連續(xù)上有連續(xù)是在是在nbabaCn ,|,上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù)是在區(qū)間是在區(qū)間baffbaC ；。易知，易知， 與與 都是線性空間（向量空間）。都是線性空間（向量空間）。 而而L，顯然是從顯然是從 到到 的一個線性映射，的一個線性映射，即有：即有：( ) , nCa b , C a b( )

38、 , nCa b , C a b)()()(22112211 LcLcccL 其中的其中的 和和 都是常數(shù)。都是常數(shù)。1c2c（3） 按照這個觀點。求解微分方程按照這個觀點。求解微分方程（1），其實就是求其實就是求得得 中的元中的元 （注意它是一個函數(shù)）使得：（注意它是一個函數(shù)）使得：( ) , nCa b( )( ( )( )LfLxf x或或（4） 而求解齊次線性微分方程而求解齊次線性微分方程（2），也就是求得所有也就是求得所有( ) , nCa b中的元中的元 ，使得，使得 0)( L。也就是求線性。也就是求線性映射映射L的核，即要完整表示下面的集合：的核，即要完整表示下面的集合： 由以

39、上討論，立刻可以得到如下幾個結(jié)論：由以上討論，立刻可以得到如下幾個結(jié)論： 注意，滿足注意，滿足（4）式的一個確定的函數(shù)式的一個確定的函數(shù) （既滿足（既滿足一定的定解條件），稱為方程一定的定解條件），稱為方程（1）的一個特解。的一個特解。 疊加原理疊加原理1（教材中的定理（教材中的定理4-2） 設(shè)設(shè))(, )(),(21xyxyxyn，是齊次方程是齊次方程（2）的一組解，則其線性組合的一組解，則其線性組合)(1xycinii 也是方程也是方程（2）的解。的解。0)(| ,ker)( LbaCLn。疊加原理疊加原理2（教材定理（教材定理4-6） 設(shè)設(shè)21)(,)(fyLfyL 12sftf *2t

40、y的特解。則的特解。則是方程是方程*1sy+)(1)()(iniiyxayL =推論推論（教材定理（教材定理4-3的另一種表述）的另一種表述）*1y與與分別是方程分別是方程*2y1y是方程是方程（1）的解，則的解，則21yy 為方程為方程（2）的解，即存在的解，即存在（2）的的 12yy設(shè)設(shè)2y是方程是方程（1）解的充解的充要條件是要條件是解解，使得，使得分析：由以上結(jié)論可以看出，如果我們可以求得方分析：由以上結(jié)論可以看出，如果我們可以求得方的一個特解（其中的一個特解（其中 都是實數(shù)）。都是實數(shù)）。ts,程程（1）的一個特解，并且得到方程的一個特解，并且得到方程（2）通解的某種通解的某種表示形

41、式，則表示形式，則方程方程（1）的通解的通解便可以便可以表示為表示為這個這個特特解與解與（2）的通解之和的通解之和。這便是這便是非齊次方程非齊次方程（1）的的通解結(jié)構(gòu)定理通解結(jié)構(gòu)定理的內(nèi)容（教材定理的內(nèi)容（教材定理4-5）. 因此，只要能夠搞清對應(yīng)于方程因此，只要能夠搞清對應(yīng)于方程（1）的齊次方程的齊次方程通解的結(jié)構(gòu)，非齊次方程通解的結(jié)構(gòu)，非齊次方程（1）的通解結(jié)構(gòu)問題也就的通解結(jié)構(gòu)問題也就解決了。下面便專門討論齊次方程解決了。下面便專門討論齊次方程（2）通解的結(jié)構(gòu)通解的結(jié)構(gòu)問題。問題。（2）關(guān)于齊次線性微分方程的解空間（解集）關(guān)于齊次線性微分方程的解空間（解集） 我們知道線性代數(shù)中的一個基本

