實例教程比較實用

1、實驗一  特殊函數與圖形一、問題背景與實驗目的二、相關函數（命令）及簡介三、實驗內容四、自己動手一、問題背景與實驗目的著名的Riemann函數大家都很熟悉了，但是關于它的圖像你是否清楚呢？除了最上面那幾點，其他都很難畫吧？你想不想看看下面那些“擠在一起”的點是怎樣分布的呢？還有幾何中的馬鞍面、單葉雙曲面等是怎樣由直線生成的，是不是也想目睹一下呢？這些，都離不開繪圖實際上繪圖一直是數學中的一種重要手段，借助圖形，往往可以化繁為簡，使抽象的對象得到明白直觀的體現(xiàn)比如函數的基本性質，一個圖形?？梢允怪荒苛巳?，非常有效它雖不能代替嚴格的分析與證明，但在問題的研究過程中，可以幫助研究人員節(jié)約

2、相當一部分精力此外，它還可以使計算、證明、建模等的結果得到更明白易懂的表現(xiàn)，有時，這比科學論證更有說服力同時，數學的教學與學習過程也離不開繪圖借助直觀的圖形，?？梢允钩鯇W者更容易接受新知識如數學分析中有不少函數，其解析式著實讓人望而生畏，即使對其性質作了詳盡的分析，還是感到難明就里；但如果能看到它的圖形，再配合理論分析，則問題可以迎刃而解又如在幾何的學習中，會遇到大量的曲線與曲面，也離不開圖形的配合傳統(tǒng)的手工作圖，往往費力耗時，效果也不盡理想計算機恰恰彌補了這個不足，使你可以方便地指定各種視角、比例、明暗，從各個角度進行觀察本實驗通過對函數的圖形表示和幾個曲面（線）圖形的介紹，一方面展示它們的

3、特點，另一方面，也將就Matlab軟件的作圖功能作一個簡單介紹大家將會看到，Matlab 的作圖功能非常強大二、相關函數（命令）及簡介1平面作圖函數：plot，其基本調用形式：plot(x,y,s) 以x作為橫坐標，y作為縱坐標s是圖形顯示屬性的設置選項例如：x=-pi:pi/10:pi;y=sin(x);plot(x,y,'-rh','linewidth',2,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','g')圖1在使用函數plot時，應當注意到當兩個輸入量同

4、為向量時，向量x與y必須維數相同，而且必須同是行向量或者同是列向量繪圖時，可以制定標記的顏色和大小，也可以用圖形屬性制定其他線條特征，這些屬性包括：linewidth            指定線條的粗細markeredgecolor      指定標記的邊緣色markerfacecolor      指定標記表面的顏色markersize    

5、       指定標記的大小若在一個坐標系中畫幾個函數，則plot的調用格式如下：plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,)2空間曲線作圖函數：plot3，它與plot相比，只是多了一個維數而已其調用格式如下：plot3(x,y,z,s)例如：x=0:pi/30:20*pi;y=sin(x);z=cos(x);plot3(x,y,z)得到三維螺旋線：圖2 3空間曲面作圖函數：（1）mesh函數繪制彩色網格面圖形調用格式：mesh(z)，mesh(x,y,z)和mesh(x,y,z,c)其中，mesh(x,y,z,c)畫

6、出顏色由c指定的三維網格圖若x、y均為向量，則length(x)=n，length(y)=m，m,n=size(z)（2）surf在矩形區(qū)域內顯示三維帶陰影曲面圖調用格式與mesh類似（3）ezmesh用符號函數作三維曲面網格圖調用格式：ezmesh(x,y,z) 其中x = x(s,t), y = y(s,t),z = z(s,t)畫圖區(qū)域默認為： -2*pi < s < 2*pi 且-2*pi < t < 2*pi.或者用格式：ezmesh(x,y,z,smin,smax,tmin,tmax)（4）ezsurf用符號函數作三維曲面圖調用格式與ezmesh類似（5）s

7、phere畫球體命令4meshgrid，調用格式：x,y=meshgrid(m,n)，這里的m，n為給定的向量，可以定義網格劃分區(qū)域和劃分方法矩陣x和矩陣y是網格劃分后的數據矩陣5圖像的修飾與其他函數：（1）axis equal 控制各個坐標軸的分度，使其相等；（2）colormap設置繪圖顏色調用格式：colormap(r g b)   其中r,g,b都是0-1之間的數或者用格式：colormap(s)s為顏色映像下面舉幾個常用的例子：顏色映像相應的顏色系顏色映像相應的顏色系autumn紅黃色系hsv色調飽和色系gray線性灰色系hot黑紅黃白色系cool青和洋紅色系pi

