西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)

1、在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.1. 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其概率2. 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn). 1. 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行; 2. 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果; 3. 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)會(huì)出現(xiàn).3.3.樣本空間樣本空間 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) 對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E E，它的每一個(gè)可能結(jié)果它的每一個(gè)可能結(jié)果稱為稱為樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)，由一

2、個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)，由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為集稱為基本事件基本事件。所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集。所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為合稱為E E 的的樣本空間或必然事件樣本空間或必然事件，用 或S S表示表示我們規(guī)定不含任何元素的空集為不可能事件我們規(guī)定不含任何元素的空集為不可能事件，用用 表示表示。4.4.隨機(jī)事件隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間的樣本空間 的子集的子集(或某些樣本或某些樣本點(diǎn)的子集），稱為點(diǎn)的子集），稱為 E 的隨機(jī)事件的隨機(jī)事件, 簡(jiǎn)稱事件簡(jiǎn)稱事件.5.5.隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系 每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有

3、一個(gè)樣本空間, 樣樣本空間的子集就是隨機(jī)事件本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間樣本空間子集子集隨機(jī)事件隨機(jī)事件必然事件不可能事件是兩個(gè)特殊的必然事件不可能事件是兩個(gè)特殊的 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 6.概率論與集合論之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系概率論與集合論之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系記號(hào)記號(hào)概率論概率論集合論集合論樣本空間樣本空間, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件隨機(jī)事件隨機(jī)事件A的對(duì)立事件的對(duì)立事件A出現(xiàn)必然導(dǎo)致出現(xiàn)必然導(dǎo)致B出現(xiàn)出現(xiàn)事件事件A與事件與事件B相等相等空間空間(全集全集)空集空集元素元素子集子集A的補(bǔ)集的補(bǔ)集A是是B的子集的子集A集合與集合與B集合相等集合相等eAABAB

4、A BA 事件事件A與事件與事件B的差的差 A與與B兩集合的差集兩集合的差集 AB事件事件A與與B互不相容互不相容A與與B 兩集合中沒有兩集合中沒有相同的元素相同的元素BA事件事件A與事件與事件B的和的和 A集合與集合與B集合的并集集合的并集AB 事件事件A與與B的積事件的積事件 A集合與集合與B集合的交集集合的交集7.古典概型古典概型如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E具有以下特征具有以下特征 1、試驗(yàn)的樣本空間中僅含有有限個(gè)樣本點(diǎn)；、試驗(yàn)的樣本空間中僅含有有限個(gè)樣本點(diǎn)； 2、每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。、每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。則稱該隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型。則稱該隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型。8.幾何

5、概率幾何概率.,)(0,驗(yàn)是一幾何概型的驗(yàn)是一幾何概型的則稱這一隨機(jī)試則稱這一隨機(jī)試即即有限的幾何度量有限的幾何度量的的且具有非零且具有非零窮多個(gè)窮多個(gè)所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為無(wú)所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為無(wú)本空間本空間樣樣能的能的每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)是等可每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)是等可若對(duì)于一隨機(jī)試驗(yàn)若對(duì)于一隨機(jī)試驗(yàn)m 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn) E 的樣本空間由的樣本空間由n 個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成, A 為為 E 的任意一個(gè)事件的任意一個(gè)事件,且包含且包含 m 個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn), 則事則事件件 A 出現(xiàn)的概率記為出現(xiàn)的概率記為: 9. 古典概型中事件概率的計(jì)算公式古典概型中事件概率的計(jì)算公式.中樣本點(diǎn)總數(shù)中樣本點(diǎn)總數(shù)中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)

6、中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù) A An nm mP(A)P(A) 稱此為稱此為概率的古典定義概率的古典定義. 當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意并且任意一點(diǎn)落在度量一點(diǎn)落在度量 (長(zhǎng)度長(zhǎng)度, 面積面積, 體積體積) 相同的子區(qū)域是相同的子區(qū)域是等可能的等可能的,則事件則事件 A 的概率可定義為的概率可定義為)()()(mAmAP .)(,)(幾何概率幾何概率規(guī)定的概率稱為規(guī)定的概率稱為量來合理量來合理這樣借助于幾何上的度這樣借助于幾何上的度的子區(qū)域的度量的子區(qū)域的度量是構(gòu)成事件是構(gòu)成事件是樣本空間的度量是樣本空間的度量其中其中AAmm 10. 幾何概型中事件概率的計(jì)算公式

