正余弦定理講義

1、培優(yōu)教育一對一輔導講義科目：數(shù) 年級：高一 姓名： 教師： 時間：課題正弦定理、余弦定理授課時間：備課時間：教學目標1、 掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題2、 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題3、 會運用三角公式進行簡單三角函數(shù)式化簡、求值和恒等式證明與解決有關實際問題，會運用三角方法、袋鼠方法和解析方法求三角函數(shù)的最值，會由已知三件函數(shù)值求角重點、難點1、三角函數(shù)值域及最值的求法2、三角函數(shù)與向量、函數(shù)、不等式的綜合問題及生產生活中的實際問題考點及考試要求高考對正余弦定理的考查主要涉及三角形的邊角轉化。三角形形狀的判斷、三角

2、形內角的三角函數(shù)求值及三角恒等式的證明、立體幾何中的空間角及解析幾何中有關角等問題。今后的命題中仍會以正余弦定理為框架，以三角形為主要依托，來綜合考查三角形知識，題型一般是選擇題和填空題，也有可能是中檔難度的解答題，關注利用正余弦定理解決實際問題 三角函數(shù)的綜合應用在高考中地位顯著，可以綜合考查對三角函數(shù)知識的掌握情況。分析近幾年高考，主要有以下幾種類型： 1、可轉化為的形式，然后研究性質 2、可轉化為的形式，然后借助于二次函數(shù)求閉區(qū)間上的最值 3、與向量、三角形知識結合的綜合題 4、用三角函數(shù)知識解決生產生活中的實際問題教學內容探究一：在直角三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對角的正弦的關系嗎？

3、直角三角形中的正弦定理： sinA = sinB = sinC=1 即c=.探究二：能否推廣到斜三角形？ （先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，有,則. 同理，（思考如何作高？），從而.探究三：你能用其他方法證明嗎？1.證明一：（等積法）在任意斜ABC當中SABC=. 兩邊同除以即得：=.2證明二：（外接圓法）如圖所示，AD，同理 =2R，2R.3證明三：（向量法）過A作單位向量垂直于，由+=邊同乘以單位向量 得.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即=2R理解定理1公式的變形：2.正弦定理的基本作用為：已知

4、三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形.3.利用正弦定理解三角形使,經常用到:三、 教學例題：例1 已知在.分析已知條件 討論如何利用邊角關系 示范格式 小結：已知兩角一邊解：例2 解： 例3在課后作業(yè)1在ABC中，,則k為( )A2R BR C4R D(R為ABC外接圓半徑)2 在中，已知角，則角A的值是( )A. B. C. D.或3、在ABC中, 4、在中，若，則A= 。5、在中，已知，解三角形。 探究一在ABC中，已知，討論三角形解的情況分析：先由可進一步求

5、出B；則 ，從而1當A為鈍角或直角時，必須才能有且只有一解；否則無解。2當A為銳角時，如果，那么只有一解；3.如果，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若，則有兩解；（2）若，則只有一解；（3）若，則無解。評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。探究二 你能畫出圖來表示上面各種情形下的三角形的解嗎？三例題講解例1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況(1) a20，b28，A120°.無解(2)a28，b20，A45°；一解(3)c54，b39，C115°；一解(4) b11，a20，B30

6、76;；兩解 隨堂練習1（1）在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若，則符合題意的b的值有_個。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）例2.在中,已知判斷的形狀隨堂練習21.ABC中， ，則ABC為（ A ） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰三角形2. 已知ABC滿足條件，判斷ABC的類型。 答案： ABC是等腰或直角三角形1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況2.在中，a=15,b=10,A=60°，則= A B C D 3.已知a,b,c分別是ABC的三個內角A,

7、B,C所對的邊，若a=1,b=, A+C=2B,則sinC= .5.設銳角ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a2bsinA(1)求B的大??；(2)求cosAsinC的取值范圍同步分層能力測試題（一）一填空題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1在ABC中， 若a=,b=,A=300,則邊c= 。2. 在ABC中，已知A=45，B=60，c =1，則a= .3. 在ABC中， 已知a=5,b=12,c=13.最大內角為 度。4. 在ABC中，已知b=4,c=8,B=30.則a= 。5. a,b,c是ABC的三邊，且B=1200,則a2+ac+c2-b2的值為 .6在ABC中，若a