42、定理：我們知道線性代數(shù)中的一個基本定理：任何任何n維向維向量空間中的任意量空間中的任意n個線性無關(guān)向量，構(gòu)成該空間的一個線性無關(guān)向量，構(gòu)成該空間的一組基，即空間中任何向量都可以表示為這組向量的線組基，即空間中任何向量都可以表示為這組向量的線性組合，且表法唯一（性組合，且表法唯一（注：但基的組成并非唯一的注：但基的組成并非唯一的）。 顯然，如果能夠證明齊次方程顯然，如果能夠證明齊次方程（2）的解空間線性的解空間線性同構(gòu)同構(gòu)于由于由n元有序數(shù)組所構(gòu)成的元有序數(shù)組所構(gòu)成的n維向量空間維向量空間nR。便立刻有如下結(jié)論。便立刻有如下結(jié)論。齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)定理齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)定理（教材

43、定理（教材定理4-4）設(shè)設(shè)n ，,21是齊次方程是齊次方程（2）的一組特解，且的一組特解，且它們線性無關(guān)，則方程它們線性無關(guān)，則方程（2）的通解表示形式為：的通解表示形式為： niiinnccccy12211 （5）其中其中), 2 , 1(nici， 表示任意常數(shù)項。表示任意常數(shù)項。注：與求積分作類比，所謂方程的通解，就相當(dāng)于注：與求積分作類比，所謂方程的通解，就相當(dāng)于不定積分；而所謂特解，就相當(dāng)于一個原函數(shù)。不定積分；而所謂特解，就相當(dāng)于一個原函數(shù)。( ) , nCa b , C a b0)(| ,ker)( LbaCLn niiiidxdxaL0)( 由前面的討論我們已經(jīng)知道，由前面的討

44、論我們已經(jīng)知道，與與都是線性空間（向量空間）。而都是線性空間（向量空間）。而則是由則是由( ) , nCa b到到 , C a b的線性映射。因此的線性映射。因此，即方程即方程（2）的解集，也是一個線性空間（的解集，也是一個線性空間（的一個子空間）。的一個子空間）。( ) , nCa b 證明證明0)(| ,ker)( LbaCLn是一個是一個n維向量維向量空間的關(guān)鍵是如下一個重要的定理?？臻g的關(guān)鍵是如下一個重要的定理。（該定理的證明不作要求，故略去其證明。）（該定理的證明不作要求，故略去其證明。）基本定理（線性微分方程解的存在及唯一性定理）基本定理（線性微分方程解的存在及唯一性定理）（注：這

45、是對教材中定理（注：這是對教材中定理4-1稍作修改的一個陳述）稍作修改的一個陳述）), 2 , 1()(nixai， )(xf）（x y0 x），（)1(0)2(0)1(0)0(0, nyyyynR ), 2 , 1()(00)(niyxii，）（ ,ba設(shè)設(shè)與與都是在閉區(qū)間都是在閉區(qū)間,ba上連續(xù)的函數(shù)。上連續(xù)的函數(shù)。是是中任意一點，則中任意一點，則對任意一個對任意一個n元有序數(shù)組元有序數(shù)組存在唯一的函數(shù)存在唯一的函數(shù)是方程是方程（1）滿足初始滿足初始條件條件的解（特解）。的解（特解）。，)( |fL 如果引入一個映射符號如果引入一個映射符號 ：對任意：對任意 ），）（）（）（)(),(,0

46、10)1(0)0(xxxn ， 那么前述基本定理表明，這個映射那么前述基本定理表明，這個映射 是從方程是從方程（1）的解集到的解集到nR的一個雙射。這意味方程的一個雙射。這意味方程（1）的解集的解集相當(dāng)于一個相當(dāng)于一個n維的超平面。但是它不見得構(gòu)成一個維的超平面。但是它不見得構(gòu)成一個向量空間，除非方程是齊次的，即向量空間，除非方程是齊次的，即 。0 f0 f 而當(dāng)而當(dāng) 時，上述定理表明，齊次方程時，上述定理表明，齊次方程（2）的解的解集是與集是與 同構(gòu)的線性空間，因此也是同構(gòu)的線性空間，因此也是n維的。維的。nR 至此，前述所有結(jié)論都已經(jīng)得到了證明（基本定至此，前述所有結(jié)論都已經(jīng)得到了證明（基

