量子力學(xué)的基本原理

1、第四章 量子力學(xué)的基本原理態(tài) 演化方程 =Hi t h z 從態(tài)函數(shù)能知道什么如何和物理結(jié)果關(guān)于力學(xué)量的測量聯(lián)系起來z 量子力學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)4.1 動力學(xué)變量的算符表示和量子力學(xué)的基本假設(shè)基本假設(shè)之一單粒子的空間運動狀態(tài)由一個復(fù)函數(shù)(r v 描述 基本假設(shè)之二r d r 32(v 正比于在r v 處體積微元r d 3中觀察到粒子的概率基本假設(shè)之三1如果1和2是粒子的可能狀態(tài)的態(tài)函數(shù)則2211c c += 2.8 也是一個可能的態(tài)函數(shù)其中1c 和2c 為任意常數(shù)2設(shè)在某時刻t 態(tài)函數(shù)由1和2按2.8線性疊加而成則在大于0t 的時刻 t這種疊加關(guān)系不變也就是說如果到t 時刻三個狀態(tài)12和分別演化成

2、12和則他們?nèi)匀淮嬖陉P(guān)系2211+=c c 2.9 基本假設(shè)之四單粒子的態(tài)函數(shù)滿足演化方程,(,(t r Ht r i t v v h = 2.28其中H為哈密頓量算符在勢場,(t r V v中的單粒子哈密頓量算符為,(222t r V MH v h +=一 厄米共軛算符和厄米算符設(shè)F是一個線性算符見2.3節(jié)與F 對應(yīng)存在唯一的一個算符+F使下式,(,(FF=+4.1 對任意兩個態(tài)函數(shù)和都成立內(nèi)積定義見 2.10稱+F為F 的厄米共軛算符 4.1 用積分表示(=d Fd F *如果一個算符等于它的厄米算符即FF=+則稱其為厄米算符厄米共軛的幾條規(guī)則 1.(FF=+ 4.2 2. +=+B A

3、B A( 4.3 3.(+=A BB A 4.4 4. 若c 為常數(shù)則*c c =+4.5 二厄米算符本征函數(shù)組的性質(zhì)課本4.4節(jié) 設(shè)F 是一個厄米算符即FF=+記它的本征方程為nn n F = 4.6 若指標n 取分立值如L,3,2,1=n 則稱算符有分立譜若指標n 取連續(xù)值則稱算符有連續(xù)譜有分立譜的算符有連續(xù)譜的算符也有混和著分立譜和連續(xù)譜的算符為了表述方便以下我們假設(shè)算符的譜是分立的物理上連續(xù)譜通?？梢杂米銐蛎艿姆至⒆V來近 似大部分關(guān)于分立譜的數(shù)學(xué)結(jié)論可以簡單的推廣到連續(xù)譜的情形也有連續(xù)譜使問題復(fù)雜化的個別情形遇到時將會說明1 厄米算符的本征值為實數(shù)2厄米算符的不同本征值對應(yīng)的本征函數(shù)正

4、交 若有多于一個線性獨立的本征函數(shù)對應(yīng)同一個本征值即所謂簡并的情形顯然也可以通過適當?shù)慕M合使線性獨立的簡并態(tài)函數(shù)互相正交通常都是這樣約定的 3 厄米算符本征函數(shù)組構(gòu)成態(tài)空間希爾伯特空間的完備基底記厄米算符F 的本征態(tài)函數(shù)組為n其中包括簡并和非簡并的所有本征態(tài)并且是相互正交的我們還假定以對本征態(tài)進行了歸一化 因此(mn n m =,4.7 數(shù)學(xué)上可以證明態(tài)空間中的一個任意態(tài)函數(shù)都可以寫成nnn c =4.8 也就是說本征態(tài)組n 構(gòu)成態(tài)空間的一套完備基 取 4.8式與m 的內(nèi)積易得展開系數(shù)(,m m c =4.9 以下我們設(shè)也是歸一化的即1,(=4.10 把4.8代入得12=nnc4.11把4.9

