充分必要條件 學(xué)生

1、志格教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義課 題充分條件和必要條件教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生理解充要條件的概念，掌握充要條件的判斷；2在師生、學(xué)生間的數(shù)學(xué)交流中增強(qiáng)邏輯思維活動，為用等價轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題打下良好的邏輯基礎(chǔ).教學(xué)內(nèi)容同學(xué)們，當(dāng)某一天你和你的媽媽在街上遇到老師的時候，你向老師介紹你的媽媽說：“這是我的媽媽”.那么，大家想一想這個時候你的媽媽還會不會補充說：“你是她的孩子”呢？不會了！為什么呢？因為前面你所介紹的她是你的媽媽就足于保證你是她的孩子.那么，這在數(shù)學(xué)中是一層什么樣的關(guān)系呢？今天我們就來學(xué)習(xí)這個有意義的課題充分條件與必要條件.二、講解新課：符號“”的含義前面我們討論了“若p則q”形式的命題，其中有

2、的命題為真，有的命題為假.“若p則q”為真，就是說，如果p成立，那么q一定成立，記作pq，或者qp；如果由p推不出q，命題為假，記作pq. 簡單地說，“若p則q”為真，記作pq（或qp）；“若p則q”為假，記作pq（或qp）. 符號“”叫做推斷符號.例如，“若x>0，則x2>0”是一個真命題，可寫成：x>0 x2>0；又如，“若兩三角形全等，則兩三角形的面積相等”是一個真命題，可寫成：兩三角形全等兩三角形面積相等.說明：“pq”表示“若p則q”為真；也表示“p蘊含q”.“pq”也可寫為“qp”，有時也用“pq”. 什么是充分條件？什么是必要條件？如果已知pq，那么我們就

3、說，p是q的充分條件，q是p的必要條件.在上面是兩個例子中，“x>0”是“x2>0”的充分條件，“x2>0”是“x>0”的必要條件；“兩三角形全等”是“兩三角形面積相等”的充分條件，“兩三角形面積相等”是“兩三角形全等”的必要條件.充分條件與必要條件的判斷1.直接利用定義判斷：即“若pq成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”.（條件與結(jié)論是相對的）4.什么是充要條件？如果既有pq，又有qp，就記作pq.此時，p既是q的充分條件，p又是q的必要條件，我們就說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.（當(dāng)然此時也可以說q是p的充要條件）例如，“x=0，y=0”是“x2+y

4、2=0”的充要條件；“三角形的三條邊相等”是“三角形的三個角相等”的充要條件.說明：符號“”叫做等價符號.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等價于q”. “充要條件”有時還可以改用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表示，其中“當(dāng)”表示“充分”，“僅當(dāng)”表示“必要”.5.幾個相關(guān)的概念若pq，但pq，則說p是q的充分而不必要條件；若pq，但pq，則說p是q的必要而不充分條件；若pq，且pq，則說p是q的既不充分也不必要條件.例如，“x>2”是“x>1”的充分而不必要的條件；“x>1”是“x>2”的必要而不充分的條件；“x>0 ,y>0”是“x+y<0”的既不充分也不必要

5、的條件.6.充要條件的判斷方法四種“條件”的情況反映了命題的條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，所以在判斷時應(yīng)該：確定條件是什么，結(jié)論是什么；嘗試從條件推出結(jié)論，從結(jié)論推出條件（方法有：直接證法或間接證法）；確定條件是結(jié)論的什么條件.7.怎樣用集合的觀點對“充分”、“必要”、“充要”三種條件進(jìn)行概括？答：有兩種說法：若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件（此時B也是A的充要條件）.在含有變量的命題中，凡能使命題為真的變量x的允許值集合，叫做此命題的真值集合. 若pq，說明p的真值集合q的真值集合，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，說明p，q的真值集合相等，

6、即p，q等價，則p是q充要條件（此時q也是p的充要條件）.例1 指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件： p：x=y；q：x2=y2. p：三角形的三條邊相等；q：三角形的三個角相等. 例2(補)如圖1，有一個圓A，在其內(nèi)又含有一個圓B. 請回答：命題：若“A為綠色”，則“B為綠色”中，“A為綠色”是“B為綠色”的什么條件；“B為綠色”又是“A為綠色”的什么條件. 命題：若“紅點在B內(nèi)”，則“紅點一定在A內(nèi)”中，“紅點在B內(nèi)”是“紅點在A內(nèi)”的什么條件；“紅點在A內(nèi)”又是“紅點在B內(nèi)”的什么條件.如何理解充分條件與必要條件中的“充分”和“必要”呢？下面我們以例2為例來說明.先說

7、充分性：說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的.例如，說“A為綠色”是“B為綠色”的一個充分條件，就是說“A為綠色”，它足以保證“B為綠色”.它符合上述的“若p則q”為真（即pq）的形式.再說必要性：必要就是必須，必不可少.從例2的圖可以看出，如果“B為綠色”，A可能為綠色，A也可能不為綠色.但如果“B不為綠色”，那么“A不可能為綠色”.因此，必要條件簡單說就是：有它不一定，沒它可不行.它滿足上述的“若非q則非p”為真（即qp）的形式.總之，數(shù)學(xué)上的充分條件、必要條件的“充分”、“必要”兩詞，與日常生活中的“充分”、“必要”意義相近，不過，要準(zhǔn)確理解它們，還是應(yīng)該

8、以數(shù)學(xué)定義為依據(jù).例3：指出下列各組命題中，p是q的什么條件（在“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選出一種）？p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.p：同位角相等；q：兩直線平行.p：x=3；q：x2=9.p：四邊形的對角線相等；q：四邊形是平行四邊形. 課堂練習(xí)1 ：（補充題）用“充分”或“必要”填空，并說明理由：“a和b都是偶數(shù)”是“a+b也是偶數(shù)”的 條件；“四邊相等”是“四邊形是正方形”的 條件；“x3”是“|x|3”的 條件；“x-1=0”是“x2-1=0”的 條件；“兩個角是對頂角”是“這兩個角相等”的 條件；“至少有一組對

9、應(yīng)邊相等”是“兩個三角形全等”的 條件；對于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不為0）來說，“b2-4ac0”是“這個方程有兩個正根”的 條件；“a=2，b=3”是“a+b=5”的 條件；“a+b是偶數(shù)”是“a和b都是偶數(shù)”的 條件；“個位數(shù)字是5的自然數(shù)”是“這個自然數(shù)能被5整除”的 條件.課堂練習(xí)2：1、“”是“”的 A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要 2 設(shè)則“且”是“”的A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D即不充分也不必要條件 3 若為實數(shù)，“”是的A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也

10、不必要條件 4、設(shè)是向量，命題“若，則= ”的逆命題是 A若，則 B若，則C若，則D若=，則= - 5 若實數(shù)a,b滿足且，則稱a與b互補，記，那么是a與b互補的A必要而不充分的條件 B充分而不必要的條件C充要條件 D即不充分也不必要的條件6 若aR，則a=2是（a-1）（a-2）=0的A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 C既不充分又不必要條件 7 命題“所有能被2整聊的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是（A）所有不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)（B）所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)（C）存在一個不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)（D）存在一個能被2整除的數(shù)都不是偶數(shù) 一、選擇題1. 函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的充要條件是（A） （B） （C） （D）2. .“a0”是“0”的 (A)充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件 3.