8、nk柔和色系（3）grid網格函數   grid on添加網格grid off取消網格（4）find找出符合條件的元素在數組中的位置調用格式：y=find(條件)例如：輸入：a=4  5  78  121  4  665  225  4  1;b=find(a>7)   輸出：b =3     4     6     7  

9、0;                                           三、實驗內容數學分析中，特別是積分部分，我們接觸了不少有趣的函數，由于其中有的不是一一對應

10、的，用上面的方法無法畫出它們的圖像，這時就只能用參數了此外還有些圖形只能用參數來畫，比如空間曲線，在計算機上不接受“兩個曲面的交線”這種表示，所以也只能用參數來實現(xiàn)用參數方式作圖的關鍵在于找出合適的參數表示，尤其是不能有奇點，最好也不要用到開方所以要找的參數最好是有幾何意義的當然這也不可一概而論，需要多積累經驗1利用函數plot在一個坐標系中畫以下幾個函數圖像，要求采用不同顏色、不同線形、不同的符號標記函數為：程序如下：t=0:pi/20:2*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=sin(2*t);plot(t, x, '-k*', t, y, '-rs'

11、;, t, z, ':bo') 圖像如下：圖3 2繪制類似田螺線的一條三維螺線(方程自己設計)程序如下：t=0:.1:30;x=2*(cos(t)+t.*sin(t);y=2*(sin(t)-t.*cos(t);z=1.5*t;plot3(x,y,-z)  %取 z 主要是為了畫圖看起來更清楚axis equal圖像如下：圖43利用函數，繪制一個墨西哥帽子的圖形程序如下：a,b=meshgrid(-8:.5:8);     %先生成一個網格c=sqrt(a.2+b.2)+eps;z=sin(c)./c;mesh(a,b

12、,z)axis square 圖像如下：圖5 思考：這里的 eps 是什么？其作用是什么？4利用surf繪制馬鞍面圖形（函數為：）程序如下： x,y=meshgrid(-25:1:25,-25:1:25);z=x.2/9-y.2/4;surf(x,y,z)title('馬鞍面')grid off圖像如下：圖6 5分別用ezmesh和ezsurf各繪制一個圓環(huán)面，嘗試將兩個圓環(huán)面放在一個圖形界面內，觀察它們有什么不同之處       提示：圓環(huán)面的方程為：，而圓環(huán)面的參數方程為：程

13、序參見附錄1圖像如下：圖76繪制黎曼函數圖形，加深對黎曼函數的理解說明：黎曼函數的定義為程序參見附錄2圖像如下：圖8四、自己動手1作出下圖所示的三維圖形：圖9提示：圖形為圓環(huán)面和球面的組合. 2作出下圖所示的墨西哥帽子及其剪裁圖形：圖10 3畫出球面、橢球面、雙葉雙曲面、單葉雙曲面4若要求田螺線的一條軸截面的曲邊是一條拋物線：時試重新設計田螺線的參數方程，并畫出該田螺線5作出下圖所示的馬鞍面（顏色為灰色，并有一個標題：“馬鞍面”）：圖116繪制圖8所示的黎曼函數圖形，要求分母的最大值的數值由鍵盤輸入（提示：使用input語句）    

14、                                                  

15、                                                  

16、                                                   

17、;  回目錄         下一頁 實驗二  定積分的近似計算一、問題背景與實驗目的二、相關函數（命令）及簡介三、實驗內容         1  矩形法         2 梯形法         3拋物線法

18、         4. 直接應用Matlab命令計算結果四、自己動手一、問題背景與實驗目的利用牛頓萊布尼茲公式雖然可以精確地計算定積分的值，但它僅適用于被積函數的原函數能用初等函數表達出來的情形如果這點辦不到或者不容易辦到，這就有必要考慮近似計算的方法在定積分的很多應用問題中，被積函數甚至沒有解析表達式，可能只是一條實驗記錄曲線，或者是一組離散的采樣值，這時只能應用近似方法去計算相應的定積分本實驗將主要研究定積分的三種近似計算算法：矩形法、梯形法、拋物線法對于定積分的近似數值計算，Matlab有專門函數可

19、用 二、相關函數（命令）及簡介1sum(a)：求數組a的和2format long：長格式，即屏幕顯示15位有效數字（注：由于本實驗要比較近似解法和精確求解間的誤差，需要更高的精度）3double()：若輸入的是字符則轉化為相應的ASCII碼；若輸入的是整型數值則轉化為相應的實型數值4quad()：拋物線法求數值積分格式： quad(fun,a,b) ，注意此處的fun是函數，并且為數值形式的，所以使用*、/、等運算時要在其前加上小數點，即 .*、./、.等例：Q = quad('1./(x.3-2*x-5)',0,2);5trapz()：梯形法求數值積分格式：tra