7、幾何概型中事件概率的計(jì)算公式).()()(),()(,)4(BPAPBAPBPAPBABA 則則且且為兩個(gè)事件為兩個(gè)事件設(shè)設(shè)11. 概率的主要性質(zhì)概率的主要性質(zhì), 1)(0) 1 ( AP;)(,)(01 PP);(1)()2(APAP );()()()() 3(ABPBPAPBAP .)()()|(, 0)(,條條件件概概率率發(fā)發(fā)生生的的發(fā)發(fā)生生的的條條件件下下事事件件為為在在事事件件稱稱且且是是兩兩個(gè)個(gè)事事件件設(shè)設(shè)ABBPABPBAPBPBA12. 條件概率條件概率 ABAB則有則有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn個(gè)事件個(gè)事件為為設(shè)設(shè)推廣推廣則有則有且且為事件為事

8、件設(shè)設(shè), 0)(, ABPCBA()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB).()()(, 0)(APABPABPAP 則有則有設(shè)設(shè)13. 13. 乘法定理乘法定理)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP14. 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式)|()()()|()()|()()|()(), 2 , 1(0)(,1221121iniinninABPAPAPABPAPABPAPABPBPniAPAAAEBE則則且且的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為試試驗(yàn)驗(yàn)設(shè)設(shè)定定義義稱此為稱此為貝葉斯公式貝

9、葉斯公式. 15. 貝葉斯公式貝葉斯公式., 2 , 1,)()|()()|()|(), 2 , 1(0)(, 0)(,121niAPABPAPABPBAPniAPBPAAAEBEnjjjiiiin則則且且的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為試試驗(yàn)驗(yàn)設(shè)設(shè)定定義義條件概率條件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式1122( )() ()() ()() ()nnP AP B P A BP B P A BP B P A B1() ()(),1,2, .() ()iiinjjjP B P A BP B AinP B P A B()( )

10、()P ABP A P B A乘法定理乘法定理16.四個(gè)公式之間的聯(lián)系四個(gè)公式之間的聯(lián)系.,)()()(,獨(dú)獨(dú)立立簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱相相互互獨(dú)獨(dú)立立則則稱稱事事件件如如果果滿滿足足等等式式是是兩兩事事件件設(shè)設(shè)BABABPAPABPBA 性質(zhì)性質(zhì) 1則則若若, 0)( AP)()(BPABP )()()(BPAPABP 17 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性2 若事件若事件A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則以下三對(duì)事件則以下三對(duì)事件；與與 BA；與與 BA.BA 與與18. 獨(dú)立試驗(yàn)序列概型獨(dú)立試驗(yàn)序列概型 設(shè)設(shè)Ei (i=1,2,)是一列隨機(jī)試驗(yàn)是一列隨機(jī)試驗(yàn),Ei的樣本空的樣本空間為間為 i ,設(shè)設(shè)Ak 是是Ek

11、 中的任一事件中的任一事件,Ak k , 若若Ak出出現(xiàn)現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)Ei (i k)的結(jié)果的結(jié)果, 則稱則稱Ei 是是相互獨(dú)立相互獨(dú)立的隨機(jī)試驗(yàn)序列試驗(yàn)序列,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱獨(dú)立試獨(dú)立試驗(yàn)驗(yàn)序列序列.則稱這則稱這n次重復(fù)試驗(yàn)為次重復(fù)試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為重貝努里試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為貝努里概型貝努里概型.若若n 次重復(fù)試驗(yàn)具有下列次重復(fù)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：特點(diǎn)：19. n 重貝重貝努利努利(Bernoulli)試驗(yàn)試驗(yàn)1) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個(gè)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個(gè)A 或或,ApAPpAP 1)(,)(且且2) 各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，各次試驗(yàn)的結(jié)果相

12、互獨(dú)立，( 在各次試驗(yàn)中在各次試驗(yàn)中p是常數(shù)，保持不變）是常數(shù)，保持不變）定理定理 如果在貝努里試驗(yàn)中，事件如果在貝努里試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的出現(xiàn)的概率為概率為p (0p1), 則在則在n次試驗(yàn)中，次試驗(yàn)中，A恰好出現(xiàn)恰好出現(xiàn) k 次的概率為：次的概率為：knkknnppCkP )1()()1;, 2, 1 , 0(pqnk knkknqpC . 1)(0 nknkP且且20. 二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)概率公式.)(xXPxF 4. 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)3. 隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念一維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)1. 隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念2. 隨機(jī)變