47、本定理除外）。（簡單總結(jié)，此略）理除外）。（簡單總結(jié)，此略）（3）幾個技術(shù)性細(xì)節(jié)的說明）幾個技術(shù)性細(xì)節(jié)的說明（i）關(guān)于函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)。）關(guān)于函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)。【例【例4-22】證明在任何區(qū)間】證明在任何區(qū)間I上，上，xx22cos,sin, 1（1）函數(shù)組）函數(shù)組 是線性相關(guān)的；是線性相關(guān)的；（2）函數(shù)組）函數(shù)組 是線性無關(guān)的是線性無關(guān)的.nxxx, 132【例【例4-23】驗證】驗證 是方程是方程xxy )(xyy 的一個特解的一個特解. 是對應(yīng)的齊次線性微分是對應(yīng)的齊次線性微分方程的兩個解，并寫出非齊次線性微分方程的通解方程的兩個解，并寫出非齊次線性微分方程的通解.xxe

48、yey 21,（ii）關(guān)于特解與通解的驗證和表示。）關(guān)于特解與通解的驗證和表示。2.高階常系數(shù)齊次微分方程的解法高階常系數(shù)齊次微分方程的解法 不夸張的說，微分（積分）方程（甚至代數(shù)方程）不夸張的說，微分（積分）方程（甚至代數(shù)方程）是數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)的問題。因為總有解不完的方程，主要是數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)的問題。因為總有解不完的方程，主要是沒有一勞永逸的解決方法。是沒有一勞永逸的解決方法。 盡管從理論上講，線性微分方程解的結(jié)構(gòu)關(guān)系已盡管從理論上講，線性微分方程解的結(jié)構(gòu)關(guān)系已經(jīng)很清楚了，但是卻沒有具體的解法。經(jīng)很清楚了，但是卻沒有具體的解法。 不過，如果齊次線性方程的各項系數(shù)都是常數(shù)，不過，如果齊次線性方程的各項系數(shù)

49、都是常數(shù)，在理論上講，其解法算是徹底給出了。有趣的是，解在理論上講，其解法算是徹底給出了。有趣的是，解這類微分方程的問題，被歸結(jié)為解代數(shù)方程。這類微分方程的問題，被歸結(jié)為解代數(shù)方程。 其實這也不奇怪，因為正如前面所述，從映射的觀其實這也不奇怪，因為正如前面所述，從映射的觀點看，解線性微分方程（特別是常系數(shù)情況下），與點看，解線性微分方程（特別是常系數(shù)情況下），與解線性代數(shù)方程具有十分相似的形式關(guān)系。解線性代數(shù)方程具有十分相似的形式關(guān)系。 然而，在歸結(jié)為代數(shù)方程之前，然而，在歸結(jié)為代數(shù)方程之前，首先是觀察與猜測！首先是觀察與猜測?。?）歐拉待定指數(shù)函數(shù)法歐拉待定指數(shù)函數(shù)法( )(1)10nnny

50、a ya y 設(shè)有系數(shù)都是常數(shù)的線性齊次方程：設(shè)有系數(shù)都是常數(shù)的線性齊次方程：（1） 顯然，對于一階的情況，很容易看出來，一個指數(shù)顯然，對于一階的情況，很容易看出來，一個指數(shù)函數(shù)可以是它的解。那么如果將一個指數(shù)形式的函函數(shù)可以是它的解。那么如果將一個指數(shù)形式的函數(shù)，比如說將數(shù)，比如說將xey 代入到方程中，會得到什么結(jié)果呢？立刻得到代入到方程中，會得到什么結(jié)果呢？立刻得到一個如下的方程：一個如下的方程：xe 0)(111 nnnnaaa 而這個方程等價于：而這個方程等價于：1110nnnnaaa （2）不難看出，如果得到代數(shù)方程（不難看出，如果得到代數(shù)方程（2）的一個根，也就）的一個根，也就得

