梁昆淼 數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)大綱

1、梁昆淼 數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)大綱    梁昆淼 數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)大綱    數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)大綱 數(shù)學(xué)物理方法（供物理專業(yè)試用）前一、課程概述言1數(shù)學(xué)物理方法是物理教育專業(yè)本科的一門重要的基礎(chǔ)課，它是前導(dǎo)課程高等數(shù) 學(xué)的延伸，為后繼開(kāi)設(shè)的電動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)和電子技術(shù)等課程提供必需 的數(shù)學(xué)理論知識(shí)和計(jì)算工具。本課程在本科物理教育專業(yè)中占有重要的地位，本專業(yè)學(xué)生 必須掌握它們的基本內(nèi)容，否則對(duì)后繼課的學(xué)習(xí)將會(huì)帶來(lái)很大困難。在物理教育專業(yè)的所 有課程中，本課程是相對(duì)難學(xué)的一門課，學(xué)生應(yīng)以認(rèn)真的態(tài)度來(lái)學(xué)好本課程。 2本課程的主

2、要內(nèi)容包括復(fù)變函數(shù)、傅立葉級(jí)數(shù)、數(shù)學(xué)物理方程、特殊函數(shù)等。理論力 學(xué)中常用的變分法，量子力學(xué)中用到的群論以及現(xiàn)代物理中用到的非線性微分方程理論 等，雖然也屬于數(shù)學(xué)物理方法的內(nèi)容，但在本大綱中不作要求?？梢栽诤罄m(xù)的選修課 中加以介紹。 3本課程的內(nèi)容為數(shù)學(xué)課程，注重邏輯推理和具有一定的系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。但是，它與 其它的數(shù)學(xué)課有所不同。本課程內(nèi)容有很深廣的物理背景，實(shí)用性很強(qiáng)。因此，在這門課 的教學(xué)過(guò)程中，不能單純地追求理論上的完美、嚴(yán)謹(jǐn)，而忽視其應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，不 必過(guò)分地追求一些定理的嚴(yán)格證明、復(fù)雜公式的精確推導(dǎo)，更不能死記硬背，而應(yīng)重視其 應(yīng)用技巧和處理方法。 4本課程的內(nèi)容是幾代數(shù)學(xué)家

3、與物理學(xué)家進(jìn)行長(zhǎng)期創(chuàng)造性研究的成果，幾乎處處都閃耀 創(chuàng)新精神的光芒。教師應(yīng)當(dāng)提示學(xué)生注意在概念建立、定理提出的過(guò)程中所用的創(chuàng)新思維 方法，在課堂教學(xué)中應(yīng)盡可能地體現(xiàn)歷史上的創(chuàng)造過(guò)程，提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。二、目的要求1本課程要求學(xué)生對(duì)規(guī)定的內(nèi)容有一個(gè)總體了解。掌握其中的基本概念，熟悉一些重要 的理論及公式，并使所學(xué)到的知識(shí)在頭腦中形成合理的結(jié)構(gòu)。 2本課程要求學(xué)生能運(yùn)用學(xué)到的基本數(shù)學(xué)方法解決一類常見(jiàn)的物理問(wèn)題，能較順利地學(xué) 習(xí)本專業(yè)后繼的物理課程。 3本課程要求學(xué)生能熟悉在數(shù)學(xué)物理方法的創(chuàng)立過(guò)程中用過(guò)的創(chuàng)新思維方法，如類比、 推廣、猜想及模型化等，為寫(xiě)出有特色的學(xué)年論文和/或畢業(yè)論文創(chuàng)造條

4、件。三、教材教科書(shū)： 教科書(shū)：梁昆淼編，數(shù)學(xué)物理方法，北京：人民教育出版社，1995 年第三版。 參考書(shū)： 參考書(shū)：四川大學(xué)編，高等數(shù)學(xué)第四冊(cè)，北京：高等教育出版社，1996 年第三版； 劉連壽、王正清編，數(shù)學(xué)物理方法，北京：高等教育出版社，1991 年；大綱-1嚴(yán)鎮(zhèn)軍編，數(shù)學(xué)物理方法，合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1999 年。四、教學(xué)建議1本課程課堂講授約需 54 課時(shí)（50 課時(shí)講授基本內(nèi)容，4 課時(shí)作為機(jī)動(dòng)，每篇章的標(biāo)題 后注明了講授參考學(xué)時(shí)數(shù)）。 2學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)注重各章節(jié)所要求內(nèi)容的全貌，以掌握基本思想和基本方法為主， 培養(yǎng)創(chuàng)新精神。 3學(xué)生需獨(dú)立完成本大綱所列出的習(xí)題，并適當(dāng)

