高中數(shù)學聯(lián)賽答案

1、二二年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1、 函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是(A) (-，-1) (B) (-，1) (C) (1，+) (D) (3，+)2、 若實數(shù)x, y滿足(x+5)2+(y-12)2=142，則x2+y2的最小值為 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 3、 函數(shù)f(x)=(A) 是偶函數(shù)但不是奇函數(shù) (B) 是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)(C) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (D) 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)4、 直線橢圓相交于A，B兩點，該圓上點P，使得PAB面積等于3，這樣的點P共有(A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 4個5、 已知兩個實

2、數(shù)集合A=a1, a2, , a100與B=b1, b2, , b50，若從A到B的映射f使得B中的每一個元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，則這樣的映射共有(A) (B) (C) (D) 6、 由曲線x2=4y, x2= -4y, x=4, x= -4圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得為旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足x2+y216, x2+(y-2)24, x2+(y+2)24的點(x,y)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則(A) V1=V2 (B) V1=V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2二、 填空題（本題滿分54分，每小題9分）7、 已知復數(shù)Z1,Z2滿足|

3、Z1|=2, |Z2|=3，若它們所對應向量的夾角為60，則= 。P9P1P2P3P4P5P6P7P8P10解：由余弦定理得|Z1+Z2|=, |Z1-Z2|=, =8、 將二項式的展開式按x的降冪排列，若前三項系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的指數(shù)是整數(shù)的項共有 個。9、 如圖，點P1,P2,P10分別是四面體點或棱的中點，那么在同一平面上的四點組(P1, Pi, Pj, Pk)(1ij1)，使得存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x二二年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試試題說明：1 評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分；2 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，評

4、卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，可以10分為一個檔次，不要再增加其它中間檔次。一、（本題滿分50分）BACEFOHKMN 如圖，在ABC中，A=60，ABAC，點O是外心，兩條高BE、CF交于H點，點M、N分別在線段BH、HF上，且滿足BM=CN，求的值。 二、（本題滿分50分） 實數(shù)a,b,c和正數(shù)l使得f(x)=x3+ax2+bx+c有三個實根x1,x2,x3，且滿足 x2-x1=l, x3(x1+x2)求三、（本題滿分50分）在世界杯足球賽前，F(xiàn)國教練為了考察A1,A2,A7這七名，準備讓他們在三場訓練比賽(每場90分鐘)都上場，假設在比賽的任何時刻，這些中有且僅有一人在場上，并且

5、A1,A2,A3,A4每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整除，如果每場換人次數(shù)不限，那么按每名隊員上場的總時間計算，共有多少種不同的情況。二二年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽四、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）16、 函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是(A) (-，-1) (B) (-，1) (C) (1，+) (D) (3，+)解：由x2-2x-30x3，令f(x)=, u= x2-2x-3，故選A17、 若實數(shù)x, y滿足(x+5)2+(y-12)2=142，則x2+y2的最小值為 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 解：B18、 函數(shù)f(x)=(A) 是偶函數(shù)但不是奇函數(shù) (B) 是奇

6、函數(shù)但不是偶函數(shù)(C) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (D) 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)解：A19、 直線橢圓相交于A，B兩點，該圓上點P，使得PAB面積等于3，這樣的點P共有(A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 4個解：設P1(4cosa,3sina) (0a)，即點P1在第一象限的橢圓上，如圖，考慮四邊形P1AOB的面積S。S= EMBED Equation.3 =6(sina+cosa)=xyOABP1 Smax=6 SOAB=6 3 點P不可能在直線AB的上方，顯然在直線AB的下方有兩個點P，故選B20、 已知兩個實數(shù)集合A=a1, a2, , a100與B=b1, b2, , b5

7、0，若從A到B的映射f使得B中的每一個元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，則這樣的映射共有(A) (B) (C) (D) 解：不妨設b1b2b50，將A中元素a1, a2, , a100按順序分為非空的50組，定義映射f：AB，使得第i組的元素在f之下的象都是bi (i=1,2,50)，易知這樣的f滿足題設要求，每個這樣的分組都一一對應滿足條件的映射，于是滿足題設要求的映射f的個數(shù)與A按足碼順序分為50組的分法數(shù)相等，而A的分法數(shù)為，則這樣的映射共有，故選D。21、 由曲線x2=4y, x2= -4y, x=4, x= -4圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得為旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足x

8、2+y216, x2+(y-2)24, x2+(y+2)24的點(x,y)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則(A) V1=V2 (B) V1=V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2yxxyoo4444-4-4-4-4解：如圖，兩圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個與y軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，設截面與原點距離為|y|，則所得截面面積S1=p(42-4|y|) , S2=p(42-y2)-p4-(2-|y|)2=p(42-4|y|) S1=S2由祖暅原理知，兩個幾何體體積相等。故遠C。五、 填空題（本題滿分54分，每小題9分）22、 已知復

9、數(shù)Z1,Z2滿足|Z1|=2, |Z2|=3，若它們所對應向量的夾角為60，則= 。解：由余弦定理得|Z1+Z2|=, |Z1-Z2|=, =P9P1P2P3P4P5P6P7P8P1023、 將二項式的展開式按x的降冪排列，若前三項系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的指數(shù)是整數(shù)的項共有 個。解：不難求出前三項的系數(shù)分別是，當n=8時， (r=0,1,2,，8) r=0,4,8,即有3個24、 如圖，點P1,P2,P10分別是四面體點或棱的中點，那么在同一平面上的四點組(P1, Pi, Pj, Pk)(1ij0，所以只須求x-y的最小值。令x-y=u代入x2-4y2=4中有3y2-2uy+(4-u2

