新人民教育出版版高中數(shù)學必修三2兩個變量的線性相關示范教案

1、2.3 變量間的相關關系 變量之間的相關關系 兩個變量的線性相關整體設計教學分析 變量之間的關系是人們感興趣的問題.教科書通過思考欄目“物理成績與數(shù)學成績之間的關系”,引導學生考察變量之間的關系.在教師的引導下,可使學生認識到在現(xiàn)實世界中存在不能用函數(shù)模型描述的變量關系,從而體會研究變量之間的相關關系的重要性.隨后,通過探究人體脂肪百分比和年齡之間的關系,引入描述兩個變量之間關系的線性回歸方程（模型）.教科書在探索用多種方法確定線性回歸直線的過程中,向學生展示創(chuàng)造性思維的過程,幫助學生理解最小二乘法的思想.通過氣溫與飲料銷售量的例子及隨后的思考,使學生了解利用線性回歸方程解決實際問題的全過程,

2、體會線性回歸方程作出的預測結果的隨機性,并且可能犯的錯誤.進一步,教師可以利用計算機模擬和多媒體技術,直觀形象地展示預測結果的隨機性和規(guī)律性.三維目標1.通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)認識變量間的相關關系.2.明確事物間的相互聯(lián)系.認識現(xiàn)實生活中變量間除了存在確定的關系外,仍存在大量的非確定性的相關關系,并利用散點圖直觀體會這種相關關系.3.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程重點難點教學重點：通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)直觀認識變量間的相關關系；利用散點圖直觀認識兩個變量之間的線性關系；根據(jù)給出

3、的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程教學難點：變量之間相關關系的理解；作散點圖和理解兩個變量的正相關和負相關；理解最小二乘法的思想.課時安排 2課時教學過程第1課時導入新課思路1 在學校里,老師對學生經(jīng)常這樣說：“如果你的數(shù)學成績好，那么你的物理學習就不會有什么大問題.”按照這種說法，似乎學生的物理成績與數(shù)學成績之間存在著一種相關關系.這種說法有沒有根據(jù)呢? 請同學們如實填寫下表（在空格中打“” ）:好中差你的數(shù)學成績你的物理成績 學生討論：我們可以發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學成績和物理成績存在某種關系.（似乎就是數(shù)學好的,物理也好；數(shù)學差的,物理也差,但又不全對.）物理成績和數(shù)學成績是兩個變量,從經(jīng)驗

4、看,由于物理學習要用到比較多的數(shù)學知識和數(shù)學方法.數(shù)學成績的高低對物理成績的高低是有一定影響的.但決非唯一因素,還有其他因素,如是否喜歡物理,用在物理學習上的時間等等.（總結：不能通過一個人的數(shù)學成績是多少就準確地斷定他的物理成績能達到多少.但這兩個變量是有一定關系的,它們之間是一種不確定性的關系.如何通過數(shù)學成績的結果對物理成績進行合理估計有非常重要的現(xiàn)實意義.）為很好地說明上述問題,我們開始學習變量之間的相關關系和兩個變量的線性相關.(教師板書課題)思路2 某地區(qū)的環(huán)境條件適合天鵝棲息繁衍，有人經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，如果村莊附近棲息的天鵝多，那么這個村莊的嬰兒出生率也高，天鵝少的地方

5、嬰兒的出生率低，于是，他就得出一個結論：天鵝能夠帶來孩子.你認為這樣得到的結論可靠嗎？如何證明這個結論的可靠性？推進新課新知探究提出問題（1）糧食產(chǎn)量與施肥量有關系嗎？“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高,學生的水平也越高.教師的水平與學生的水平有什么關系？你能舉出更多的描述生活中兩個變量的相關關系的成語嗎？（2）兩個變量間的相關關系是什么？有幾種？（3）兩個變量間的相關關系的判斷.討論結果：（1）糧食產(chǎn)量與施肥量有關系,一般是在標準范圍內,施肥越多,糧食產(chǎn)量越高；教師的水平與學生的水平是相關的,如水滴石穿,三人行必有我?guī)煹? 我們還可以舉出現(xiàn)實生活中存在的許多相關關系的問題.例如: 商品銷

