期權(quán)定價(jià)模型在資產(chǎn)價(jià)值評(píng)估中的應(yīng)用

1、第九章 期權(quán)定價(jià)模型在資產(chǎn)價(jià)值評(píng)估中的應(yīng)用一、 練習(xí)題1、三周前你買了一份100股看漲期權(quán)合約。該看漲期權(quán)的到期日自今天算起還有五周。在那天，標(biāo)的股票的價(jià)格將是120元或95元。兩種狀態(tài)的出現(xiàn)是等可能的。目前，該股票售價(jià)為96元；其執(zhí)行價(jià)格是112元。你能夠購(gòu)買32股股票。你能以10%年利率借到錢。你的看漲期權(quán)合約的價(jià)值是多少？2、假設(shè)戴爾塔運(yùn)輸公司股票在今天算起的一年后到期時(shí)只存在兩種狀態(tài)。到那天戴爾塔公司股票的價(jià)格將是60元或40元。今天戴爾塔股票以55元交易。看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格是50元。你能以9%的利率借款。你愿意為此看漲期權(quán)支付的款額是多少？3、現(xiàn)有計(jì)算機(jī)普拉斯公司股票的看漲期權(quán)。該期

2、權(quán)將于今天起的一年后到期，執(zhí)行價(jià)格是35元。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是7%。計(jì)算機(jī)普拉斯公司股票正以每股37元出售，而你對(duì)股票收益方差的估計(jì)值是0.004。(1)利用布萊克-模型為該看漲期權(quán)定價(jià)。(2)你發(fā)現(xiàn)方差的估計(jì)值應(yīng)該修改為0.0064。看漲期權(quán)的新價(jià)格應(yīng)是多少？(3)在公布該公司即將關(guān)閉其在加利福尼亞的三家工廠后，股票價(jià)格跌至35元。利用(2)中的結(jié)果，該期權(quán)的新價(jià)格應(yīng)該是多少？4、你已應(yīng)顧客的要求確定他們將愿意為購(gòu)買金斯利看漲期權(quán)而支付的最高價(jià)格。該期權(quán)具有執(zhí)行價(jià)格25元，且在120天后到期。金斯利股票的現(xiàn)行價(jià)格是27元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率是7%，股票的估計(jì)方差是0.0576。預(yù)期在下六個(gè)月期間沒(méi)有任何

3、股利被宣布。你的顧客應(yīng)該支付的最高價(jià)格是多少？5、環(huán)球不動(dòng)產(chǎn)合伙有限公司正在進(jìn)行一個(gè)新項(xiàng)目。若該項(xiàng)目成功，一年后公司的價(jià)值將是6.5億元，但若最終失敗，公司將只值2.5億元。公司的現(xiàn)有價(jià)值是4億元。公司已公開(kāi)發(fā)行的一年期債券的總面值為3億元。短期國(guó)庫(kù)券利率是7%。權(quán)益的價(jià)值是多少？負(fù)債的價(jià)值是多少？6、假設(shè)上一題中的環(huán)球不動(dòng)產(chǎn)合伙有限公司決定實(shí)施一項(xiàng)較有風(fēng)險(xiǎn)的項(xiàng)目：一年后公司的價(jià)值要么是8億元，要么是1億元，這取決于計(jì)劃是否成功。權(quán)益的價(jià)值是多少？負(fù)債的價(jià)值是多少？債權(quán)人更喜歡哪一個(gè)項(xiàng)目？7、某公司發(fā)行了億元的零息票債券，年后到期。公司近些年來(lái)的利息和稅前收入（EBIT）約為4億元（稅率為40

4、%）。預(yù)計(jì)收入以每年5%的速度永續(xù)增長(zhǎng)。公司不付紅利。公司的股權(quán)資本成本為12%，加權(quán)資本成本為10%?？杀裙緝r(jià)值波動(dòng)的年標(biāo)準(zhǔn)差為12.5%（5年期國(guó)債利率為5%）。請(qǐng)你用貼現(xiàn)現(xiàn)金流和期權(quán)定價(jià)兩種方法計(jì)算該公司的股權(quán)資本的價(jià)值。二、 參考答案1、期權(quán)的有效期限為八周。假設(shè)到期日時(shí)股票價(jià)格是95元，則策略1放棄執(zhí)行看漲期權(quán)；相應(yīng)的與之等值的策略2的合計(jì)額也應(yīng)該是0，由此我們可以計(jì)算出復(fù)制的借貸金額本金是2994元，而期權(quán)的有效期限為八周，借貸金額年利為10%。具體計(jì)算見(jiàn)表9-1。表9-1初始交易到期日盈利若股票價(jià)格是120元若股票價(jià)格是95元策略1：購(gòu)進(jìn)看漲期權(quán)（含100股的合約）執(zhí)行看漲期權(quán)

