高等數學——微分方程

1、第八章 常微分方程一、本章學習要求與內容提要 （一）基本要求 1了解微分方程和微分方程的階、解、通解、初始條件與特解等概念.2掌握可分離變量的微分方程和一階線性微分方程的解法.3了解二階線性微分方程解的結構.4掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法.5會求自由項為或，時的二階常系數非齊次線性微分方程的解.6. 知道特殊的高階微分方程（，）的降階法.7會用微分方程解決一些簡單的實際問題.重點 微分方程的通解與特解等概念，一階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數變易法，二階線性微分方程的解的結構，二階常系數非齊次線性微分方程的待定系數法。難點 一階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數

2、變易法，二階常系數非齊次線性微分方程的待定系數法，高階微分方程的降階法，用微分方程解決一些簡單的實際問題.（二）內容提要 微分方程的基本概念 微分方程的定義凡是含有未知函數的導數（或微分）的方程，稱為微分方程.未知函數是一元函數的微分方程稱為常微分方程，未知函數是多元函數的微分方程稱為偏微分方程.本書只討論常微分方程，簡稱微分方程. 微分方程的階、解與通解微分方程中出現(xiàn)的未知函數最高階導數的階數，稱為微分方程的階.如果把函數代入微分方程后，能使方程成為恒等式,則稱該函數為該微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常數，且獨立的任意常數的個數與方程的階數相同，則稱這樣的解為微分方程的通解. 初始條

3、件與特解用未知函數及其各階導數在某個特定點的值作為確定通解中任意常數的條件，稱為初始條件.滿足初始條件的微分方程的解稱為該微分方程的特解. 獨立的任意常數線性相關與線性無關設是定義在區(qū)間內的函數，若存在兩個不全為零的數，使得對于區(qū)間內的任一，恒有成立，則稱函數在區(qū)間內線性相關，否則稱為線性無關.顯然，函數線性相關的充分必要條件是在區(qū)間內恒為常數.如果不恒為常數，則在區(qū)間內線性無關.獨立的任意常數 在表達式 (,為任意常數) 中, ,為獨立的任意常數的充分必要條件為,線性無關.2.可分離變量的微分方程定義 形如 的微分方程，稱為可分離變量的方程.該微分方程的特點是等式右邊可以分解成兩個函數之積，

4、其中一個僅是的函數，另一個僅是的函數，即分別是變量的已知連續(xù)函數.求解方法 可分離變量的微分方程的求解方法,一般有如下兩步:第一步:分離變量 ，第二步:兩邊積分 .3. 線性微分方程 一階線性微分方程定義 形如. 的微分方程，稱為一階線性微分方程，其中都是的已知連續(xù)函數，“線性”是指未知函數和它的導數都是一次的.求解方法 一階線性微分方程的求解方法,一般有如下兩步:第一步：先用分離變量法求一階線性微分方程所對應的齊次線性微分方程的通解.第二步：設為一階線性微分方程的解,代入該方程后,求出待定函數.第三步: 將代入中,得所求一階線性微分方程的通解.注意 只要一階線性微分方程是的標準形式,則將代入

5、一階線性微分方程后,整理化簡后,必有,該結論可用在一階線性微分方程的求解過程中,以簡化運算過程.一階線性微分方程的求解公式 (其中為任意常數).二階常系數齊次線性微分方程定義形如 的微分方程（其中均為已知常數，稱為二階常系數齊次線性微分方程. 求解方法 求解二階常系數齊次線性微分方程,一般分為如下三步:第一步 寫出方程的特征方程 ，第二步 求出特征方程的兩個特征根 ,，第三步 根據下表給出的三種特征根的不同情形，寫出的通解.有兩個不同特征實根有兩個相同特征實根有一對共軛復根 i 二階常系數非齊次線性微分方程定義形如 的微分方程（其中均為已知常數），稱為二階常系數非齊次線性微分方程. 求解方法

6、求解二階常系數非齊次線性微分方程, 一般分為如下三步:第一步 先求出非齊次線性微分方程所對應的齊次線性微分方程方程的通解;第二步 根據下表設出非齊次線性微分方程的含待定常數的特解,并將代入非齊次線性微分方程解出待定常數,進而確定非齊次方程的一個特解; 第三步 寫出非齊次線性微分方程的通解.方程的特解的形式表自由項的形式特解的形式的設法不是特征根是特征單根是二重特征根或令,構造輔助方程=求出輔助方程的特解則是方程特解是方程 特解注: 表中的為已知的次多項式，為待定的次多項式，如 （為待定常數）.4. 二階線性微分方程解的結構1 二階齊次線性微分方程解的疊加原理如果函數和是齊次線性微分方程的兩個解

7、，則函數也是方程的解；且當與線性無關時， 就是方程的通解（其中是任意常數）. 非齊次線性微分方程解的疊加原理如果函數為非齊次線性微分方程的一個特解，為齊次線性微分方程的通解，則為該非齊次線性微分方程的通解. 非齊次線性微分方程解的分離定理如果是方程的解，是方程的解，則是方程 的解.5.高階微分方程的降階法方程的形式引入的形式降階后的方程設設則對方程兩邊逐次積分次，即可得到該方程的通解二、主要解題方法1一階微分方程的解法例1 求微分方程 滿足條件的特解.解 這是可以分離變量的微分方程，將方程分離變量，有 ，兩邊積分，得 ，求積分得 ，記 ，得方程的解 .可以驗證 時，它們也是原方程的解，因此，式