6、售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關系.商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費有著密切的聯(lián)系,但商品銷售收入不僅與廣告支出多少有關,還與商品質量、居民收入等因素有關. 糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關系.在一定范圍內,施肥量越大,糧食產(chǎn)量就越高.但是,施肥量并不是決定糧食產(chǎn)量的唯一因素.因為糧食產(chǎn)量還要受到土壤質量、降雨量、田間管理水平等因素的影響. 人體內的脂肪含量與年齡之間的關系.在一定年齡段內,隨著年齡的增長,人體內的脂肪含量會增加,但人體內的脂肪含量還與飲食習慣、體育鍛煉等有關,可能還與個人的先天體質有關. 應當說,對于上述各種問題中的兩個變量之間的相關關系,我們都可以根據(jù)自己的生活、學習經(jīng)驗作出相應的判斷,因為

7、“經(jīng)驗當中有規(guī)律”.但是,不管你的經(jīng)驗多么豐富,如果只憑經(jīng)驗辦事,還是很容易出錯的.因此,在分析兩個變量之間的相關關系時,我們需要一些有說服力的方法. 在尋找變量之間相關關系的過程中,統(tǒng)計同樣發(fā)揮著非常重要的作用.因為上面提到的這種關系,并不像勻速直線運動中時間與路程的關系那樣是完全確定的,而是帶有不確定性.這就需要通過收集大量的數(shù)據(jù)(有時通過調查,有時通過實驗),在對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析的基礎上,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,才能對它們之間的關系作出判斷.(2)相關關系的概念：自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系,叫做相關關系.兩個變量之間的關系分兩類：確定性的函數(shù)關系,例如我們以

8、前學習過的一次函數(shù)、二次函數(shù)等；帶有隨機性的變量間的相關關系,例如“身高者,體重也重”,我們就說身高與體重這兩個變量具有相關關系.相關關系是一種非確定性關系.如商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關系.（還與商品質量、居民收入、生活環(huán)境等有關）(3)兩個變量間的相關關系的判斷：散點圖.根據(jù)散點圖中變量的對應點的離散程度,可以準確地判斷兩個變量是否具有相關關系.正相關、負相關的概念.教學散點圖出示例題：在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：年齡23273841454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.

9、630.231.430.833.535.234.6 分析數(shù)據(jù)：大體上來看,隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加.我們可以作散點圖來進一步分析.散點圖的概念：將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中的對應點畫出來,得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點圖，如下圖. 從散點圖我們可以看出，年齡越大，體內脂肪含量越高.圖中點的趨勢表明兩個變量之間確實存在一定的關系,這個圖支持了我們從數(shù)據(jù)表中得出的結論.（a.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關系,即變量之間具有函數(shù)關系b.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關關系.c.如果所有的樣本點都落在某一

10、直線附近,變量之間就有線性相關關系）正相關與負相關的概念：如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內,稱為正相關.如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內,稱為負相關.（注：散點圖的點如果幾乎沒有什么規(guī)則,則這兩個變量之間不具有相關關系）應用示例思路1例1 下列關系中,帶有隨機性相關關系的是_.正方形的邊長與面積之間的關系水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關系人的身高與年齡之間的關系降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關系解析：兩變量之間的關系有兩種：函數(shù)關系與帶有隨機性的相關關系.正方形的邊長與面積之間的關系是函數(shù)關系.水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關系不是嚴格的函數(shù)關系,但是具有相關性,因而是相關關系.人

11、的身高與年齡之間的關系既不是函數(shù)關系,也不是相關關系,因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了,因而他們不具備相關關系.降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關關系,因此填.答案：例2 有關法律規(guī)定,香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語.吸煙是否一定會引起健康問題?你認為“健康問題不一定是由吸煙引起的,所以可以吸煙”的說法對嗎?分析：學生思考,然后討論交流,教師及時評價.解：從已經(jīng)掌握的知識來看,吸煙會損害身體的健康,但是除了吸煙之外,還有許多其他的隨機因素影響身體健康,人體健康是很多因素共同作用的結果.我們可以找到長壽的吸煙者,也更容易發(fā)現(xiàn)由于吸煙而引發(fā)的患病者,所以吸煙不一定引起健康

12、問題.但吸煙引起健康問題的可能性大.因此“健康問題不一定是由吸煙引起的,所以可以吸煙”的說法是不對的.點評：在探究研究的過程中,如果能夠從兩個變量的觀察數(shù)據(jù)之間發(fā)現(xiàn)相關關系是極為有意義的,由此可以進一步研究二者之間是否蘊涵因果關系,從而發(fā)現(xiàn)引起這種相關關系的本質原因是什么.本題的意義在于引導學生重視對統(tǒng)計結果的解釋,從中發(fā)現(xiàn)進一步研究的問題.思路2例1 有時候,一些東西吃起來口味越好,對我們的身體越有害.下表給出了不同類型的某種食品的數(shù)據(jù).第二列表示此種食品所含熱量的百分比,第三列數(shù)據(jù)表示由一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價:品牌所含熱量的百分比口味記錄A2589B3489C2080