13、量的分類隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量的分布離散型隨機(jī)變量的分布 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布1010.p,n 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布1 n退化分布退化分布離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量).,(,)10(), 2 , 1(, 0, 1,)10(21pnXXXXniiiXpnni參數(shù)為參數(shù)為服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布那末那末分布并且相互獨(dú)立分布并且相互獨(dú)立它們都服從它們都服從次試驗(yàn)失敗次試驗(yàn)失敗若第若第次試驗(yàn)成功次試驗(yàn)成功若第若第設(shè)設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為每次試驗(yàn)成功的概率為立重復(fù)伯努里試驗(yàn)立重復(fù)伯努里試驗(yàn)次獨(dú)次獨(dú)對(duì)于對(duì)于分布的推廣分布的推廣二項(xiàng)分布是二項(xiàng)分

14、布是 .)10(. 2泊泊松松分分布布之之間間的的關(guān)關(guān)系系分分布布二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布與與、 )., 2 , 1 , 0(,!)()1(,)(,nkeknpppknkXPnnppnnpkknk 即即為參數(shù)的泊松分布為參數(shù)的泊松分布于以于以時(shí)趨時(shí)趨當(dāng)當(dāng)為參數(shù)的二項(xiàng)分布為參數(shù)的二項(xiàng)分布以以 分布函數(shù)分布函數(shù)概概率率密密度度2. 常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 xttpxFd)()(.連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量1均勻分布均勻分布正態(tài)分布正態(tài)分布(或高斯分布或高斯分布)指數(shù)分布指數(shù)分布 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景正態(tài)分布有極其廣泛

15、的實(shí)際背景, 例如測(cè)量例如測(cè)量誤差誤差; 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ; 正常正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長(zhǎng)度、重量高度直徑、長(zhǎng)度、重量高度;炮彈的彈落點(diǎn)的分布等炮彈的彈落點(diǎn)的分布等, 都服從或近似服從正態(tài)都服從或近似服從正態(tài)分布分布.可以說可以說,正態(tài)分布是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中最正態(tài)分布是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中最為常見的一種分布為常見的一種分布, 一個(gè)變量如果受到大量微小一個(gè)變量如果受到大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響, 那么這個(gè)變量一般那么這個(gè)變量一般是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量.3. 正態(tài)分布是概率論中最

16、重要的分布正態(tài)分布是概率論中最重要的分布另一方面另一方面,有些分布有些分布(如二項(xiàng)分布、泊松分布如二項(xiàng)分布、泊松分布)的極的極限分布是正態(tài)分布限分布是正態(tài)分布.所以所以,無(wú)論在實(shí)踐中無(wú)論在實(shí)踐中,還是在理還是在理論上論上,正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布.二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換1. 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).,),(yYxXPyxF2. 二維離散型隨機(jī)變量的分布律及分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)變量的分布律及分布函數(shù),ijjipyYxXP ;, 2 , 1, ji.),( yyxxijjipyxF3. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量

17、的概率函數(shù)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率函數(shù).d),(),(vuvupyxFyxd 二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布.dd),(),()( xXxyyxpxFxF.d),()( yyxpxpX聯(lián)合分布聯(lián)合分布 邊緣分布邊緣分布 .dd),(),()( yYyxyxpyFxF.d),()( xyxpypY邊緣分布邊緣分布則有邊緣概率密度分別為的聯(lián)合概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量),(),(),(),(. 2ypxpyxpYXYX)()(),(ypxpyxpYX .,jijiyYPxXPyYxXP 相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和YX.)()(,. 3也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立和和則則相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和YgXfYX

18、相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和YX1. 若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量 ( X,Y )的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為., 2 , 1, jipyYxXPijji隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性1. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布)(XfY kp)()()(kxfxfxf21kppp21的分布律為的分布律為則則)(XfY 的分布律為的分布律為若若也是離散型隨機(jī)變量也是離散型隨機(jī)變量其函數(shù)其函數(shù)是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量如果如果XXfYX.)(, Xkpkxxx21kppp21.,)(合并合并應(yīng)將相應(yīng)的應(yīng)將相應(yīng)的中有值相同的中有值相同的若若kkpxf一維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一維隨機(jī)變