5、代入4.8得=r d r r r r d r r r r r n n n n n n v v v v r v v v v v 33*(,(可見(*r r r r nnn =v v v v 4.12此式稱為厄米算符本征態(tài)組的封閉性它和完備性是等價的對連續(xù)譜情況復(fù)雜一點首先連續(xù)譜的本征態(tài)常常不能歸一化另外僅是厄米算符這一條件還不足以保證算符的本征態(tài)組構(gòu)成態(tài)空間的完備基數(shù)學(xué) 上嚴格地說自伴算符必定是厄米算符分立譜的厄米算符必定是自伴算符但連續(xù)譜的厄米算符未必是自伴算符的本征態(tài)組一定是完備的但證明一個算 符是自伴算符相當困難 對一般的物理應(yīng)用人們常常默認物理量對應(yīng)的算符也是自伴算符 在第二章關(guān)于疊加原

6、理的討論中曾經(jīng)猜想展系數(shù)具有概率幅的意義在此我們對玻恩解釋作一推廣 基本假設(shè)之二的推廣設(shè)任意態(tài)的展開式4.8中n 是正交歸一的在態(tài) n 中測量某物理量記為F 的結(jié)果有確定的值記為n 如果與n 對應(yīng)的線性獨立的態(tài)一共有n d 個n d度簡并n ni d i ,2,1|L =那么在中測量F 得到結(jié)果n 的概率為21=nd i nic 由展式 4.8和上述關(guān)于基本假設(shè)之二的推廣可以定義一個與物理量F 相應(yīng)的線性算符F使它的本征態(tài)為n 其相應(yīng)于n 的本征值為n即本征方程為4.6F 對任意態(tài)的作用如下 =nnn n nn n nnn c F c c F F4.13 給定任意一個n c 可由 4.9確定因

7、此F對任意態(tài)的作用完全由它的本征值測量F 的可能值和本征態(tài)在其中測量F 一定得到相應(yīng)的本征值 定義對有簡并的情形可以增加一個下標以區(qū)分簡并態(tài)把 4.13寫成=nd i ni nin ncF14.13其中n d 為簡并度ni 假定已正交歸一化由物理的考慮與可測量的物理量F 對應(yīng)的算符F的本征態(tài)組必須是態(tài)空間完備的基底因而F應(yīng)該是一個厄米自伴算符理由如下假如F的本征態(tài)組不完備則會存在一個態(tài)函數(shù)+= nnn c 其中和F的任何本征態(tài)正交據(jù)疊加原理也是一種可能的態(tài)函數(shù)但在態(tài)中測量物理量F 得到任何可能結(jié)果的概率都等于零這種后果在物理上是不合理的因此F的本征態(tài)組必須完備小結(jié)可觀測物理量對應(yīng)一個厄米自伴算

8、符設(shè)其本征方程為nin ni F = 在它的本征態(tài)ni 上測量該物理量必定得到相應(yīng)的本征值n本征態(tài)組是完備的任意態(tài)可表示為 =nd i ni ninc1 在中測量該物理量結(jié)果必是該算符的本征值之一得到測量值n 的概率等于=nd i nic12 三 能量的平均值第二章討論過哈密頓量的物理意義當H不顯含時間時它的本征值就是測量系 統(tǒng)能量可能得到的值H的本征方程 (r E r H nn n v v = (4.14設(shè)t=0時態(tài)函數(shù)為n它與時間的依賴關(guān)系由2.28給出/exp(,(h vv t iE r t r n n n =4.15 可見圓頻率為h /n n E =按照德布羅意的思想n E 就是粒子的