51、到微分方程（得到微分方程（1）的一個根。于是）的一個根。于是方程（方程（2）被稱）被稱為齊次線性微分方程（為齊次線性微分方程（1）的特征方程）的特征方程。其根被稱為。其根被稱為特征根特征根。 由于由于n 次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n 個根，根據(jù)齊次方程解的結(jié)構(gòu)個根，根據(jù)齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理，不難看出，這個轉(zhuǎn)化，提供了清晰的途徑，可定理，不難看出，這個轉(zhuǎn)化，提供了清晰的途徑，可以完整的解出微分方程（以完整的解出微分方程（1）的通解。）的通解。 注意：如果沒有前面的關(guān)于通解的結(jié)構(gòu)定理，還注意：如果沒有前面的關(guān)于通解的結(jié)構(gòu)定理，還不好說這樣就可以獲得方程所有的解。不好說這樣就可以獲得方程所有的解。一般

52、的，通過計算和討論?？梢缘玫饺缦陆Y(jié)果：一般的，通過計算和討論?？梢缘玫饺缦陆Y(jié)果：（注意到每個特征根對應(yīng)方程的一個解）（注意到每個特征根對應(yīng)方程的一個解）表表1 n階常系數(shù)齊次微分方程通解的組成函數(shù)階常系數(shù)齊次微分方程通解的組成函數(shù)特征根情況特征根情況單實根單實根 k重實根重實根單重共軛復(fù)根單重共軛復(fù)根K重共軛復(fù)根重共軛復(fù)根方程通解中對應(yīng)的解項方程通解中對應(yīng)的解項 i i xce )(12321 kkxcxcxccxe x sinx cos1c2cxe （）+xe x sinx cos112()kkcc xc x +112()kkcc xc x 對于二階方程，其特征方程的共軛復(fù)根只能是單對于二階

53、方程，其特征方程的共軛復(fù)根只能是單重的。下面分別討論這些對應(yīng)是怎樣得到的。重的。下面分別討論這些對應(yīng)是怎樣得到的。根據(jù)前面的表，容易看出來二階方程通解的情況：根據(jù)前面的表，容易看出來二階方程通解的情況：（i）兩個相異實根）兩個相異實根（ii）（iii）21, xxecec2121 通解通解；二重根二重根 通解為通解為12()cc x xe 共軛復(fù)根共軛復(fù)根 i 通解為通解為x sinx cos1c2cxe （）+注：（注：（i）是顯然的；（）是顯然的；（ii）注意到對首）注意到對首1多項式多項式； （iii）此時通解形式的出處可以考慮歐拉公式。）此時通解形式的出處可以考慮歐拉公式。，其重根滿足

54、：，其重根滿足：2 +0p 22+()xpxqx 22+0;+()0ypyqyxpxqx 附：關(guān)于（附：關(guān)于（ii）的推導(dǎo)過程。設(shè)二階方程）的推導(dǎo)過程。設(shè)二階方程2222( )( )( )( )( )( )2( )( )xxxxxxyxx yx eyx ex eyx ex ex e ；設(shè)設(shè)得得2222+(2)(+)( )0 xxypyqyeppqex ；代入代入只需滿足只需滿足，便得到方程的另一個解。，便得到方程的另一個解。( )xx 最簡明可設(shè)最簡明可設(shè) ，即可。，即可。【例【例4-24】求方程】求方程 的通解的通解.06 yyy【例【例4-25】求方程】求方程 滿足初始條件滿足初始條件02

55、22 sdtdsdtsd2, 400 ttdtdss的特解的特解.【例【例4-26】求方程】求方程 的通解的通解.0134 yyy【例【例4-27】求方程】求方程 的通解的通解.02)5( yyy【例【例4-28】求初始問題】求初始問題 的解的解. 0)0()0(, 1)0(0539yyyyyyy3.高階常系數(shù)非齊次微分方程的解法高階常系數(shù)非齊次微分方程的解法 由可以理解的原因，這里僅僅考慮二階方程。顯然由可以理解的原因，這里僅僅考慮二階方程。顯然對于常系數(shù)非齊次線性方程，主要的是找出其一個對于常系數(shù)非齊次線性方程，主要的是找出其一個特解。特解。 一般而言，我們考慮的非齊次方程中的非齊次項，一