19、量的函數(shù)的分布 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布方法方法2 . , )()()(其其它它011yyfyfpypXY注意條件注意條件.方法方法1.)()()()()()(的的密密度度函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)得得到到關(guān)關(guān)于于YyyFxdxxpyXfPyYPyFYyxfXY 1. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為若二維離散型隨機(jī)變量若二維離散型隨機(jī)變量, 2 , 1, jipyYxXPijji的的分分布布律律為為則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)),( YXfZ ),(kkzYXfPzZP ., 2 , 1),( kpjikyxfzij兩個(gè)

20、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布2. 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的分布的分布YXZ )1(的分布的分布YXZ )2(.d),()( yyyzpzpZ.d),()(xxzxpzpZ 由于由于X 與與Y 對(duì)稱對(duì)稱,yyyzypyyyzypzpd),(d),()(00 .d),(yyyzpy 的分布的分布及及),min(),max()3(YXNYXM ),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(11)(minzFzFzFYX 1. 數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù), 而非變量而非變量,它是一種它是一種加權(quán)加權(quán)平均平均, 與一般的平均值不同與一般的平均值不同

21、,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) ).()()(,4);()()(3);()(2;)(10000YEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE獨(dú)立獨(dú)立隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望3. 常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 分分布布 分分布布律律 E(X) (0-1)分分布布 XB(1, p) kkppkXP 1)1( k=0,1 p 二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布 XB(n, p) knkknppCkXP )1 ( k=0,1,2,n np 泊泊 松松 分分 布布 )( P

22、X PX=k= ekk! k=0,1,2, 幾幾何何分分布布 PX=k=ppk 1)1( k=1,2, p1 4.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望常見連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 分布名稱分布名稱 概率密度概率密度 )(XE 均勻分布均勻分布 XUa,b p(x)= 其他其他, 0,1baxab 2ba 正態(tài)分布正態(tài)分布 ),(2 NX p(x)=222)(21 xe 指數(shù)分布指數(shù)分布 )( EX p(x)=)0(, 00, 其他其他xex 1 1. 方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量X 取值分散程取值分散程度的量度的量. 如果如果D(X)值大值大,表示表示X 取值分散程度大取值

23、分散程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果D(X)值小值小, 則表示則表示X 的的取值比較集中取值比較集中, 以以E(X) 作為隨機(jī)變量的代表性好作為隨機(jī)變量的代表性好.,)()()(22XEXEXD 2. 方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式,)()(12kkkpXExXD .d)()()(xxpXExXD 2方差方差3. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) ).()()(3);()(2; 0)(10200YDXDYXDXDCCXDCD分布分布參數(shù)參數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望方差方差兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布均勻分布均勻分布指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布幾何分布幾何分布10 pp

24、)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2ba 12)(2ab 0 /12/1 0, 210 pp/12/ )1 (pp數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念個(gè)體個(gè)體 總體總體 有限總體有限總體無(wú)限總體無(wú)限總體1. 說明說明1一個(gè)總體對(duì)應(yīng)一個(gè)隨機(jī)變量一個(gè)總體對(duì)應(yīng)一個(gè)隨機(jī)變量X, 我們將不我們將不區(qū)分總體和相應(yīng)的隨機(jī)變量區(qū)分總體和相應(yīng)的隨機(jī)變量, 統(tǒng)稱為總體統(tǒng)稱為總體X.說明說明2在實(shí)際中遇到的總體往往是有限總體在實(shí)際中遇到的總體往往是有限總體, 它它對(duì)應(yīng)一個(gè)離散型隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)一個(gè)離散型隨機(jī)變量; 當(dāng)總體中包含的個(gè)體當(dāng)總體中包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)很大時(shí)的個(gè)數(shù)很大時(shí), 在理論上可認(rèn)為它是一