9、能量反過來也可 以說如果粒子具有確定的能量n E則按照德布羅意的思想態(tài)函數(shù)具有4.15的 形式把4.15代入含時的薛定諤方程2.28可見態(tài)函數(shù)n 滿足4.14即是哈 密頓量的本征態(tài) 下面求在任意態(tài)(r v中測量能量的平均值由于H的本征態(tài)組是完備的有nnn c =其中n c 為測得能量等于n E 的概率幅由 4.9給出因此能量平均值等于=nn n n nn n n nn n E E E c H ,(,(,(,(*24.16 其中最后一式利用了,(,(*n n =把4.16最右邊一項的n E 放進倒數(shù) 第二個內(nèi)積中再應(yīng)用本征方程4.14得 =r d r d r r r H r r d r r r

10、d r H r H H n n n nnn nn n v v v v v v v v v v v v 33*3*3*(,(,(應(yīng)用封閉性4.12得 ,(3*33*H r d r H r r d r d r r r H r H =v v v v v v v v v4.17 如果(r v沒有歸一化上式改為(,HH=4.18 四 位置平均值記測量位置的可能取值為qv函數(shù)有等式qr q r q r v v v v vv ,= 4.19可見位置算符r r vv =的本征態(tài)為qr v v ,相應(yīng)的本征值為qv設(shè)(r v是任意一個態(tài)函數(shù) =qq r q r v v v vv,(4.20根據(jù)推廣的假設(shè)二測得粒

11、子位置為q v 的概率形式上為2(q v以上為了表述簡單假定了位置取值是分立的實際上q v是可連續(xù)變化的矢量為了將上述結(jié)論推廣到連續(xù)譜的情形讓我們把空間離散化認為粒子的位置只能在 正立方點陣的格點上取值點陣的格距設(shè)為a 當a 趨于零時便得到連續(xù)的結(jié)論在體積為d的一小區(qū)域內(nèi)格點的數(shù)目為d a 3=因為此區(qū)域很小可以認為在 區(qū)域內(nèi)態(tài)函數(shù)為常數(shù)因此在這小區(qū)域內(nèi)測量到粒子的概率為 d q a q q q 22/322(v v v v =4.21 定義(2/3q aq v v對a 有限(q v 和(q v僅相差一個常數(shù)因此是描寫同一量子態(tài)的態(tài)函數(shù)顯然(q v 具有概率密度幅的意義即2(q v 為概率密度

12、在通常的實際情況下概率密度是有限的因此當0a時測得粒子在某一格點位置的 絕對概率2(q v必須等于零因此連續(xù)變量的絕對概率幅(q v并不是一個有用的量 而應(yīng)該使用概率密度幅(q v因為在體積微元d 中測量到粒子的概率由 4.21給出測量粒子位置的平均值=d r r r 2(vv v4.22另一種做法由基本假設(shè)二位置平均值=d r r d r r r d r d r r r (*v vv v v v v v v4.23 如果態(tài)函數(shù)(r v是歸一化的如4.22的前題假設(shè)則4.22和4.23一 致 位置平均值可用內(nèi)積符號簡捷地表示為,(,(r r v v=4.24 對r v 的函數(shù)(r f v的平均

13、值有類似的表達式,(,(r f r f v v=4.20 五 動量算符和平均動量根據(jù)得布羅意的思想具有確定動量p v的態(tài)函數(shù)為平面波/exp(h vv vv r p i A r p= 4.21 易見(r p r ipp vv v h v v = 4.22 因此動量算符為=h v i p 4.23 動量本征函數(shù)平面波的歸一化1箱歸一化如果空間為無窮大 4.21定義的平面波不能歸一化克服這個困難的辦法 是假想粒子所在的空間是有限的它的運動限制在邊長為a 的箱子里由于動量是與空間平移不變性相聯(lián)系的守恒量箱子的邊界條件必須保持系統(tǒng)的平移不變性因此必須選擇周期性邊界條件 ,(,0(z y a x z y