20、pz(x,y)其中x為帶有步長的積分區(qū)間；y為數值形式的運算（相當于上面介紹的函數fun）例：計算x=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)6dblquad()：拋物線法求二重數值積分格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定義，也可以通過某個函數文件的句柄傳遞例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi)       順便計算下面的Q2，通過計算，比較Q1 與Q2結果（或加上手工驗

21、算），找出積分變量x、y的上下限的函數代入方法Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi)例2：Q3 = dblquad(integrnd, pi, 2*pi, 0, pi)這時必須存在一個函數文件integrnd.m：function z = integrnd(x, y) z = y*sin(x);7fprintf（文件地址，格式，寫入的變量）：把數據寫入指定文件例：x = 0:.1:1;y = x; exp(x);fid = fopen('exp.txt','w');  

22、; %打開文件fprintf(fid,'%6.2f %12.8fn',y);    %寫入fclose(fid)                 %關閉文件8syms 變量1 變量2 ：定義變量為符號9sym('表達式')：將表達式定義為符號解釋：Matlab中的符號運算事實上是借用了Maple的軟件包，所以當在Matlab中要對符號進行運算時，必須先把要用到的變量定義為符號

23、10int(f,v,a,b)：求f關于v積分，積分區(qū)間由a到b11subs(f，'x'，a)：將 a 的值賦給符號表達式 f 中的 x，并計算出值若簡單地使用subs(f)，則將f的所有符號變量用可能的數值代入，并計算出值三、實驗內容1  矩形法根據定積分的定義，每一個積分和都可以看作是定積分的一個近似值，即在幾何意義上，這是用一系列小矩形面積近似小曲邊梯形的結果，所以把這個近似計算方法稱為矩形法不過，只有當積分區(qū)間被分割得很細時，矩形法才有一定的精確度針對不同的取法，計算結果會有不同，我們以為例（?。?）左點法：對等分區(qū)間，在區(qū)間上取左端點，即取，0.78789

24、399673078，理論值，此時計算的相對誤差（2）右點法：同（1）中劃分區(qū)間，在區(qū)間上取右端點，即取，0.78289399673078，理論值，此時計算的相對誤差（3）中點法：同（1）中劃分區(qū)間，在區(qū)間上取中點，即取，0.78540024673078，理論值，此時計算的相對誤差 如果在分割的每個小區(qū)間上采用一次或二次多項式來近似代替被積函數，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似計算公式下面介紹的梯形法和拋物線法就是這一指導思想的產物 2  梯形法等分區(qū)間，相應函數值為（）曲線上相應的點為（）將曲線的每一段弧用過點，的弦（線性函數）來代替，這使得每個上的曲邊梯

25、形成為真正的梯形，其面積為，于是各個小梯形面積之和就是曲邊梯形面積的近似值，即，稱此式為梯形公式仍用的近似計算為例，取，0.78539399673078，理論值，此時計算的相對誤差很顯然，這個誤差要比簡單的矩形左點法和右點法的計算誤差小得多   3  拋物線法由梯形法求近似值，當為凹曲線時，它就偏?。划敒橥骨€時，它就偏大若每段改用與它凸性相接近的拋物線來近似時，就可減少上述缺點，這就是拋物線法將積分區(qū)間作等分，分點依次為，對應函數值為（），曲線上相應點為（）現(xiàn)把區(qū)間上的曲線段用通過三點，的拋物線來近似代替，然后求函數從到的定積分：由于，代入上式整理后得

26、同樣也有將這個積分相加即得原來所要計算的定積分的近似值：，即這就是拋物線法公式，也稱為辛卜生（Simpson）公式仍用的近似計算為例，取，=0.78539816339745，理論值，此時計算的相對誤差 4. 直接應用Matlab命令計算結果 （1）    數值計算方法1：int('1/(1+x2)','x',0,1)    (符號求積分)方法2：quad('1./(1+x.2)',0,1)  （拋物線法求數值積分）方法3：x=0:0.001:1; 

27、      y=1./(1+x.2);trapz(x,y)             （梯形法求數值積分）（2）數值計算方法1：int(int('x+y2','y',-1,1),'x',0,2)   （符號求積分）方法2：dblquad(inline('x+y2'),0,2,-1,1)   （拋物線法二重數值積分） 