5、100（120-112）=800放棄看漲期權(quán)0策略2：購(gòu)進(jìn)32股股票借貸2994元策略2的合計(jì)32120 = 3840-2994(1+10%8/52) = -30408003295 = 30402994(1+10%8/52) =-30400由于采取的是復(fù)制資產(chǎn)組合，且絕無(wú)套利可能，因此兩個(gè)策略有相同的成本，得出看漲期權(quán)合約的價(jià)值C=元。另外一種計(jì)算方法從兩策略的凈收益相同出發(fā)。策略1的凈收益=800-C，策略2的凈收益=32（120-96 ）-299410%*8/52（利息支出）= 3224-46=722元因此看漲期權(quán)合約的價(jià)值C=800-722=78元2、期權(quán)的有效期限為一年。假設(shè)到期日時(shí)股

6、票價(jià)格是40元，則策略1放棄執(zhí)行看漲期權(quán)；相應(yīng)的與之等值的策略2的合計(jì)額也應(yīng)該是0，由此我們可以計(jì)算出復(fù)制的借貸金額本金是1835元，而期權(quán)的有效期限為一年，借貸金額年利率為9%。具體計(jì)算見(jiàn)表9-2。表9-2初始交易到期日盈利若股票價(jià)格是60元若股票價(jià)格是40元1、購(gòu)進(jìn)看漲期權(quán) 100（60-50） =1000（含100股的合約）放棄看漲期權(quán)2、購(gòu)進(jìn)50股股票 5060 = 3000 借貸2994元 -1835(1+9%) =-2000策略2的合計(jì) 10005040 = 2000-1835(1+9%) =-20000 由于采取的是復(fù)制資產(chǎn)組合，且絕無(wú)套利可能，因此兩個(gè)策略有相同的成本，得出看漲

7、期權(quán)合約的價(jià)值C=元。另外一種計(jì)算方法從兩策略的凈收益相同出發(fā)。策略1的凈收益=1000-C，策略2的凈收益=50（60-55 ）-18359%（利息支出）= 505-165=85元因此看漲期權(quán)合約的價(jià)值C=1000-85=915元3、(1)運(yùn)用布萊克斯科爾斯模型計(jì)算，公式如下：C=SN（）-Ee N（）=(S/E)+(r+1/2)t =-公式中：S現(xiàn)行股價(jià), 股票價(jià)格S是37元；E看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格, 執(zhí)行價(jià)格E是35元；連續(xù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率（年度的）, 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是0.07；股票的連續(xù)收益之方差（每年）, 普拉斯公司的方差估計(jì)為每年0.004；至到期日的時(shí)間（單位：年）, 我們將以年為單位表示

8、成1。此外，還有一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念：N（）即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量將小于或等于的概率。利用上述五個(gè)參數(shù)，我們分三個(gè)步驟計(jì)算期權(quán)的布萊克斯科爾斯值：步驟1：計(jì)算和。我們可以將參數(shù)值直接代入基本公式來(lái)確定這兩個(gè)值。我們有:=(S/E)+(r+1/2)t =(37/35)+(0.07+1/20.004) 1=(0.0556+0.072)/0.063 = 2.0254=-= 2.0254-0.063 = 1.9624步驟2：計(jì)算N()和（）。值N（）和N（）可以通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表得出。N()= N(2.0254)0.9786 N（）= N(1.9624)0.9751步驟3：計(jì)算C。我們有C=SN（）-

9、Ee N（）=37N（）-35e N（）=370.9786-350.93240.9751=4.3868元(2)普拉斯公司的方差估計(jì)為每年0.0064時(shí):步驟1：計(jì)算和。我們可以將參數(shù)值直接代入基本公式來(lái)確定這兩個(gè)值。我們有:=(S/E)+(r+1/2)t =(37/35)+(0.07+1/20.0064) 1=(0.0556+0.0732)/0.08=1.61=-=1.53步驟2：計(jì)算N()和（）。值N（）和N（）可以通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表得出。N()= N(1.61)0.9463 N（）= N(1.53)0.9370步驟3：計(jì)算C。我們有:C=SN（）-Ee N（）=37N（）-35e

10、N（）=370.9463-350.93240.9370=4.435元(3)普拉斯公司的股票價(jià)格S下跌至35元每股。步驟1：計(jì)算和。我們可以將參數(shù)值直接代入基本公式來(lái)確定這兩個(gè)值。我們有:=(S/E)+(r+1/2)t =(35/35)+(0.07+1/20.0064) 1=(0+0.0732)/0.08=0.915=-=0.835步驟2：計(jì)算N()和（）。值N（）和N（）可以通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表得出。N()= N(0.915)0.8199 N（）= N(0.835)0.7981步驟3：計(jì)算C。我們有:C=SN（）-Ee N（）=35N（）-35e N（）=350.8199-350.932