14、 x p p =v v 4.24,(,0,(z a y x z y xpp =v v 4.25,(0,(a z y x z y xpp =v v 4.26 把 4.21代入上式得amp x h2= alp y h 2= anp z h2= 4.27 L ,3,2,1,0,=n l m4.28 動量只能取分立值歸一化的動量本征態(tài)為(+= =nz ly mx a i a r p i a r p 2exp 1exp 1(2/32/3v h v v 4.29 記,(2n l m ap =v易證n n l l m m p p pp d r r =,(*v v v v v v 4.30在箱子內(nèi)的滿足周期性

15、邊界條件的任意態(tài)函數(shù)(r v可作傅立葉級數(shù)展開即展開成動量本征態(tài)4.29的線性疊加 =ppr p C r vv vvv(4.31 利用 4.30易得傅立葉級數(shù)逆變換公式,(pp C v v=4.32 由傅立葉級數(shù)變換公式 4.31和逆變換公式 4.32可驗證封閉性關(guān)系成立 (/(exp 1(,3,*r r r r p i ar r nl m nl m pp=vv h v v v vv v v 4.33 根據(jù)推廣的假設(shè)二通過類似關(guān)于能量平均值的討論可得任意態(tài)(r v設(shè)已 歸一化中動量的平均值 ,(2p p p C p pv v v vv=4.34 2函數(shù)歸一化平面波態(tài)函數(shù)4.21給出的概率密度正

16、比于一個常數(shù)如果堅持空間無窮大絕對概率密度必然等于零因此我們必須放棄態(tài)函數(shù)作為絕對 概率密度幅的意義態(tài)函數(shù)不能按正常途徑歸一化盡管如此 pv 的物理圖象是清楚的在空間各處觀測到粒子的概率都一樣因此問題只不過是如何選定常數(shù)A 一個比較方便 所謂函數(shù)歸一化是令=(*p p p p p p p p d r r z z y y x x p p v v v v 4.35 即取2/32(1h =A4.36 4.35是分立譜中本征態(tài)正交性4.30在連續(xù)譜的推廣函數(shù)歸一化至少有兩個方便之處1方便求展開系數(shù)設(shè)(r v是一個任意的已歸一化的態(tài)函數(shù)用平面波 4.21展開(r v p d r p c r p 3(vv

17、 vv = 4.37利用 4.35易得逆變換,(*ppd r r p c v v v v v=4.38 2展開系數(shù)有明確物理意義根據(jù)推廣的基本假設(shè)二4.37中的展開系數(shù)的絕對值平方2|(|p c v正比于在 (r v 態(tài)中測量粒子動量得到動量值在p d p p v v v +之間的概率為了把比例常數(shù)確定下來只需使用總概率等于一的條件將4.37代入4.35得 1/(exp(2(1(3*33*=p d p d d r p p i p c p c d p d r p pc d r p c p p vv h v v v h vv v v v v v v v 4.38 利用 (2(/(3p p d r

18、p p i xp e =v v h h v v v 4.39 可得1(32=p d p c v v4.40 可見選取函數(shù)歸一化后展開系數(shù)(p c v有類似位置概率密度幅(q v的意義即(p c v 為(r v 態(tài)中測得粒子的動能為p v 的概率密度幅于是在(r v態(tài)中動量的平均值為 =,(32p p d p c p p v v v v4.41最后一個等式的推導(dǎo)和位置平均值公式的推導(dǎo)類似六 算符與對稱性對稱性是指系統(tǒng)經(jīng)過某種坐標或參數(shù)變換后保持物理性質(zhì)不變能量是時間平移不變系統(tǒng)的特征守恒量動量是空間平移不變系統(tǒng)的特征守恒量相應(yīng)的算符也和對稱性有緊密的聯(lián)系1時間平移與哈密頓量考慮時間無窮小平移t

