經(jīng)濟數(shù)學基礎微分學之第2章極限、導數(shù)與微分

1、第一單元 極限的概念及其運算第一節(jié) 極限的概念一、學習目標極限是微積分學中的重要概念，微積分中的許多重要概念都是由極限定義的.學習了這一節(jié)課，要使我們了解極限、左、右極限和無窮小量的概念. 并且能夠利用函數(shù)圖形和極限定義去求簡單函數(shù)的極限.二、內(nèi)容講解1.極限的概念1 數(shù)列的極限：數(shù)列：一般地，按一定規(guī)律排列的一串數(shù)，稱為數(shù)列，簡記為。其中的第項稱為該數(shù)列的通項。數(shù)列的極限：給定數(shù)列，如果當無限增大時，無限地趨近某個固定的常數(shù)A，則稱當趨于無窮時，數(shù)列以A為極限。記為2.極限的概念2研究函數(shù)是利用極限的方法來進行；極限是一個變量在變化過程中的變化趨勢。例1 圓的周長的求法.早在公元263年，古

2、代數(shù)學家劉徽用圓內(nèi)接正四邊形、正五邊形、正八邊形、正十六邊形等的邊長近似圓的周長，顯然隨著邊數(shù)的增加，正多邊形的邊長將無限趨近圓的周長.例2 討論當時，的變化趨勢.例3 討論一個定長的棒，每天截去一半，隨著天數(shù)的增加，棒長的變化趨勢.“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”莊子天下定義2.1函數(shù)的極限設函數(shù)在點的鄰域（點可以除外）內(nèi)有定義，如果當無限趨于（但）時，無限趨近于某個常數(shù)，則稱趨于時，以為極限，記為或；若自變量趨于時，函數(shù)沒有一個固定的變化趨勢，則稱函數(shù)在處沒有極限.在理解極限定義時要注意兩個細節(jié)：1.時（），2.（包括這兩種情況）問題思考：極限是描述函數(shù)的自變量在某個變化過程中函數(shù)的變化趨

3、勢，同一個函數(shù)在自變量不同的變化過程中，變化趨勢可能不同，因此，在討論函數(shù)的極限時，必須要知道自變量的變化過程，所以不好回答是多少，但是， ，.考慮函數(shù)，依照極限的定義，不能考慮的極限.因為在處無定義.又如函數(shù)，如果討論是的極限，則函數(shù)分別在和時不是同一個表達式，必須分別考慮.由此引出左右極限的概念：定義2.2左右極限設函數(shù)在點的鄰域（點可以除外）內(nèi)有定義，如果當且x無限于（即x從的左側趨于，記為）時，函數(shù)無限地趨近于常數(shù)L，則稱當x趨于時，以L為左極限，記作  = L；如果當且x無限趨于（即x從的右側趨于，記為）時，函數(shù)無限地趨近于常數(shù)R，則稱當x趨于時，以R為右極限，記作=R。3

4、.極限存在的充分必要條件：極限存在的充分必要條件是：函數(shù)在處的左，右極限都存在且相等.即問題思考：設函數(shù), 求因為y，x由極限存在的充分必要條件知，由函數(shù)的圖形也可得到此結論.4.無窮小量定義2.3無窮小量和無窮大量稱當時，為無窮小量，簡稱無窮小.無窮小量是一個特殊的變量，它與有極限變量的關系是：變量y以為A極限的充分必要條件是：y可以表示成A與一個無窮小量的和，即無窮小量的有以下性質：性質1 有限個無窮小量的和是無窮小量；性質2 有限個無窮小量的乘積是無窮小量；性質3 有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量.無窮大量在某個變化過程中，絕對值無限增大且可以大于任意給定的正實數(shù)的變量稱為無窮大量.例

5、如 因為，所以，當時，是無窮大量.無窮小量與無窮大量有如下“倒數(shù)關系”：定理：當（或）時，若是無窮?。ǘ瑒t是無窮大，；反之，若是無窮大，則是無窮小.三、例題講解例1 討論時, =？解：求極限時，可以利用極限的概念和直觀的了解，我們可以借助幾何圖形來求函數(shù)的極限.由幾何圖形可以看出，當時，即=4例2 討論函數(shù),當時的極限oy解：此函數(shù)在處沒有定義，可以借助圖形求極限.由圖形得到例3 , 求解：注意到此函數(shù)當x=0的兩側表達式是不同，在0點處分別求左、右極限.可見左右極限都存在但不相等；由幾何圖形易見,由極限的定義知，函數(shù)在某點處有極限存在需在該點處的左右端同趨于某個常數(shù)，