5、自選做一些其它的習(xí)題，提高應(yīng)用能力。 4在學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)以教科書(shū)教材為主，適當(dāng)參考所列出的或其它的參考書(shū)，要適應(yīng)各 種不同的教材的編排體系和書(shū)寫(xiě)符號(hào)等。第一篇本篇概述復(fù)數(shù)函數(shù)論（20+1） 復(fù)數(shù)函數(shù)論（20+1）復(fù)數(shù)函數(shù)論是指自變數(shù)為復(fù)數(shù)的函數(shù)。它是實(shí)變函數(shù)在自變數(shù)方面的延伸，并形成了 一個(gè)獨(dú)立的理論分支。 復(fù)變函數(shù)在物理學(xué)中有極其廣泛的應(yīng)用。 首先， 由于復(fù)變數(shù)的引入， 賦予了一些物理量以新的意義。例如，物理學(xué)中普遍使用復(fù)阻抗、復(fù)勢(shì)、復(fù)頻率、復(fù)介電 常數(shù)、復(fù)磁導(dǎo)率、復(fù)哈密頓量等等，這些復(fù)數(shù)量都具有新的物理內(nèi)涵。其次，許多復(fù)變函 數(shù)論的方法，如柯西積分、回路積分、羅朗級(jí)數(shù)籌，給物理學(xué)許多領(lǐng)域中

6、大量的實(shí)際問(wèn)題 提供了有效的處理手段。因此，復(fù)變函數(shù)論成為數(shù)學(xué)物理方法的一個(gè)重要組成部分。 在本篇中，首先引人復(fù)變函數(shù)的基本概念，特別是復(fù)導(dǎo)數(shù)、柯西?黎曼條件及解析函 數(shù)的概念。其次討論復(fù)變函數(shù)的積分，論述柯西定理，并在這個(gè)基礎(chǔ)上導(dǎo)出柯西公式，得 到一個(gè)函數(shù)在解析點(diǎn)處及其高階導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)處的積分表達(dá)式。然后，討論復(fù)變函數(shù)的冪級(jí) 數(shù)展開(kāi)理論，同時(shí)對(duì)復(fù)變函數(shù)的孤立奇點(diǎn)進(jìn)行分類和各類奇點(diǎn)的性態(tài)分析。最后，指出留 數(shù)定理及其應(yīng)用。鑒于復(fù)變函數(shù)所涉及的范圍很廣，對(duì)于其它的內(nèi)容，在本大綱中不作要 求。 在本篇的教學(xué)中，學(xué)生要善于將復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)進(jìn)行比較。一方面，要注意它們 之間的理論相似之處，充分利用已

7、學(xué)的實(shí)變函數(shù)的知識(shí)，來(lái)認(rèn)識(shí)復(fù)變函數(shù)相應(yīng)的理論。另 一方面，要注意它們的不同之處，了解復(fù)變函數(shù)有關(guān)理論的特點(diǎn)進(jìn)行學(xué)習(xí)。在本篇中特別 要重視解析函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容，這是貫串本篇知識(shí)的軸線。 冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是以冪函數(shù)作為基本函數(shù)的，由于冪函數(shù)不是周期函數(shù)，所以將某 一函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)后，就很難體現(xiàn)周期性的這個(gè)特征。如果要著重研究某一函數(shù)的周期 性時(shí)，需要用到傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)理論。這部分內(nèi)容雖然是前導(dǎo)課程的范圍，但在本課程的 第二篇中有重要應(yīng)用，學(xué)生必須進(jìn)行很好地復(fù)習(xí)鞏固。大綱-2傅立葉級(jí)數(shù)理論，還可以延伸到無(wú)窮區(qū)間上定義的函數(shù)，形成了傅立葉積分理論。傅 立葉積分理論，是數(shù)學(xué)物理方程的一個(gè)較重要的內(nèi)容，也