13、D1978E2675F2071G1965H2462I1960J1352（1）作出這些數(shù)據(jù)的散點圖.(2)關于兩個變量之間的關系,你能得出什么結論?解：(1)散點圖如下：(2)基本成正相關關系,即食品所含熱量越高,口味越好.例2 案例分析：一般說來,一個人的身高越高,他的右手一拃長就越長,因此,人的身高與右手一拃長之間存在著一定的關系.為了對這個問題進行調查,我們收集了北京市某中學2003年高三年級96名學生的身高與右手一拃長的數(shù)據(jù)如下表.性別身高/cm右手一拃長/cm性別身高/cm右手一拃長/cm女15218.5女15316.0女15616.0女15720.0女15817.3女15920.0女

14、16015.0女16016.0女16017.5女16017.5女16019.0女16019.0女16019.0女16019.5女16116.1女16118.0女16218.2女16218.5女16320.0女16321.5女16417.0女16418.5女16419.0女16420.0女16515.0女16516.0女16517.5女16519.5女16619.0女16719.0女16719.0女16816.0女16819.0女16819.5女17021.0女17021.0女17021.0女17119.0女17120.0女17121.5女17218.5女17318.0女17322.0男1621

15、9.0男16419.0男16521.0男16818.0男16819.0男16917.0男16920.0男17020.0男17021.0男17021.5男17022.0男17121.5男17121.5男17122.3男17221.5男17223.0男17320.0男17320.0男17320.0男17320.0男17321.0男17422.0男17422.0男17516.0男17520.0男17521.0男17521.2男17522.0男17616.0男17619.0男17620.0男17622.0男17622.0男17721.0男17821.0男17821.0男17822.5男17824.0男

16、17921.5男17921.5男17923.0男18022.5男18121.1男18121.5男18123.0男18218.5男18221.5男18224.0男18321.2男18525.0男18622.0男19121.0男19123.0（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),制成散點圖.你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)身高與右手一拃長之間的近似關系嗎？（2）如果近似成線性關系,請畫出一條直線來近似地表示這種線性關系.（3）如果一個學生的身高是188 cm,你能估計他的一拃大概有多長嗎？解：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),制成的散點圖如下. 從散點圖上可以發(fā)現(xiàn),身高與右手一拃長之間的總體趨勢是成一直線,也就是說,它們之間是線性相關的.那

17、么,怎樣確定這條直線呢？同學1：選擇能反映直線變化的兩個點,例如（153,16）,（191,23）兩點確定一條直線.同學2：在圖中放上一根細繩,使得上面和下面點的個數(shù)相同或基本相同.同學3：多取幾組點對,確定幾條直線方程.再分別算出各個直線方程斜率、截距的算術平均值,作為所求直線的斜率、截距.同學4：從左端點開始,取兩條直線,如下圖.再取這兩條直線的“中間位置”作一條直線.同學5：先求出相同身高同學右手一拃長的平均值,畫出散點圖,如下圖,再畫出近似的直線,使得在直線兩側的點數(shù)盡可能一樣多.同學6：先將所有的點分成兩部分,一部分是身高在170 cm以下的,一部分是身高在170 cm以上的；然后,

18、每部分的點求一個“平均點”身高的平均值作為平均身高、右手一拃的平均值作為平均右手一拃長,即（164,19）,（177,21）；最后,將這兩點連接成一條直線.同學7：先將所有的點按從小到大的順序進行排列,盡可能地平均分成三等份；每部分的點按照同學3的方法求一個“平均點”,最小的點為（161.3,18.2）,中間的點為（170.5,20.1）,最大的點為（179.2,21.3）.求出這三個點的“平均點”為（170.3,19.9）.我再用直尺連接最大點與最小點,然后平行地推,畫出過點（170.3,19.9）的直線.同學8：取一條直線,使得在它附近的點比較多.在這里需要強調的是,身高和右手一拃長之間沒有函數(shù)關系.我們得到的直線方程,只是對其變化趨勢的一個近似描述.對一個給定身高的人,人們可以用這個方程來估計這個人的右手一拃長，這是十分有意義的.知能訓練 一個車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了10次試驗,收集數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)x（個）1020304050