用基本不等式證題的技巧與策略

1、用基本不等式證題的技巧與策略在使用基本不等式證明問題時(shí)，根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)，常常需要配合一定的變形技巧與轉(zhuǎn)化策略，才可以使用基本不等式把問題現(xiàn)舉例說明如下一、湊項(xiàng) 在湊“和”或“積”為定值時(shí)，還需要注意湊“等號”成立，此時(shí)必須合理湊項(xiàng)例1 設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a + b + c = 1，求證： + +分析：考慮等號成立的條件時(shí)，必須注意a、b、c在問題中的對稱地位，即只有a = b = c =時(shí)，才有可能達(dá)到最值，而此時(shí)4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 1=證明：=· ·，同理·，· + +·4(a + b + c) + 3

2、+ 7 =當(dāng)且僅當(dāng)4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 1=，即a = b = c =時(shí)，上式“=”號成立二、配項(xiàng)在使用基本不等式時(shí)，若能巧妙地添式配項(xiàng)，就可以把問題轉(zhuǎn)化例2 已知a，a，a均為正數(shù)，且a+ a+ + a= 1，求證： + + + 證明：因a，a，a均為正數(shù)，故 + a， + a， + a 又因 + + + =( a+ a+ + a) =，所以，把以上各同向不等式相加，得： + + + +a+ a+ + a= 1 故 + + + 三、構(gòu)造根據(jù)問題的整體結(jié)構(gòu)，用基本不等式構(gòu)造對偶式，然后經(jīng)過某些運(yùn)算，促使問題的轉(zhuǎn)化與解決例3 已知a，a，a均為實(shí)數(shù)，且a+ a+ + a=

3、 A (A0)，a+ a+ + a= (nN，n2) ，求證：0a ( k =1，2，n) 證明：構(gòu)造基本不等式如下：· a()+ a， · a()+ a，· a()+ a 將上述(n1)個(gè)同向不等式相加得：( a+ a+ + a)(Aa)+ a+ a + + a，即+a na2aA0，0a 同理可求得0a ( k =1，2，n) 四、平方通過平方運(yùn)算，一可以把和(積)湊成定值，二可以把和(積)問題轉(zhuǎn)化為積(和)問題例4 若a、b、cR+，a + b + c =3，求證： + +3證明：( + +)= 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 +2 +2

4、+ 22(a + b + c) + 3 + (2a + 1) + (2b + 1) + (2b + 1) + (2c + 1) + (2c + 1) + (2a + 1) = 6(a + b + c) + 9 = 27 +3五、引參通過巧妙地引入?yún)?shù)，把問題轉(zhuǎn)化成基本不等式結(jié)構(gòu)，使參數(shù)在用不等式證題過程中起到一個(gè)橋梁作用例5 已知a、b、cR+，a + b + c = 1,，求證： +4證明：引入待定正參數(shù)t ，t=(t+ 13a + 1) ，同理t=(t+ 13b + 1) ，t=(t+ 13c + 1) 。 + + 得：t( +)(3t+ 13a + 13b + 13c + 3) =t+

5、8 t0 ， +t + 由于t0 ，則t +2= 3當(dāng)且僅當(dāng)t =，即t =時(shí)，式取等號，將t =代入得： +4 六、換元通過換元，把生疏的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為基本不等式形式，使證題思路自然、簡捷例6 已知a、b、c為ABC三邊的長，求證：abc(a + bc)(b + ca)( c + ab)證明：設(shè)m = b + ca，n = c + ab，p = a + bc，則由三角形兩邊之和大于第三邊，得m0，n0，p0，且a =， b =，c = 于是abc =····= mnp = (a + bc)(b + ca)( c + ab)七、配對根據(jù)已知不等式的某一邊結(jié)構(gòu)，給其配上一個(gè)與之對稱的代數(shù)式，然后將兩個(gè)代數(shù)式聯(lián)立再使用基本不等式，完成不等式的證明例7 設(shè)a，a，a和b，b，b均為正數(shù)，且a+ a+ + a= b+ b+ + b ，求證： + + + ( a+ a+ + a)證明：設(shè)M = + + + ，給M配對：N = + + + 則MN = + + + = (ab) + (ab) + + (ab) = (a+ a+ + a)(b+ b+ + b) = 0 M = N 當(dāng)注意到a+ b(a + b)和a+ a+ + a= b+ b+ + b得：M + N = +