25、個(gè)無(wú)限總在理論上可認(rèn)為它是一個(gè)無(wú)限總體體.隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本 總體,樣本,樣本值的關(guān)系總體(理論分布)樣本樣本值?統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料-樣本值,去推斷總體的情況-總體的分布F(x)的性質(zhì).樣本是聯(lián)系二者的橋梁. 總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律,也就是樣本取到樣本值的規(guī)律,因而可以由樣本值去推斷總體.兩個(gè)最重要的統(tǒng)計(jì)量?jī)蓚€(gè)最重要的統(tǒng)計(jì)量:樣本均值樣本均值 niiXnX11樣本方差樣本方差niinXXnS122)(12.統(tǒng)計(jì)量的概念統(tǒng)計(jì)量的概念(2) 三個(gè)來自正態(tài)分布的抽樣分布三個(gè)來自正態(tài)分布的抽樣分布: . , , 2分布分布分布分布分布分布Ft 的定義的定義,性質(zhì)性質(zhì).4.分位數(shù)的概念分位數(shù)

26、的概念. 3.統(tǒng)計(jì)量的分布統(tǒng)計(jì)量的分布(1) 樣本均值的分布樣本均值的分布 定理定理 1 (樣本均值的分布樣本均值的分布)設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本，則有的樣本，則有),(2nNX ) 1 , 0( NnX 5、幾個(gè)重要的抽樣分布定理、幾個(gè)重要的抽樣分布定理 定理定理 2 (樣本方差的分布樣本方差的分布) 1() 1() 1 (222nSn 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2SX和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有.)(相互獨(dú)立和22SX 定理定理 3 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是

27、取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2SX和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有)(1ntnSX 定理定理 4 (兩總體樣本均值差的分布兩總體樣本均值差的分布) )2(112) 1() 1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX ，設(shè)),(),(2221 NYNXYX和分別是這兩個(gè)樣本的分別是這兩個(gè)樣本的且且X與與Y獨(dú)立獨(dú)立,X1,X2,1nX是取自是取自X的樣本的樣本,取自取自Y的樣本的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,均值均值,2221SS 和則有則有Y1,Y2,2nY是是樣本樣本 定理定理 5 (兩總體樣本方差比的分布

28、兩總體樣本方差比的分布) ) 1, 1(2122222121nnFSS ，設(shè)),(),(222211NYNXYX和分別是這兩個(gè)樣本的分別是這兩個(gè)樣本的且且X與與Y獨(dú)立獨(dú)立,X1, X2,1nX是取自是取自X的樣本的樣本,取自取自Y的樣本的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,均值，均值，2221SS 和則有則有Y1,Y2,2nY是是樣本樣本兩種求點(diǎn)估計(jì)的方法兩種求點(diǎn)估計(jì)的方法: 矩估計(jì)法矩估計(jì)法最大似然估計(jì)法最大似然估計(jì)法 在統(tǒng)計(jì)問題中往往先使用最大似然估計(jì)法在統(tǒng)計(jì)問題中往往先使用最大似然估計(jì)法, 在最大似然估計(jì)法使用不方便時(shí)在最大似然估計(jì)法使用不方便時(shí), 再用矩估計(jì)法再

29、用矩估計(jì)法.參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)法的具體步驟矩估計(jì)法的具體步驟:klXnAAnililll, 2 , 1;1,).2(1 令令.,21的的方方程程組組個(gè)個(gè)未未知知參參數(shù)數(shù)這這是是一一個(gè)個(gè)包包含含kk ,).3(21k 解出其中解出其中klXEkll, 2 , 1),()().1(21 求求出出.,表示表示用用k21.,量量這個(gè)估計(jì)量稱為矩估計(jì)這個(gè)估計(jì)量稱為矩估計(jì)估計(jì)量估計(jì)量的的分別作為分別作為用方程組的解用方程組的解kk ,).4(2121求最大似然估計(jì)量的一般步驟為求最大似然估計(jì)量的一般步驟為： （1）求似然函數(shù)）求似然函數(shù) L（2）一般地，求出一般地，求出 Lln及似然方程及似然

30、方程 0ln iL mi,.,2 , 1 （3）解似然方程得到最大似然估計(jì)值解似然方程得到最大似然估計(jì)值 niixxx,.,21 mi,.,2 , 1 （4）最后得到最大似然估計(jì)量最后得到最大似然估計(jì)量 niiXXX,.,21 mi,.,2 , 1 點(diǎn)估計(jì)不能反映估計(jì)的精度點(diǎn)估計(jì)不能反映估計(jì)的精度, 故而本節(jié)故而本節(jié)引入了區(qū)間估計(jì)引入了區(qū)間估計(jì).求置信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般步驟(分三步分三步). 1)()(,2121P ，有，有意的意的，即對(duì)于任，即對(duì)于任置信度置信度率率數(shù)具有預(yù)先給定的高概數(shù)具有預(yù)先給定的高概它覆蓋未知參它覆蓋未知參間間置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)參數(shù)的區(qū)