56、般而言，我們考慮的非齊次方程中的非齊次項，是初等函數(shù)，而最常見的是多項式、指數(shù)函數(shù)、三是初等函數(shù)，而最常見的是多項式、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及它們的組合形式。角函數(shù)以及它們的組合形式。 解方程的基本方法是解方程的基本方法是待定系數(shù)法待定系數(shù)法。也是。也是純代數(shù)方法純代數(shù)方法。下面主要介紹三種情況，分別是方程的非齊次項下面主要介紹三種情況，分別是方程的非齊次項)(xf為：為：（i）指數(shù)函數(shù)與多項式的乘積；）指數(shù)函數(shù)與多項式的乘積；（ii）指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積；）指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積；（iii）上述兩類函數(shù)之和的情況。）上述兩類函數(shù)之和的情況。（i）( )(1)1nnnya ya y )(x

57、Pemx 其中其中 miimimxbxP0)(是常數(shù)，是常數(shù)，是是m次多項式。次多項式。 由于指數(shù)函數(shù)與多項式的乘積的各階導(dǎo)數(shù)依然還是由于指數(shù)函數(shù)與多項式的乘積的各階導(dǎo)數(shù)依然還是指數(shù)函數(shù)與多項式的乘積。因此為求得（指數(shù)函數(shù)與多項式的乘積。因此為求得（1）的一個）的一個特解，可以合理的設(shè)該解也具有這樣的形式。即設(shè)特解，可以合理的設(shè)該解也具有這樣的形式。即設(shè)（1）)(*xQeyx 是方程的一個解。這里的是方程的一個解。這里的)(xQ是一個待定的多項式。是一個待定的多項式。（1*）將（將（1*）代入方程（）代入方程（1）可得如下等式：）可得如下等式：下面僅以二階方程為例，說明如何確定下面僅以二階方程

58、為例，說明如何確定)(xQ。高階。高階方程的情況完全類似。只是公式和符號略顯繁復(fù)，可方程的情況完全類似。只是公式和符號略顯繁復(fù)，可以自行推導(dǎo)和討論。以自行推導(dǎo)和討論。mPQqpQpQ )()2(2 （1*） miimixa0( )mQx設(shè)有一個待定的設(shè)有一個待定的m次多項式為：次多項式為：下面分三種情況考慮：下面分三種情況考慮：qp 2 （a）非非0，即，即不是特征方程的根，不是特征方程的根，則知則知)(xQ應(yīng)該是是應(yīng)該是是m次多項式。次多項式。設(shè)設(shè)( )mQx利用待定系數(shù)法確定利用待定系數(shù)法確定( )mQx的各項系數(shù)即可。的各項系數(shù)即可。)(xQ=p 2（b）非非0，但是，但是qp 2=0，

59、即，即 特征方程的一個單根，則特征方程的一個單根，則是是)(xQ 應(yīng)該是一個應(yīng)該是一個m次多次多項式，而項式，而)(xQ是一個是一個m+1次多項式，于是設(shè)次多項式，于是設(shè))()(xxQxQm 同樣可以用待定系數(shù)法確定同樣可以用待定系數(shù)法確定( )mQx)(xQ的各項系數(shù)，也就的各項系數(shù)，也就求出了求出了。（c）如果）如果qp 2p 2與與均為均為0，即，即 是特征是特征重根。則重根。則)(xQ 是一個是一個m次多項式。次多項式。)(xQ應(yīng)該是應(yīng)該是m+2次多項式。這時設(shè)次多項式。這時設(shè)2( )( )mQ xx Qx 依然由待定系數(shù)法，利用（依然由待定系數(shù)法，利用（1*）求出）求出)(xQ即可。

60、即可。注注1：以上討論不難看出對于一般的高階方程（：以上討論不難看出對于一般的高階方程（1），），其特解的形式應(yīng)該為：其特解的形式應(yīng)該為：)(*xQexymxk （其中（其中 是是 作為特征根的重數(shù)）。作為特征根的重數(shù)）。k 【例【例4-29】求方程】求方程 的一個特解的一個特解.23522 xxyyy注注2 （求解方程（求解方程（1）基本步驟）先給出特征方程，）基本步驟）先給出特征方程，然后：然后： 檢查檢查 是特征方程的幾重根，據(jù)此寫出方程待定是特征方程的幾重根，據(jù)此寫出方程待定特解的基本形式；特解的基本形式；最后給出原方的通解形式。最后給出原方的通解形式。將待定的特解代入方程，確定相關(guān)系