8、=50，b=25, A=45°則B= .7.在ABC中，有等式：asinA=bsinB；asinB=bsinA；acosB=bcosA；. 其中恒成立的等式序號為_.8在中，分別為三個內角A、B、C所對的邊,設向量，若向量，則角C 的大小為 。二解答題(本大題共4小題，共54分)9.在ABC中，a=3，c=3，A=300，則角C及b.10.在中， 已知： acosB=bcosA ,試判斷形狀;求證：。（1） 在銳角三角形中，邊a、b是方程x22x+2=0的兩根，角A、B滿足2sin(A+B)=0，求角C的度數(shù)，邊c的長度.12. 在ABC中，已知角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，

9、且 C=2Acos A=(1)求cosC和cosB的值；(2)當時，求a、b、c的值 余弦定理a2b2c22bc·cosA，b2c2a22ca·cosB，c2a2b22ab·cosC.(4)余弦定理的變式cosA； cosB； cosC.正余弦定理考點考點一：利用正、余弦定理解三角形在ABC中，(1)若b，c1，B45°，求a及C的值；(2)若A60°，a7，b5，求邊c.知識概括、方法總結與易錯點分析1已知兩邊和一邊的對角解三角形時，可有兩解、一解、無解三種情況，應根據(jù)已知條件判斷解的情況，主要是根據(jù)圖形或由“大邊對大角”作出判斷2應熟練掌握

10、余弦定理及其推論解三角形時，有時可用正弦定理，也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷3三角形中常見的結論(1)ABC.(2)在三角形中大邊對大角，反之亦然(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊針對性練習在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角和sinC.考點二：利用正、余弦定理判斷三角形形狀典型例題ABC中，已知acosAbcosB，則ABC為()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形知識概括、方法總結與易錯點分析依據(jù)已知條件中的邊角關系判斷時，主要有如下兩種方法：1利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相

11、應關系，從而判斷三角形的形狀；2利用正、余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數(shù)間關系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用ABC這個結論針對性練習：已知ABC中，sinC，試判斷ABC的形狀考點三：三角形面積公式的應用典型例題已知ABC中，cosA，a，b，c分別是角A、B、C的對邊求tan2A； (2)若sin(B)，c2，求ABC的面積知識概括、方法總結與易錯點分析1三角形面積公式的選取取決于三角形中的哪個角可求，或三角形的哪個角的正弦值可求2在解決三角形問題中，面積公式SabsinCbcsinAacsinB最常用，因為公式中既有邊也有角，容易和正弦

12、定理、余弦定理聯(lián)系起來針對性練習：在ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，且滿足(2ac)cosBbcosC.(1)求角B的大??；(2)若b，ac4，求ABC的面積考點四：正、余弦定理的綜合應用典型例題：在ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對的分別為a、b、c，且cos2A，sinB.(1)求AB的值；(2)若ab1，求a、b、c的值知識概括、方法總結與易錯點分析(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解題時要根據(jù)具體題目合理運用，有時還需要交替使用(2)條件中出現(xiàn)平方關系多考慮余弦定理，出現(xiàn)一次式，一般要考慮正弦定理針對性練習：1、在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且

13、滿足cos，·3.(1)求ABC的面積； (2)若bc6，求a的值2、設ABC是銳角三角形，a，b，c分別是內角A，B，C所對邊長，并且 sin2Asin(B)sin(B)sin2B.1） 求角A的值；2） (2)若·12，a2，求b，c(其中b<c)鞏固作業(yè)1(2010·北京高考)在ABC中，若b1，c，C，則a_.2(2010·廣東高考)已知a，b，c分別是ABC的三個內角A，B，C所對的邊若a1，b，AC2B，則sinC_.3(2010·江蘇高考)在銳角ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若6cosC，則的值是_4在ABC

14、中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知：b2，c4，cosA.(1)求邊a的值；(2)求cos(AB)的值5(2010·遼寧高考)在ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大??；(2)若sinBsinC1，試判斷ABC的形狀6(2010·浙江高考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2C.(1)求sinC的值；(2)當a2,2sinAsinC時，求b及c的長7、某人在山頂觀察A、B兩個目標，測得A在南偏西60°距山底1000米處，B在南偏東60°距山底800米處，求A、B之間的距離8、(2010·寶雞質檢一)如右圖，為了計算渭河岸邊兩景點B與C的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩個測量點，現(xiàn)測得ADCD，AD100 m，AB140 m，BDA60°，BCD135°，求兩景點B與C之間的距離(假設A，B，C，D在同一平面內