6、因此此函數(shù)在0點處極限不存在.例4 ，當時，解： 由圖形可知，當時，當時，是無窮小量.四、課堂練習練習1討論函數(shù)當 時的變化趨勢.yox解：函數(shù)的圖形是練習2設函數(shù)， 問為何值時，存在？解：因為， ，所以.練習3當時，下列變量中 （）是無窮小量.  A）；B）；C）；D）解：因為，所以選擇D正確.練習4設是無窮大量，則是無窮大量.證明：因為是無窮大量，由“倒數(shù)關系”知均為無窮小量，于是有是無窮小量，所以是無窮大量.五、課后作業(yè)1.討論函數(shù)當時的變化趨勢.2.判斷下列極限是否收斂：（1）；（2）；（3）；（4）3.求下列數(shù)列的極限：（1

7、）；（2）；（3）；（4）4.試用圖形說明：不存在.5.設，求在是的左、右極限，并說明 在點極限是否存在.6.設，求，并討論是否存在.7.分析函數(shù)的變化趨勢，并求極限.（1）；（2）；（3）；（4）8.當時，下列變量中哪些是無窮小量？9.當時，下列變量中是無窮小量的有：（1）；（2）；（3）；（4）10.函數(shù)在什么變化過程中是無窮大量？又在什么變化過程中是無窮小量？1.；2.（1）收斂；（2）收斂；（3）收斂；（4）發(fā)散.3.（1）0；（2）1；（3）發(fā)散；（4）0.4.5. 因為，所以，函數(shù)在處左、右極限存在但不相等，故函數(shù)在0點的極限不存在.6. ，因為函數(shù)在處左、右極限存在但不

8、相等，所以不存在.7.（1）0；（2）0；（3）0；（4）1.8. 9. 10. 當時，為無窮大量，當時，為無窮小量.第二節(jié) 極限的運算一、學習目標通過本課程的學習，要學會極限的四則運算法則，學會使用法則的方法和常用的技巧，能夠用四極限的四則運算法則計算則函數(shù)的極限.二、內(nèi)容講解在某個變化過程中，變量分別以為極限，則問題思考：設，則，對嗎？請舉例說明.不一定 如且但三、例題講解例1 求解 例2 求解：例3求解：例4 求解： 四、課堂練習練習1求解：，屬于分子、分母的極限均為0.練習2求解本題屬于無窮大量之比的極限計算問題，需變形后再利用法則計算.五、課后作業(yè)1；2；34；5；6；7；

9、8；9、；10、10；2.21；3.1；4.；5.； 6.；7.；8.1；9.；10.第二單元 兩個重要極限與函數(shù)連續(xù)性第一節(jié) 兩個重要極限一、學習目標通過本課程的學習，我們要學會兩個重要極限公式，要會用重要極限公式計一些函數(shù)的極限.二、內(nèi)容講解第一個重要極限公式：幾何說明：如圖，設為單位圓的圓心角，則對應的小三角形的面積為，對應的扇形的面積為，對應的大三角形的面積為當時，它們的面積都是趨于0的 ，即之比的極限是趨于1的.第二個重要極限公式：；問題思考： 0.這不是第一個重要極限公式，當時，此式為無窮小量乘以有界變量，其結果仍為無窮小量.三、例題講解例1解：=例2求極限解:例3求極限

10、解四、課后練習練習1求極限練習2求極限五、課后作業(yè)1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.2. 3.5 4.1 5.1 6.0 7. 8. 9. 10.第二節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性一、學習目標通過本課程的學習，我們要知道連續(xù)的數(shù)學表示，知道數(shù)學中間斷的概念. 將會了解連續(xù)與有極限存在這兩個概念的聯(lián)系與不同，會進行連續(xù)函數(shù)的運算.二、內(nèi)容講解生活中的實例：高山流水，植物生長，工業(yè)連續(xù)化生產(chǎn)連續(xù)函數(shù)的定義定義2.4函數(shù)的間斷與連續(xù)設函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義，若滿足，則稱函數(shù)在點處連續(xù).點是的連續(xù)點.函數(shù)間斷、間斷點的概念。例如 函數(shù)在定義域內(nèi)都是連續(xù)的.問題思考：設在點處連續(xù)，則答案：0

11、. 因為在點處連續(xù)， 所以，極限為0.三、例題講解例1  ,問在處是否連續(xù)？注意：此函數(shù)是分段函數(shù)，是函數(shù)的分段點.解:   不存在，在處是間斷的.例2  ,問在處是否連續(xù)？解: （無窮小量×有界變量=無窮小量）在處是連續(xù)的.結論:（1）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；（2）連續(xù)函數(shù)的四則運算、復合運算在其有定義處連續(xù)；（3）初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.例3解: 注意：是初等函數(shù)，在處有定義，利用結論有極限值等于函數(shù)值.四、課堂練習練習1求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.解:因為是初等函數(shù)，所以其連續(xù)區(qū)間是定義域練習2設函數(shù)，求為何值時，函數(shù)在處連續(xù).

