高考數(shù)學復習點撥直線與圓錐曲線的位置關系

1、核心突破直線與圓錐曲線的位置關系山東 劉乃東1有關直線與圓錐曲線的交點個數(shù)問題有關直線與圓錐曲線的交點個數(shù)問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)問題，特別地，對于直線與圓的交點的個數(shù)問題，則常利用初中所學有關知識解決；有關弦的中點問題，則應注意靈活運用“差分法”，設而不求，簡化運算。2解析幾何中的最值、定值問題常用的方法和技巧有：利用二次函數(shù)的性質、三角函數(shù)的有界性、基本不等式、函數(shù)的單調性、函數(shù)的導數(shù)、數(shù)形結合等。 3向量與解析幾何的結合 運用向量的方法解決解析幾何問題，有時可簡化運算（平行、垂直與夾角）；也可以把向量轉化為坐標運算。注：（1）關于圓錐曲線的參數(shù)取值范圍和幾何最

2、值問題實屬一類問題，其解題方法是統(tǒng)一的，往往都是代數(shù)、三角、幾何多方面知識的滲透與綜合，函數(shù)、方程、不等式、轉化、化歸、分類討論等多種思想的交叉運用，換元、數(shù)形結合、三角代換等多種方法技巧的靈活運用。 （2）求范圍與最值問題首先應在做題前弄清：平面幾何知識，如三角形三邊不等關系，兩點之間線段最短等；涉及直線與圓錐曲線的公共點，判別式解出不等式；圓錐曲線上點的坐標的范圍；題目已知條件，某一參數(shù)已知的取值范圍。 （3）求范圍與最值問題的解題方法主要有以下幾種：數(shù)形結合法；函數(shù)法；變量替換法；不等式法。 例1 已知拋物線的弦經(jīng)過點，且（為坐標原點），求弦的長。 分析：要求弦的長，只需求出、兩點的坐標

3、，為此設出、兩點的坐標，利用的條件和、三點共線的條件求解。解析：由、兩點在拋物線上，可設，。由得，。 點、與點在一條直線上，化簡整理得， 將代入得 由和得，從而點的坐標為，點的坐標為，。點評：通過解方程組求得、兩點的坐標，然后利用兩點間的距離公式求解。例2 給定雙曲線。（1）過點的直線與所給曲線交于兩點、，如果點是弦的中點，求的方程；（2）把點改為，具備上述性質的直線是否存在？如果存在，求出方程；如果不存在，請說明理由。分析：該例綜合性較強，要注意分類討論思想的運用。 解析：（1）法1：設過點的弦的端點、，則兩式相減得，故所求直線的方程為。法2：設直線斜率為，不存在時，過的直線是，它與雙曲線的

4、交點是方程組，交點為不符合題意，舍去。當存在時，由消去得 設直線與雙曲線的兩個交點為、，則是方程的兩個根，則解此方程組得，故所求直線的方程為。（2）點坐標為，直線方程為不存在時，舍去）。，消去得，則解得，但不滿足條件。故不存在適合題意的直線。點評：以某一定點為弦的中點求弦的方程，也要結合韋達定理的中點坐標公式，或者用設點不求的技巧差點法巧妙地求出斜率。例3 已知直線與曲線恰有一個公共點，求實數(shù)的值。 分析：切莫先入為主，武斷地屆定為拋物線方程，因為參數(shù)在變化，當時，即變?yōu)椋藭r是一條直線。 解析：直線與拋物線組成方程組 當時，此方程組恰有一組解為 當時，消去得。若，即，方程變?yōu)?，此時方程組有一組解；若時，即，由得，解得，此時直線與拋物線相切，只有一個公共點。綜上所述，當或或時，直線與曲線只有一個公共點。點評：對于開放的曲線，僅是直線與圓錐曲線有一個公共點的充分但不必要條件，解題時應特別注意。練習：1為過橢圓中心的弦，是橢圓的右焦點，則的面積的最大值是（ ） 2若橢圓經(jīng)過