10、)=0 yR 0 EMBED Equation.3 當時，u=，故|x|-|y|的最小值是27、 使不等式sin2x+acosx+a21+cosx對一切xR恒成立的負數(shù)a的取值范圍是 。解：sin2x+acosx+a21+cosxa0,當cosx=1時，函數(shù)有最大值a2+a-20a-2或a1a1)，使得存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x解：f(x-4)=f(2-x) 函數(shù)的圖象關于x= -1對稱 b=2a由知當x= -1時,y=0，即a-b+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0a= b= c=f(x)= 5分假設存在tR，只要x1,m

11、，就有f(x+t)x取x=1時，有f(t+1)1(t+1)2+(t+1)+1-4t0對固定的t-4,0，取x=m，有f(t +m)m(t+m)2+(t+m)+mm2-2(1-t)m+(t2+2t+1)0m 10分 m=9 15分當t= -4時，對任意的x1,9，恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0m的最大值為9。 20分另解：f(x-4)=f(2-x) 函數(shù)的圖象關于x= -1對稱 b=2a由知當x= -1時,y=0，即a-b+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0a= b= c=f(x)=(x+1)2 5分 由f

12、(x+t)=(x+t+1)2x 在x1,m上恒成立 4f(x+t)-x=x2+2(t-1)x+(t+1)20當x1,m時，恒成立 令 x=1有t2+4t0-4t0令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)20當t-4,0時，恒有解 10分令t= -4得，m2-10m+901m9 15分即當t= -4時，任取x1,9恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0 mmin=9 20分二二年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試試題一、（本題滿分50分）BACEFOHKMN 如圖，在ABC中，A=60，ABAC，點O是外心，兩條高BE、CF交于H點，點M、N分別在線段BH、HF上，且滿足BM

13、=CN，求的值。解：在BE上取BK=CH，連接OB、OC、OK，由三角形外心的性質(zhì)知 BOC=2A=120由三角形垂心的性質(zhì)知 BHC=180-A=120 BOC=BHC B、C、HO四點共圓 20分 OBH=OCH OB=OC BK=CH BOKCOH 30分 BOK=BOC=120，OKH=OHK=30 觀察OKH KH=OH 40分 又BM=CN，BK=CH， KM=NH MH+NH=MH+KM=KH=OH = 50分二、（本題滿分50分） 實數(shù)a,b,c和正數(shù)l使得f(x)=x3+ax2+bx+c有三個實根x1,x2,x3，且滿足 x2-x1=l, x3(x1+x2)求解： f(x)=

14、f(x)-f(x3)=(x-x3)x2+(a+x3)x+x32+ax3+b x1,x2是方程x2+(a+x3)x+x32+ax3+b的兩個根 x2-x1=l (a+x)2-4(x32+ax3+b)= l23x32+2ax3+l2+4b-a2=0x3(x1+x2) () 且 4a2-12b-3l20 () 10分 f(x)=x3+ax2+bx+c = 20分 f(x3)=0 () 由()得 記p=，由() 和()可知p且 令 y=，則y0且 30分 = = 0 40分 取a=2,b=2,c=0,l=2，則f(x)=x3+ax2+bx+c有根，0 顯然假設條件成立，且 綜上所述的最大值是 50分三

15、、（本題滿分50分） 在世界杯足球賽前，F(xiàn)國教練為了考察A1,A2,A7這七名，準備讓他們在三場訓練比賽(每場90分鐘)都上場，假設在比賽的任何時刻，這些中有且僅有一人在場上，并且A1,A2,A3,A4每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整除，如果每場換人次數(shù)不限，那么按每名隊員上場的總時間計算，共有多少種不同的情況。解：設第i名隊員上場的時間為xi分鐘(i=1,2,3,7)，問題即求不定方程 x1+x2+x7=270 在條件7|xi (1i4)且13|xj (5j7)下的正整數(shù)解的級數(shù)。 若(x1,x2,x7)是滿足條件的一組正整數(shù)解，則應有 =7m =13n m,nN m,n是不定方程

16、 7m+13n=270 在條件m4且n3下的一組正整數(shù)解。 10分 7(m-4)+13(n-3)=203 令 m=m -4 n=n -3 有 7m+13n=270 求滿足條件m4且n3的正整數(shù)解等價于求的非負整數(shù)解。 易觀察到 72+13(-1)=1 7406+13(-203)=203 即 m0=406 n0= -203是的整數(shù)解 的整數(shù)通解為 m=406 -13k n= -203+7k kZ 令 m0 n0,解得 29k31 20分 取k=29,30,31得到滿足條件的三組非負整數(shù)解： 從而得到滿足條件的三組正整數(shù)解： 30分 1)在m=33,n=3時，顯然x5=x6=x7=13僅有一種可能， 又設xi=7yi (i=1,2,3,4)，于是由不定方程y1+y2+y3+y4=33有組正整數(shù)解。 此時有滿足條件的=4960組正整數(shù)解。 2)在m=2