第八章 雙曲線解答題五 人教版

1、第八章 雙曲線解答題五80、設雙曲線(>0,>0)上一點M(x0,y0),左、右焦點為F1、F2,離心率為e,記,求證該雙曲線的焦半徑公式是：r1=81、求證：以雙曲線焦半徑為直徑的圓,必與以雙曲線實軸為直徑的圓相切.翰林匯82、求證：等軸雙曲線上任一點到中心的距離是這點到兩個焦點的距離的比例中項.翰林匯83、已知雙曲線的焦點為F1、F2(),實軸長為2a,試證明：平面內到兩焦點F1、F2的距離的平方差的絕對值等于(2a)2的點的軌跡是已知雙曲線的兩條準線.翰林匯84、等軸雙曲線的頂點A,平行于實軸的弦MN,求證：AMN是直角三角形.翰林匯85、求證：雙曲線上任一點到兩條漸近線的距

2、離的積等于定值.翰林匯86、經過雙曲線的右焦點F的直線與一條漸近線1垂直于A，交另一條漸近線2于B，求證：線段AB被雙曲線的左準線平分。翰林匯87、已知雙曲線C：,F1、F2分別是它的左右焦點,拋物線l的焦點與C的右焦點重合,l的準線與C的左準線重合,P是C和l的一個交點.求證：=1.翰林匯88、點P在雙曲線=1上,F1、F2為焦點,PF1F2的內切圓切x軸于A點,如圖,求證：A為雙曲線的頂點.翰林匯89、已知AB是雙曲線過焦點F1的任意一條弦, 以AB為直徑的圓被F1相應的準線截得圓弧MN, 求證：弧MN的度數為定值.翰林匯90、求證：經過雙曲線上任一點,作兩條直線分別平行于兩條漸近線,則圍

3、成的平行四邊形的面積為定值.翰林匯91、F1MF2的頂點F1、F2是雙曲線b2x2-a2y2=a2b2的兩個焦點,點M在雙曲線上,若F1MF2=,求證：F1MF2的面積S=b2ctg.翰林匯92、AB是雙曲線的一條弦,AB的中點為M,雙曲線中心為O,如果AB、OM的斜率分別為k、k0,求證：kk0=.翰林匯93、設一直線交雙曲線于點A、B,交雙曲線的漸近線于點C、D,求證：翰林匯94、已知點A是雙曲線上的動點,O是雙曲線中心,線段OA的中點為M.試求點M的軌跡方程,并證明點M的軌跡是與已知雙曲線離心率相等的雙曲線.翰林匯95、證明：兩條準線把兩焦點間的線段分成1：2：1的雙曲線是等軸雙曲線.翰

4、林匯96、設雙曲線的實軸長、虛軸長、焦距、離心率分別為2a、2b、2c、e;焦點到相應準線的距離叫焦準距,記為p;過焦點垂直于實軸的弦叫通徑,其長度記為d.求證：(1)p=翰林匯97、設雙曲線的焦點在漸近線上的射影為G,求證：G是準線與漸近線的交點.翰林匯98、已知直線l和雙曲線(a0,b0)及其漸近線依次交于A,B,C,D四點(如圖), 求證： |AB|=|CD|. 翰林匯99、證明：雙曲線的一條漸近線和一條準線交于H點,則由雙曲線中心O到H的線段長等于雙曲線的實半軸長.翰林匯100、雙曲線( ba0)上有兩點A、B,它們與中心O的連線互相垂直,求證是定值.翰林匯101、雙曲線=1中一條準線

5、和一漸近線的交點為M，與這條準線相對應的焦點為F，求證：MF與這條漸近線垂直。翰林匯102、設A、B是等軸雙曲線x2y2=a2的兩個頂點，MN是該雙曲線垂直于x軸的弦，如圖所示，求證：MANMBN=1800. 翰林匯103、設F1、F2為雙曲線(a0，b0)的左焦點和右焦點，P是其右支上的一點（非頂點），設PF1F2=，PF2F1=，e為雙曲線的離心率，求證：.翰林匯104、求證：雙曲線的漸近線、過焦點與該漸近線垂直的直線以及對應此焦點的準線經過同一點。105、過點P(2,2)的直線被雙曲線x22y2=8截得的弦MN的中點恰好為P, 求|MN|的值.翰林匯106、已知雙曲線以兩坐標為對稱軸,