8、中的可以為任意常數，所以原方程的通解為 （為任意常數）.代入初始條件 得 ，所以特解為 .例2 求微分方程（1），（2） 的通解.（1）解一 原方程可化為 ，令 ，則 ，即 ，兩邊取積分 ，積分得 ，將代入原方程，整理得原方程的通解為 （為任意常數）.解二 原方程可化為 為一階線性微分方程，用常數變易法.解原方程所對應的齊次方程 ，得其通解為 .設為原方程的解，代入原方程，化簡得 ，所以原方程的通解為 ，即 （為任意常數）.（2）解一 原方程對應的齊次方程 分離變量，得，兩邊積分，得，用常數變易法.設代入原方程，得 ，故原方程的通解為 （為任意常數）.解二 這里，代入通解的公式得 =（為任意常

9、數）.小結 一階微分方程的解法主要有兩種：分離變量法，常數變易法.常數變易法主要適用線性的一階微分方程，若方程能化為標準形式 ，也可直接利用公式 ）求通解.2 可降階的高階微分方程例3 求微分方程 的通解.解 方程中不顯含未知函數，令，代入原方程，得 ，這是關于未知函數的一階線性微分方程，代入常數變易法的通解公式，所以） =）=）=）=，由此 =，=，因此，原方程的通解為 = （為任意常數）.例4 求微分方程 滿足初始條件，的特解.解 方程不顯含，令 ，則方程可化為 ，當 時 ，于是 .根據 ，知 代入上式，得 ，從而得到 ，積分得 ，再由，求得 ，于是當時，原方程滿足所給初始條件的特解為 ，

10、當時，得(常數)，顯然這個解也滿足方程，這個解可包含在解中.故原方程滿足所給初始條件的特解為，即 .3 二階常系數線性齊次微分方程的求解方法例5 求微分方程的通解.解 原方程對應的特征方程為 ，=，（1） 當，即 或時，特征方程有兩個不相等的實根 ，故原方程的通解為.（2） 當，即或時，特征方程有兩個相等的實根 ，故原方程的通解為 . （3）當，即 時，特征方程有兩個共軛復根 ，故原方程的通解為.4二階常系數線性非齊次微分方程的求解方法例6 求微分方程 滿足初始條件，的特解.解 對應齊次方程的特征方程為 ，特征根 故對應齊次微分方程的通解為 .因為是特征方程的單根，所以設特解為 ，代入原方程得

11、 ，比較同類項系數得 ，從而原方程的特解為 ，故原方程的通解為 ，由初始條件 時，得 從而，.因此滿足初始條件的特解為 .例7 求微分方程 的通解.解 對應的齊次微分方程的特征方程 ，特征根 .于是所對應的齊次微分方程通解為為了求原方程的一個特解,先求（）的特解.由于是特征方程的單根，且是零次多項式。所以設特解為 ，代入原方程，化簡得,比較同類項系數，得 ，.所以，方程（）的特解為=,其虛部即為所求原方程的特解 .因此原方程通解為.小結 在設微分方程 的特解時，必須注意把特解設全.如：，那么 ，而不能設.另外，微分方程的特解都是滿足一定初始條件的解，上面所求的特解一般不會滿足題設初始條件，因此

12、需要從通解中找出一個滿足該初始條件的特解.5 用微分方程解決實際問題的方法例8 已知某曲線經過點，它的切線在縱軸上的截距等于切點的橫坐標，求它的方程.解 設所求曲線方程為 ，為其上任一點，則過點的曲線的切線方程為 ，由假設，當時 ，從而上式成為 .因此求曲線的問題，轉化為求解微分方程的定解問題 ，的特解.由公式 ，得=，代入得 ，故所求曲線方程為 .例9 一質量為的質點由靜止開始沉入液體，當下沉時，液體的反作用力與下沉速度成正比，求此質點的運動規(guī)律.解 設質點的運動規(guī)律為.由題意，有 （為比例系數）方程變?yōu)?，齊次方程的特征方程為 ， ，.故原方程所對應的齊次方程的通解為 ，因是特征單根，故可

13、設 ，代入原方程，即得 ，故，所以原方程的通解,由初始條件得 ，因此質點的運動規(guī)律為 .小結 用微分方程解決實際問題，包括建立微分方程，確定初始條件和求解方程這幾個主要步驟.由于問題的廣泛性，一般建立微分方程要涉及到許多方面的知識，如幾何、物理等. 三、學法建議1本章重點為微分方程的通解與特解等概念，一階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數變易法，二階線性微分方程的解的結構，二階常系數非齊次線性微分方程的待定系數法.2 本章中所講的一些微分方程，它們的求解方法和步驟都已規(guī)范化，要掌握這些求解法，讀者首先要善于正確地識別方程的類型，所以必須熟悉本課程中講了哪些標準型，每種標準型有什么特征，以便“