高數(shù)下A試題及答案

1、高等數(shù)學(xué)A（下） 課程考試試題參考解答一、單項(xiàng)選擇題(滿分15分，每小題3分，共5道小題), 請(qǐng)將合適選項(xiàng)填在括號(hào)內(nèi)1. 函數(shù)的全微分【 C 】(A) ； (B) ； (C) ； (D) 2. 球面在點(diǎn)處的切平面方程是【 D 】(A) ； (B) ； (C) ； (D) 3. 設(shè)區(qū)域，二重積分【 B 】(A) ； (B) ；(C) ； (D) 4. 級(jí)數(shù)的斂散性為【 A 】(A) 條件收斂； (B) 絕對(duì)收斂； (C) 發(fā)散； (D) 其它選項(xiàng)都不對(duì)5. 曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)于軸的傾角為【 C 】(A) ； (B) ； (C) ； (D) 二、填空題 ( 滿分15分，每小題3分，共5道小題 )，

2、請(qǐng)將答案填在橫線上 1. = 4 .2. 設(shè)是圓周，曲線積分= . 3. 設(shè)可以展開為正弦級(jí)數(shù)，此正弦級(jí)數(shù)在處收斂于 1 . 解 由于是的連續(xù)點(diǎn)，則的正弦級(jí)數(shù)在收斂于4. 微分方程的通解為 . 5. 函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為 . 三（滿分10分）設(shè)，求和（其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）.解 四. （滿分10分）計(jì)算曲線積分，其中為圓周的正向.解 ，由格林公式，得 . 五（滿分10分）試將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)，（要求寫出該冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)并指出其收斂域）。 解： 因?yàn)?則 ， 將上式兩端逐項(xiàng)積分，得 六（滿分12分）計(jì)算曲面積分，其中是上半球面的上側(cè).解 添加輔助曲面：取下側(cè)，使構(gòu)成封閉曲面，記所圍成的空間閉區(qū)域

3、為，由高斯公式, 得， ， 七. （滿分12分）設(shè)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且滿足，求。解 由已知條件得微分方程初值問題 方程的通解是 由初值條件得 所以 八. （滿分10分）某公司可通過電臺(tái)及報(bào)紙兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入（萬元）與電臺(tái)廣告費(fèi)用（萬元）及報(bào)紙廣告費(fèi)用（萬元）有如下關(guān)系： ，（1）在廣告費(fèi)用不限的情況下，求最佳廣告策略；（2）如果提供的廣告費(fèi)用為1.5萬元，求相應(yīng)的廣告策略。解 （1）設(shè)，（或）令 （或）解得 為唯一的駐點(diǎn)。 （或）（萬元）。當(dāng)電臺(tái)廣告費(fèi)用與報(bào)紙廣告費(fèi)用分別為0.75萬元和1.25萬元時(shí)，最大利潤為39.25（萬元），此時(shí)為最佳廣告策略。 （2）求廣告費(fèi)用為1.5萬元的條件下的最佳廣告策略，即為在條件下，的最大值。令 ，由 解得， 這是唯一的駐點(diǎn)，又由題意一定存在最大值，故（萬元）為最大值。 九. （滿分6分） 設(shè)在內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且二元函數(shù) 滿足 求.解 （1）設(shè)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 同理 代入方程有 又 ，于是 (2)解初值