12、解:  五、課后練習1.設函數(shù)問（1）當a,b為何值時，f(x)在x=0處有極限存在；(2) 當a,b為何值時，f(x)在x=0處連續(xù).2.討論函數(shù)在處的連續(xù)性.3.求下列函數(shù)的間斷點和連續(xù)區(qū)間：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）4.說明下列函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)（1）；（2）（3）；（4）5.求下列函數(shù)極限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）答案1.（1）當任意時，在處有極限存在；（2）當時，在處連續(xù).2. 因為，所以函數(shù)在處不連續(xù).3.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）4.（1）定義區(qū)間；（2）定義區(qū)間；（3）；（4）定義區(qū)間；5.（1）；（2）；（

13、3）0；（4）；（5）1；（6）.第三單元 導數(shù)、微分的概念及四則運算第一節(jié) 導數(shù)和微分的概念一、學習目標本節(jié)課主要討論導數(shù)和微分的概念，通過學習應明確導數(shù)與微分的定義，了解導數(shù)的幾何意義和經(jīng)濟意義，會求曲線的切線方程；了解導數(shù)、微分與連續(xù)之間的關系并熟練背住導數(shù)和微分的基本公式.二、內(nèi)容講解本節(jié)的主要內(nèi)容是導數(shù)與微分的概念.1.導數(shù)概念三個引例：邊際成本問題；瞬時速率問題；曲線切線問題.引例1：邊際成本問題C總成本，總產(chǎn)量，已知（當自變量產(chǎn)生改變量，相應的函數(shù)也產(chǎn)生改變量），（成本平均變化率）（邊際成本）引例2:瞬時速率問題路程是時間的函數(shù)當從時，從（平均速率）  （在時刻的瞬時速

14、率）引例3：曲線切線問題考慮曲線在處的切線斜率.當時，對應的曲線上和兩點間割線的斜率為.（當時） 稱為切線的斜率.關于函數(shù)，考慮極限定義2.5導數(shù)設函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義，當自變量在點處取得改變量時，函數(shù)取得相應的改變量：若當時，兩個改變量之比的極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱此極限值為 在點處的導數(shù)，記為或或或 ，即=若極限不存在，則稱函數(shù)在點處不可導.在理解導數(shù)定義時要注意：導數(shù)也是逐點討論的.2.導數(shù)定義的意義數(shù)量意義：變化率經(jīng)濟意義：邊際成本幾何意義：切線的斜率3.微分的概念設，導數(shù)兩邊同乘，得到函數(shù)的微分，微分4.導數(shù)公式5.微分公式由導數(shù)公式可以得到微分公式；問題思考：

15、設則證明如下：因為 ，；于是三、例題講解例1，求思路：先求，再求.解：因為所以，例2 ，求解: 因為，所以導數(shù)公式：求導步驟：1、求；2、求.注意：是的導函數(shù)，函數(shù)在處的導數(shù)值四、課堂練習練習1設，且存在，求.利用已知條件對進行適當?shù)淖冃?，再用導?shù)定義求極限.由導數(shù)定義，上式極限存在且就是函數(shù)在處的導數(shù)，即為練習2設函數(shù)在 處可微，求.利用已知條件，函數(shù)可微一定連續(xù).可以證明函數(shù)可導與可微是等價的，可導一定連續(xù)，反之則不然.因為函數(shù)可微一定連續(xù)，所以 五、課后作業(yè)1.根據(jù)導數(shù)定義，求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）2.求下列函數(shù)在指定點處的導數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）

16、3.求下列函數(shù)的導數(shù)和微分：（1）；（2）；（3）；（4）4.求曲線在（1，0）點處的切線方程.5.在拋物線上求一點，使得該點處的切線平行于直線1（1）；（2）；2（1）27；（2）；（3）ln2；（4）。3（1）0；  （2）； （3）；  （4）.4 ；5第二節(jié) 導數(shù)的四則運算法則一、學習目標通過本課程的學習，我們要熟練掌握導數(shù)的四則運算法則，并且能夠熟練運用四則運算法則計算函數(shù)的導數(shù)與微分.1.導數(shù)的加法法則設在點處可導，則在點處可導亦可導，且，（為常數(shù)）2.加法公式證明求證導數(shù)的加法法則 證：設，則，；由已知條件，均可導.3.導數(shù)的乘法法則設在點