11、40.7981=2.6513元4、股票價(jià)格S是27元；執(zhí)行價(jià)格E是25元；無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是0.07；此外，距到期日的時(shí)間可以很快算出：公式要求以年為單位來(lái)表示，我們將120天以年為單位表示成120/365；金斯利公司的方差估計(jì)為每年0.0576。利用上述五個(gè)參數(shù)，我們分三個(gè)步驟計(jì)算期權(quán)的布萊克斯科爾斯值：步驟1：計(jì)算和。我們可以將參數(shù)值直接代入基本公式來(lái)確定這兩個(gè)值。我們有=(S/E)+(r+1/2)t =(27/25)+(0.07+1/20.0576) 120/365=(0.0770+0.0325)/0.1376=0.7957=-=0.6581步驟2：計(jì)算N()和（）。值N（）和N（）可以通過(guò)查

12、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表得出。N()= N(0.7957)0.7868 N（）= N(0.6581)0.7448步驟3：計(jì)算C。我們有C=SN（）-Ee N（）=27N（）-25e N（）=270.7868-250.97720.7448=3.0481元5、買賣權(quán)平價(jià)關(guān)系用公式可以表述為：S+p-c=Xe 既 S+p=c+Xe 公式中：T為期權(quán)有效期，t為有效期內(nèi)已經(jīng)過(guò)去的時(shí)間，X為股票期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，S為股票的現(xiàn)行價(jià)格，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。它表明，具有某一確定執(zhí)行價(jià)格和到期日的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格可根據(jù)相同執(zhí)行價(jià)格和到期日的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值推導(dǎo)出來(lái)，反之亦然。用看漲期權(quán)和看跌期權(quán)來(lái)描述公司的股東權(quán)益和

13、負(fù)債，我們可以把上述買賣權(quán)平價(jià)關(guān)系改寫(xiě)成： 公司看漲期權(quán)價(jià)值=公司價(jià)值+公司看跌期權(quán)價(jià)值-無(wú)違約債券價(jià)值期權(quán)的有效期限為一年。假設(shè)到期日時(shí)公司價(jià)值是2.5億元，則策略1放棄執(zhí)行看漲期權(quán)；相應(yīng)的與之等值的策略2的合計(jì)額也應(yīng)該是0，由此我們可以計(jì)算出復(fù)制的借貸金額本金是2.044億元，而期權(quán)的有效期限為一年，借貸金額年利率為7%。具體計(jì)算見(jiàn)表9-3。表9-3初始交易到期日盈利若公司價(jià)值是6.5億元若公司價(jià)值是2.5億元1、購(gòu)進(jìn)看漲期權(quán) 6.5億元-3億元 =3.5億元放棄看漲期權(quán)2、購(gòu)進(jìn) 0.875的公司 0.875 6.5億元 = 5.6875億元借貸2.044元 -2.044億元(1+7%)

14、=-2.1875億元策略2的合計(jì) 3.5億元2.5億元0.875=2.1875億元-2.044(1+7%)=-2.1875億元0 由于采取的是復(fù)制資產(chǎn)組合，且絕無(wú)套利可能，因此兩個(gè)策略有相同的成本，得出看漲期權(quán)合約的價(jià)值C=億元。另外一種計(jì)算方法從兩策略的凈收益相同出發(fā)。策略1的凈收益=3.5-C，策略2的凈收益=(6.5-4) 7%（利息支出）= 2.1875-0.143=2.044億元因此看漲期權(quán)合約的價(jià)值C=3.5-2.044=1.456億元,由前可知,公司的權(quán)益價(jià)值=公司看漲期權(quán)合約的價(jià)值=1.456億元在得出公司看漲期權(quán)合約的價(jià)值后我們用買賣權(quán)平價(jià)關(guān)系公式計(jì)算公司看跌期權(quán)價(jià)值。代入買

15、賣權(quán)平價(jià)關(guān)系公式S+p-c=Xe即 S+p=c+Xe此時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)是公司本身。公式中：T為期權(quán)有效期，此時(shí)是1年；t為有效期內(nèi)已經(jīng)過(guò)去的時(shí)間,此時(shí)為0；X為公司看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，即公司發(fā)行的債券的面值3億元；S為公司目前的價(jià)值4億元；為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率7%。求出公司看跌期權(quán)價(jià)值p=c+Xe-S=1.456+-4=1.456+30.9324-4=0.2532億元公司負(fù)債的價(jià)值=公司價(jià)值-公司看漲期權(quán)價(jià)值=4-1.456=2.544億元或者公司負(fù)債的價(jià)值=無(wú)違約債券價(jià)值-公司看跌期權(quán)價(jià)值=-0.2532=3=2.544億元兩者的結(jié)果是一樣的,由此也驗(yàn)證了買賣權(quán)平價(jià)關(guān)系的存在。6、期權(quán)的有效期限為一年。假