8、是本篇的一個(gè)重要組成部分。同 傅里葉級(jí)數(shù)理論一樣，它在物理學(xué)的許多領(lǐng)域中被廣泛地應(yīng)用。 傅立葉展開(kāi)還有進(jìn)一步的理論，即廣義傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)理論。這部分的內(nèi)容，將在第 二篇的有關(guān)特殊函數(shù)理論中闡述。 本篇的教學(xué)時(shí)間為 20 課時(shí)，另安排 1 課時(shí)作為機(jī)動(dòng)（可以用來(lái)復(fù)習(xí)傅立葉級(jí)數(shù)以及 學(xué)習(xí)其他需要的擴(kuò)展內(nèi)容）。復(fù)變函數(shù)（ 第一章 復(fù)變函數(shù)（6）基本要求： 基本要求：1熟悉復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算； 2了解復(fù)變函數(shù)的定義，連續(xù)性； 3了解多值函數(shù)的概念； 4掌握復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)方法及柯西?黎曼方程； 5了解解析函數(shù)的概念，熟悉一些簡(jiǎn)單的解析函數(shù)的表示式。 6了解從實(shí)變函數(shù)到復(fù)變函數(shù)的推廣過(guò)程中的創(chuàng)新思想

9、與方法。教學(xué)內(nèi)容： 教學(xué)內(nèi)容：§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算。復(fù)平面，復(fù)數(shù)的表示式，共軛復(fù)數(shù)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，復(fù)數(shù)的四則運(yùn) 算，復(fù)數(shù)的冪和根式運(yùn)算，復(fù)數(shù)的極限運(yùn)算。 §1.2復(fù)變函數(shù)。復(fù)變函數(shù)的概念，開(kāi)、閉區(qū)域，幾種常見(jiàn)的復(fù)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)的連 續(xù)性。 §1.3導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，柯西?黎曼方程。 §1.4解析函數(shù)。解析函數(shù)的概念，正交曲線族，調(diào)和函數(shù)。 §1.5平面標(biāo)量場(chǎng)。穩(wěn)定場(chǎng)，標(biāo)量場(chǎng)，復(fù)勢(shì)。本章重點(diǎn)： 本章重點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的運(yùn)算，柯西?黎曼條件，解析函數(shù)習(xí) 題：§1.1（第 5?6 頁(yè)）：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5

10、）（7）3（1） （3）（5）（7） §1.2（第 9 頁(yè)）：2（1）（3）（5）（7）（9），3。 §1.3（第 13 頁(yè)）：1。 §1.4（第 18 頁(yè)）：1，2（1）（4）（6）（7）（10），3。大綱-3復(fù)變函數(shù)的積分（ 第二章 復(fù)變函數(shù)的積分（3）基本要求： 本要求：1正確理解復(fù)變數(shù)函數(shù)路積分的概念； 2深透理解柯西定理及孤立奇點(diǎn)的定義； 3理解并會(huì)熟練運(yùn)用柯西公式。教學(xué)內(nèi)容： 教學(xué)內(nèi)容：§2.1復(fù)數(shù)函數(shù)的積分，路積分及其與實(shí)變函數(shù)曲線積分的聯(lián)系。 §2.2柯西定理?？挛鞫ɡ淼膬?nèi)容和應(yīng)用，孤立奇點(diǎn)，單通區(qū)域，復(fù)通區(qū)域，回路積分。 &#

11、167;2.3不定積分*。原函數(shù)。 §2.4柯西公式?？挛鞴降膶?dǎo)出，高階導(dǎo)數(shù)的積分表達(dá)式。（模數(shù)原理及劉維定理不 作要求）本章重點(diǎn)： 本章重點(diǎn)：柯西定理，柯西公式和孤立奇點(diǎn)。習(xí) 題：§2.4（第 38 頁(yè)）：1，2。冪級(jí)數(shù)展開(kāi)（ 第三章 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)（6）基本要求： 基本要求：1理解復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念； 2了解冪級(jí)數(shù)的斂散性的判別法及收斂半徑的計(jì)算方法； 3會(huì)對(duì)一些簡(jiǎn)單的解析函數(shù)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)； 4了解解析延拓的含義*； 5會(huì)對(duì)一些簡(jiǎn)單的函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)進(jìn)行羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)； 6熟悉孤立奇點(diǎn)的三種類型，了解極點(diǎn)的階；教學(xué)內(nèi)容： 教學(xué)內(nèi)容：§3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)