17、處可導，則在點處可導亦可導，且，4.導數(shù)除法法則設在點處可導，則在點處可導亦可導，且（）問題思考：設在點處可導且，則.解：由導數(shù)的除法法則三、例題講解例1 設函數(shù)，求分析：現(xiàn)在分別知道冪函數(shù)和常數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式，利用上述法則可求它們組合后函數(shù)的導數(shù).解：（利用加法法則）= （利用導數(shù)公式）例2設，求.解：（提示）例3 設，求.解：（提示）例4，解：因為（由對數(shù)的性質：）所以（其中常數(shù)的導數(shù)為0）例5 設，求解：利用導數(shù)的乘法法則，（利用導數(shù)公式）例6，求.解：<方法1> 由導數(shù)基本公式<方法2> 利用導數(shù)的乘法法則說明無論用哪種方

18、法其結果是唯一的.例7 ，求. 解：<方法1> 將函數(shù)看成，利用乘法法則求導.<方法2> 利用導數(shù)的除法法則求導，其中兩個結果是完全一樣的.例8 求解：（利用三角公式）同理可求.四、課堂練習練習1設，求練習2設，求.練習3設，求. 求下列函數(shù)的導數(shù)或微分：五、課后作業(yè)1.，求；2.,求；3.    求；4.，求；5.，求；6.，求；7.，求；8.，求；9.，求；10.，求.1.；2.；3.；4.；5.； 6.；7.；8.；9.；10.第四單元 復合函數(shù)求導與高階導數(shù)第一節(jié) 復合函數(shù)與隱函數(shù)求導法則一、學習目標在本節(jié)課中，

19、我們學習復合函數(shù)求導法則和隱函數(shù)求導方法，學習之后我們要能夠運用復合函數(shù)求導法則計算初等函數(shù)的導數(shù)與微分，能夠計算隱函數(shù)的導數(shù)或微分.二、內(nèi)容講解（一）復合函數(shù)求導1.復合函數(shù)求導問題：（1），求；（2），則解：第一個問題，求導數(shù)沒有直接公式可用.方法1：將函數(shù)展開，利用加法法則有方法2：將函數(shù)寫成兩個因式乘積的形式，利用四則運算法則求導數(shù).第二個問題，展開？共101項，求導很麻煩.寫成因式乘積的形式，求導也將很麻煩.在這節(jié)課我們將介紹復合函數(shù)求導法則.討論，引進中間變量2.復合函數(shù)求導法則定理設y=f(u),u=j(x),且u=j(x)在點x處可導，y=f(u)在點u=j(x)處可導，則復合

20、函數(shù)y=f(j(x)在點x處可導，且或3.復合函數(shù)求導步驟（1）分清函數(shù)的復合層次，找出所有的中間變量；（2）依照法則，由外向內(nèi)一層層的直至對自變量求導.4.多層復合的函數(shù)求導數(shù)對于多層復合的函數(shù)，即若，則  或注意：多層復合的函數(shù)求導數(shù)仍是經(jīng)過一切中間變量直至對自變量求導.（二）隱函數(shù)求導1.隱函數(shù)求導問題:求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)？解：先將從方程中解出來，得到和分別求導和，將和分別代入，得，（1）由（1）解得，（2）在（2）中隱含2.隱函數(shù)求導方法步驟（1）方程兩邊求導，；（2）整理方程，求出.問題思考：設，則錯誤.正確求解過程為：，。注意：.三、例題講解例1 求下列函數(shù)的導數(shù)或微分（1），求解：方法一:由，方法二: 利用復合函數(shù)求導法則，設，（2），求解：利用復合函數(shù)求導法則，設，.（3），求.解：利用復合函數(shù)求導法則，設，例2設，求解：先求一般點上函數(shù)的導數(shù)，再將代入求得結果.設，利用復合函數(shù)求導法則，例3 設函數(shù)，求.解：（首先對函數(shù)進行分解，找出所有中間變量），例4 求函數(shù)，求.解：例5 設函數(shù)，求.解，例6 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù).解：方程兩邊對自變量求導數(shù)，此時是中間變量.，解出（與前面的結果相同）.例7 求由方程所確定