19、t t +態(tài)函數(shù)從(t 變成(t t +作泰勒展開(t tt t t t +=+4.42 應(yīng)用薛定諤方程上式可寫成(t H i t t t t t =+h4.43 可見哈密頓量是無窮小時間平移的生成算符對于哈密頓量的本征態(tài)(t n (t E t H nn n = 代入4.43得(exp(1(t t E it Ei t t t n n n n n =+=+hh 4.44 可見(t n 和(t t n +僅相差一個常數(shù)因子即時間平移前后哈密頓量本 征態(tài)的物理意義保持不變本征值n E 是本征態(tài)的特征參數(shù)不隨時間變化即所謂守恒量故把它解讀為能量是合理的2空間平移與動量算符考慮無窮小空間平移r r r

20、vv v +態(tài)函數(shù)(r v 變換成為(r r vv +泰勒展開給出(r r r r r vv v v v +=+4.45 可用動量算符寫成(r p r i r r r r v v vhv v v v =+ 4.46 因此動量算符是無窮小空間平移的生成算符對動量算符的本征態(tài)(r p r p pp v v v v v v =4.46給出(exp(1(r r p i r r p i r rpp pvv v hv v v h vv v v v =+=+ 4.47 可見動量本征態(tài)在空間平移前后物理意義不變動量本征值是不隨時間變化的本征態(tài)的特征矢量故解讀為動量是合理的 習(xí)題證明動量算符是厄米算符七 軌道角

21、動量算符及其平均值角動量是與空間轉(zhuǎn)動對稱性相聯(lián)系的守恒矢量經(jīng)典角動量定義為p r L vv v =4.48 考慮繞z 軸的無窮小轉(zhuǎn)動+類似關(guān)于動量算符與對稱變換的討論 態(tài)函數(shù)在此轉(zhuǎn)動中的變化量為(z L i =+h4.49 其中算符zL 定義為=h i L z 4.50 它是繞z 軸無窮小轉(zhuǎn)動的生成算符其本征態(tài)在此轉(zhuǎn)動中不變相應(yīng)的本征值是守恒量我們可把 zL 的本征值解讀為z 方向的軌道角動量不考慮粒子內(nèi)部狀態(tài)的角動 量 那么 算符 L z 就是軌道角動量 z 分量的算符 變換到直角坐標 4.51 所以角動量其他分量的算符也 L z = xp y yp x = ih ( x y y x 由于在

22、空間各向同性系統(tǒng)中 z 軸并沒有任何特殊性 可以類似得到 從對稱性容易寫出 L x = yp z zp y L y = zp x xp z 可將 4.51-53 合寫成 4.52 4.53 v v v v L = r p = r ( ih 此即軌道角動量算符 與角動量大小相聯(lián)系的角動量平方算符定義為 4.54 1 1 2 L2 L2 + L2y + L2 = h 2 sin + x z sin 2 2 sin 對各向同性系統(tǒng) 球坐標是最方便的 上式右邊表達式和 5.50 式最重要 4.55 1 L z 的本征方程及其解 本征方程 L z ( = mh ( 即 4.56 i 其通解為 d ( =

23、 m ( d 4.57 m ( = A exp(im 它必須滿足周期性邊界條件 單值性 4.59 4.58 (0 = (2 因此 exp(i 2m = 1 測量角動量在某軸 z軸 2 m = 0,1,2, L 4.60 正交歸一化條件 4.61 的投影只能得到分立值 mh * m 0 m d = mm 由此得到 A = 1 / 2 11 2 角動量平方的本征方程及其解 本征方程 L2Y ( , = h 2Y ( , 因為 L z 是厄米算符 展開 Y ( , 其本征態(tài)組 m ( | m = 0,1,2, L 是完備的 4.62 所以可以用 m Y ( , = m ( m ( m 4.63 把 4.63 和 4.55 代入 5.62 利用 4.56 得 m 1 1 m2m m = m m sin m m sin sin 2 m m 4.61 可得到 m ( 所滿足的方程 利用正交關(guān)系 1 sin sin 令 = cos 1 m 2 m