12、窮級(jí)數(shù)，收斂性，科西判據(jù)，絕對(duì)收斂，一致收斂。 §3.2冪級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)的概念，比值判別法，根值判別法，收斂圓，收斂半徑，冪級(jí)數(shù) 的性質(zhì)。 §3.3泰勒級(jí)數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)計(jì)算公式。 §3.4解析延拓*。解析延拓的基本思想。 §3.5羅朗級(jí)數(shù)。廣義冪級(jí)數(shù)，收斂環(huán)，羅朗展開(kāi)。 §3.6奇點(diǎn)分類。羅朗級(jí)數(shù)的解吸部分、主要部分，留數(shù)，極點(diǎn)，極點(diǎn)的階，單極點(diǎn)， 本性極點(diǎn)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為奇點(diǎn)的情況。（支點(diǎn)不作要求）。大綱-4本章重點(diǎn)： 本章重點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)，比值判別法，泰勒級(jí)數(shù)，羅朗級(jí)數(shù)、收斂圓，收斂環(huán)，函數(shù)按冪級(jí)教展開(kāi)技巧。習(xí) 題§3.2（第 46 頁(yè)

13、）：1，3（1）（3）（5），4（1）（3）。 §3.3（第 52 頁(yè)）：（1）（3）（6）（8）。 §3.5（第 60 頁(yè)）：（1）（3）（5）（7）（9）（11）（14）。 §3.6（第 64 頁(yè)）：（1）（2）（3）。留數(shù)定理（ 第四章 留數(shù)定理（3）基本要求： 基本要求：1掌握留數(shù)定理，了解留數(shù)的計(jì)算方法； 2應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)的定積分。教學(xué)內(nèi)容： 教學(xué)內(nèi)容：§4.1留數(shù)定理。留數(shù)定理概念，計(jì)算留數(shù)的一般方法，判斷極點(diǎn)的階，極點(diǎn)留數(shù)的計(jì) 算方法，例 1?3。 §4.2應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)的定積分。類型一，類型二。本章重點(diǎn)： 本

14、章重點(diǎn)：留數(shù)定理及其計(jì)算方法。習(xí) 題：§4.1（第 71 頁(yè)）：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（2）（3），3。 §4.2（第 81?82 頁(yè)）1（1）（2）（5）（6），2（3）（4）（6），3（2）（4）（6） （8）。傅立葉變換（2+1） 第五章 傅立葉變換（2+1）基本要求： 基本要求：1了解非周期函數(shù)的傅里葉積分表達(dá)式和傅立葉變換的概念。 2掌握傅立葉變換的基本性質(zhì)與方法。 3了解提出狄拉克函數(shù)過(guò)程中的創(chuàng)造性思想。 4掌握狄拉克函數(shù)的定義、基本性質(zhì)和常用表達(dá)式。教學(xué)內(nèi)容： 教學(xué)內(nèi)容：§5.2非周期函數(shù)的傅里葉積分，傅里葉積分的導(dǎo)出，傅立葉變換

15、式，奇函數(shù)的傅里葉 正弦積分，偶函數(shù)的傅立葉余弦積分。 §5.3狄拉克函數(shù)，廣義函數(shù)的提出，狄拉克函數(shù)的定義、表達(dá)式和性質(zhì)。大綱-5本章重點(diǎn)： 本章重點(diǎn)：非周期函數(shù)的傅里葉積分的概念，傅里葉變換的定義。狄拉克函數(shù)的定義、表達(dá)式 和性質(zhì)。習(xí) 題：§5.2（第 103?104 頁(yè)）：1，3，5。 §5.3（第 113 頁(yè)）：2。數(shù)學(xué)物理方程 30 方程（ 第二篇 數(shù)學(xué)物理方程（303）本篇概述數(shù)學(xué)物理方程是本課程的重點(diǎn)， 本篇主要是討論與三類典型的二階線性偏微分方程對(duì)應(yīng) 的定解問(wèn)題以及由此而連帶引出的本征值問(wèn)題和特殊函數(shù)理論。這三類方程在物理學(xué)的許 多領(lǐng)域中具有其廣泛的應(yīng)用，例如在理論力學(xué)中的哈密頓方程，電動(dòng)力學(xué)中的麥克斯韋方 程，量子力學(xué)中的薛定諤方程等等都與這三類方程有密切的關(guān)系。 數(shù)學(xué)物理方程的意義還在于，對(duì)本質(zhì)上不同的物理問(wèn)題可以具有相同的數(shù)學(xué)模型。通過(guò) 同一數(shù)學(xué)模型的研究，反過(guò)來(lái)就可用類比的方法對(duì)不同本質(zhì)的物理問(wèn)題進(jìn)行探討。所以， 系統(tǒng)地了解這些典型的數(shù)學(xué)物理方程及其求解方法，無(wú)疑是研究物理學(xué)的重要手段。 本篇主要是涉及幾種常用的方程所對(duì)應(yīng)的定解問(wèn)題的基本解法， 側(cè)重介紹行波法和分離 變數(shù)法。這兩種方法是求解數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的最基本