6、點M(3.2,2.4)是其準線和漸近線的交點, 求此雙曲線的方程.翰林匯107、一個圓的圓心在雙曲線的右焦點F2上,該圓過雙曲線的中心,交雙曲線于點P,直線PF1(F1是雙曲線的左焦點)是該圓的切線,求雙曲線的離心率e.108、已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為。(1) 求雙曲線C的方程；(2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且(其中O為原點)，求k的取值范圍。翰林匯參考答案80、 提示：利用雙曲線第二定義翰林匯81、 提示：利用雙曲線定義和三角形中位線定理證明兩圓圓心距等于半徑之和或半徑之差的絕對值。翰林匯82、 利用焦半徑公式.翰林匯83、 設F1(c，

7、0)、F2(c，0)，M(x，y)為軌跡上任意一點，則|(x+c)2+y2(xc)2+y2|=4a2 所以翰林匯84、 提示：證明MA、NA的斜率乘積為-1翰林匯85、 提示：用距離公式計算,定值為翰林匯86、 ，代入漸近線方程得.設AB中點的坐標為(x0，y0),則x0=(xAxB)-.左準線方程為x=-AB被左準線平分。翰林匯87、 證明： 又|PF1|PF2|=2a . =1.翰林匯88、 證明： 如圖：|PF1|=|PM|MF1|=|PM|F1A| |PF2|=|PN|NF2|=|PN|F2A| 又|PF1|PF2|=2a |F1A|F2A|=|F1F2|=2c，|PM|=|PN|得|

8、F1A|F2A|=|F1F2|F2A|F2A|=2a2|F2A|=2c2a |F2A|=ca A(a,0)即A為雙曲線一個頂點,同理可證,點P在左支上時,點A(a,0).翰林匯 89、 先證圓與準線相交, 然后得弧MN的弧度數為2arccos(e為雙曲線離心率).翰林匯90、 定值為ab,a、b為雙曲線的實半軸長、虛半軸長.翰林匯91、 提示：在F1MF2中使用余弦定理，并結合翰林匯92、 提示：類比于橢圓。翰林匯93、提示：設雙曲線方程為b2x2-a2y2=a2b2,則漸近線方程為b2x2-a2y2=0,再設直線方程,利用韋達定理證明線段AB與CD的中點重合.翰林匯94、 離心率都為.翰林匯

9、95、 略 翰林匯96、 略翰林匯 97、 略翰林匯98、 證明： 若直線l不與x軸垂直, 則可設l的方程為y=kx+m, 代入雙曲線方程b2x2a2y2a2b2=0,并整理得 (b2a2k2)x22a2kmxa2(m2+b2)=0, 設A(x1,y1),D(x2,y2), 則. 再將y=kx+m代入雙曲線漸近線方程, 得b2x2a2y2=0,并整理得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2=0,設B(x3,y3),C(x4,y4),則 . x1+x2=x3+x4.這說明線段AD的中點和線段BC的中點重合, 故|AB|=|CD|.翰林匯99、 略翰林匯100、 定值為.提示：選擇中心為極點的極

10、坐標系.翰林匯101、 解：M：，M()，F(c，0)，KMF=-，MF與漸近線y=x垂直。翰林匯102、 略解.記MAX=，MBX=，則0900.由對稱性MNA= 2，MBN=2，設M(x1，y1)(x10，y10)，則x12y12=a2.tg=tgMAX= tg=MBN=，tg·tg=·=1.tg=tg=tg(900).0900900，0900.=900.由此，可得結論，MANMBN=1800.翰林匯103、 提示：應用正弦定理及比例的性質. 翰林匯104、 略105、 翰林匯 106、 .翰林匯107、 解：雙曲線(a0,b0),中心(0,0),c2=a2+b2,左焦點F1(-1,0),右焦點F2(c,0)圓的方程為(x-c)2+y2=c2由題意,PF1為圓的切線,PF1PF2,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.(1)又點P在雙曲線上,|PF1|-|PF2|=2又|P