31、間估計(jì)參數(shù)的區(qū)間估計(jì). )( ,);,(:, )1(2121 包包括括數(shù)數(shù)且且不不依依賴賴于于任任何何未未知知參參的的分分布布已已知知并并且且其其中中僅僅包包含含待待估估參參數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)尋尋求求一一個(gè)個(gè)樣樣本本ZXXXZZXXXnn .1);,(,)2(21 bXXXZaPban使使決決定定出出兩兩個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于給給定定的的置置信信度度 ,1 . , ,),(, ),( , );,( )(11的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為就是就是那么那么都是統(tǒng)計(jì)量都是統(tǒng)計(jì)量其中其中不等式不等式得到等價(jià)的得到等價(jià)的若能從若能從 13212122211221nnnXXXXXXbXXXZ

32、a . 1的置信區(qū)間的置信區(qū)間單個(gè)總體均值單個(gè)總體均值 ,)1(2為已知為已知 .unX 2/ ,)2(2為未知為未知 .)(/* 12ntnSXn . 22的置信區(qū)間的置信區(qū)間單個(gè)總體方差單個(gè)總體方差 nSnnSnnn.)()(,)()(/*/* 11112212222正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì) . 321的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個(gè)總體均值差兩個(gè)總體均值差 ,2221均為已知均為已知和和 .nnuYX 2221212/ ,2221均為未知均為未知和和 .nSnSuYX 2221212*/但n充分大時(shí)近似置信區(qū)間 . 42221的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個(gè)總體方差比兩個(gè)

33、總體方差比 , 21為未知為未知總體均值總體均值 nnFSSnnFSS.),(,),(/*/* 111111212122212122221 , ,222221為未知為未知但但 .11)2(21212/ nnSnntYXw 估計(jì)量的評(píng)選的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量的評(píng)選的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 無(wú)偏估計(jì)無(wú)偏估計(jì)最小方差無(wú)偏估計(jì)最小方差無(wú)偏估計(jì)相合估計(jì)相合估計(jì) 相合性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)基本要求相合性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)基本要求, 不具備不具備相合性的估計(jì)量是不予以考慮的相合性的估計(jì)量是不予以考慮的. 由最大似然估計(jì)法得到的估計(jì)量由最大似然估計(jì)法得到的估計(jì)量, 在一定條在一定條件下也具有相合性件下也具有相合性. 估計(jì)量的相合性只有

34、當(dāng)樣本估計(jì)量的相合性只有當(dāng)樣本容量相當(dāng)大時(shí)容量相當(dāng)大時(shí),才能顯示出優(yōu)越性才能顯示出優(yōu)越性, 這在實(shí)際中這在實(shí)際中往往難以做到往往難以做到,因此因此,在工程中往往使用無(wú)偏性和在工程中往往使用無(wú)偏性和有效性這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)有效性這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn).估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)1. 原假設(shè)與備擇假設(shè)原假設(shè)與備擇假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)問題通常敘述為假設(shè)檢驗(yàn)問題通常敘述為: ,下下在顯著性水平在顯著性水平 . , 10稱為備擇假設(shè)稱為備擇假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè) HH . : , : 0100 HH檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念2. 拒絕域與臨界點(diǎn)拒絕域與臨界點(diǎn)如在前面實(shí)例中如在前面實(shí)例中, uu,|/2 拒絕域?yàn)?2/2/ uu及及臨界點(diǎn)為臨界點(diǎn)為為為拒絕域拒絕域, 拒絕域拒絕域拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè)H0,則稱區(qū)域則稱區(qū)域1W當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域中的值時(shí)中的值時(shí),我們我們1W的邊界點(diǎn)稱為的邊界點(diǎn)稱為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn).3. 兩類錯(cuò)誤及記號(hào)兩類錯(cuò)誤及記號(hào) 假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)樣本的信息并依據(jù)小概率原假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)樣本的信息并依據(jù)小概率原理，作出接受還是拒絕理，作出接受還是