16、設(shè)到期日時(shí)公司價(jià)值是1億元，則策略1放棄執(zhí)行看漲期權(quán)；相應(yīng)的與之等值的策略2的合計(jì)額也應(yīng)該是0，由此我們可以計(jì)算出復(fù)制的借貸金額本金是0.6676億元，而期權(quán)的有效期限為一年，借貸金額年利率為7%。具體計(jì)算見(jiàn)表9-4。表9-4初始交易到期日盈利若公司價(jià)值是8億元若公司價(jià)值是1億元1、購(gòu)進(jìn)看漲期權(quán) 8億元-3億元=5億元放棄看漲期權(quán)2、購(gòu)進(jìn) 5/7的公司 5/7 8億元= 40/7億元借貸0.6676億元-0.6676億元(1+7%) =-5/7億元策略2的合計(jì) 5億元1億元5/7=5/7億元-0.6676(1+7%)=-5/7億元0 由于采取的是復(fù)制資產(chǎn)組合，且絕無(wú)套利可能，因此兩個(gè)策略有相同

17、的成本，得出看漲期權(quán)合約的價(jià)值C=億元。另外一種計(jì)算方法從兩策略的凈收益相同出發(fā)。策略1的凈收益=5-C，策略2的凈收益=(8-4) 5/7-0.66767%（利息支出）= 2.8571-0.0467=2.8104億元因此看漲期權(quán)合約的價(jià)值C=5-2.8104=2.1896億元(兩者的微小差異是由于計(jì)算中的四舍五入引起的)。由前可知,公司的權(quán)益價(jià)值=公司看漲期權(quán)合約的價(jià)值=2.1895億元在得出公司看漲期權(quán)合約的價(jià)值后我們用買賣權(quán)平價(jià)關(guān)系公式計(jì)算公司看跌期權(quán)價(jià)值。代入買賣權(quán)平價(jià)關(guān)系公式S+p-c=Xe 即 S+p=c+Xe此時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)是公司本身。公式中：T為期權(quán)有效期，此時(shí)是1年；t為有效期內(nèi)

18、已經(jīng)過(guò)去的時(shí)間,此時(shí)為0；X為公司看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，即公司發(fā)行的債券的面值3億元；S為公司目前的價(jià)值4億元；為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率7%。求出公司看跌期權(quán)價(jià)值p=c+Xe-S=2.1895+-4=2.1895+30.9324-4=0.9867億元公司負(fù)債的價(jià)值 = 公司價(jià)值-公司看漲期權(quán)價(jià)值 = 4-2.1895 = 1.8105億元或者公司負(fù)債的價(jià)值 = 無(wú)違約債券價(jià)值-公司看跌期權(quán)價(jià)值=-0.9867=3=1.8105億元兩者的結(jié)果是一樣的,由此也驗(yàn)證了買賣權(quán)平價(jià)關(guān)系的存在。分析前面的計(jì)算結(jié)果，我們明顯地發(fā)現(xiàn)當(dāng)公司選擇風(fēng)險(xiǎn)大的項(xiàng)目時(shí)，公司的權(quán)益價(jià)值增加了，從1.456億元增加到了2.1896億元；而公司負(fù)債的價(jià)值從2.544億元下降到了1.8105億元，因此債權(quán)人更喜歡風(fēng)險(xiǎn)小的第五題中的項(xiàng)目。（即項(xiàng)目成功公司價(jià)值變成6.5億元,如果項(xiàng)目失敗公司價(jià)值變成2.5億元的項(xiàng)目）7、(1)采用貼現(xiàn)現(xiàn)金流方法，股權(quán)資本成本為12%，預(yù)期增長(zhǎng)率g為5%（此處把收入增長(zhǎng)率近似看成股權(quán)現(xiàn)金流量的增長(zhǎng)率）。由于公司發(fā)行的是億元的零息票債券，因此沒(méi)有利息支出。因而股權(quán)現(xiàn)金流量CFE= =4（1-40%）=2.4億元代入股權(quán)價(jià)值評(píng)估中的一階段模型公式計(jì)算股權(quán)資本價(jià)值。股權(quán)資本價(jià)值=億元(2)采用期權(quán)定價(jià)方法，由于公司的股權(quán)