28、四、自己動手1  實現(xiàn)實驗內容中的例子，即分別采用矩形法、梯形法、拋物線法計算，取，并比較三種方法的精確程度2  分別用梯形法與拋物線法，計算，取并嘗試直接使用函數trapz()、quad()進行計算求解，比較結果的差異3  試計算定積分（注意：可以運用trapz()、quad()或附錄程序求解嗎？為什么？）4  將的近似計算結果與Matlab中各命令的計算結果相比較，試猜測Matlab中的數值積分命令最可能采用了哪一種近似計算方法？并找出其他例子支持你的觀點5  通過整個實驗內容及練習，你能否作出一些理論上的小結，即針對什么類型的函數（具有某

29、種單調特性或凹凸特性），用某種近似計算方法所得結果更接近于實際值？6  學習fulu2sum.m的程序設計方法，嘗試用函數 sum 改寫附錄1和附錄3的程序，避免for 循環(huán)                                  

30、0;                                                 

31、0;                                                  

32、60;      上一頁          回目錄         下一頁 實驗三求代數方程的近似根（解） 一、問題背景和實驗目的二、相關函數（命令）及簡介三、實驗內容四、自己動手一、問題背景和實驗目的求代數方程的根是最常見的數學問題之一（這里稱為代數方程，主要是想和后面的微分方程區(qū)別開為簡明起見，在本實驗的以下敘述中，把代數方程簡稱為方程），當是一次多項式

33、時，稱為線性方程，否則稱之為非線性方程當是非線性方程時，由于的多樣性，尚無一般的解析解法可使用，但如果對任意的精度要求，能求出方程的近似根，則可以認為求根的計算問題已經解決，至少能滿足實際要求本實驗介紹一些求方程實根的近似值的有效方法，要求在使用這些方法前先確定求根區(qū)間，或給出某根的近似值在實際問題抽象出的數學模型中，可以根據物理背景確定；也可根據的草圖等方法確定，還可用對分法、迭代法以及牛頓切線法大致確定根的分布情況通過本實驗希望你能：1. 了解對分法、迭代法、牛頓切線法求方程近似根的基本過程；2. 求代數方程（組）的解 二、相關函數（命令）及簡介1abs( )：求絕對值函數2di

34、ff(f)：對獨立變量求微分，f 為符號表達式diff(f, 'a')：對變量a求微分，f 為符號表達式diff(f, 'a', n)：對變量 a 求 n 次微分，f 為符號表達式例如：syms x tdiff(sin(x2)*t6, 't', 6)ans=    720*sin(x2)3roots(c(1), c(2), , c(n+1)：求解多項式的所有根例如：求解：p = 1  -6  -72  -27;r = roots(p)r =     

35、; 12.1229      -5.7345      -0.3884 4solve('表達式')：求表達式的解solve('2*sin(x)=1')ans =     1/6*pi5linsolve(A, b)：求線性方程組 A*x=b 的解例如：A= 9  0;  -1  8;  b=1;  2;linsolve(A, b)ans=  1/919/72

36、6fzero(fun, x0)：在x0附近求fun 的解其中fun為一個定義的函數，用“函數名”方式進行調用例如：fzero(sin, 3)ans=       3.14167subs(f, 'x ', a)：將 a 的值賦給符號表達式 f 中的 x，并計算出值例如：subs('x2 ', 'x ', 2)ans = 4  三、實驗內容首先，我們介紹幾種與求根有關的方法： 1對分法對分法思想：將區(qū)域不斷對分，判斷根在某個分段內，再對該段對分，依此類推，直到滿足精度為止

37、對分法適用于求有根區(qū)間內的單實根或奇重實根設在上連續(xù)，即，或，則根據連續(xù)函數的介值定理，在內至少存在一點，使下面的方法可以求出該根：(1)    令，計算；(2)    若，則是的根，停止計算，輸出結果若，則令，若，則令，；，有、以及相應的(3) 若 (為預先給定的精度要求)，退出計算，輸出結果；反之，返回(1)，重復(1)，(2)，(3)以上方法可得到每次縮小一半的區(qū)間序列，在中含有方程的根當區(qū)間長很小時，取其中點為根的近似值，顯然有以上公式可用于估計對分次數分析以上過程不難知道，對分法的收斂速度與公比為的等比級數相同由于，可知大約

38、對分10次，近似根的精度可提高三位小數對分法的收斂速度較慢，它常用來試探實根的分布區(qū)間，或求根的近似值 2. 迭代法1)      迭代法的基本思想：由方程構造一個等價方程從某個近似根出發(fā)，令，可得序列，這種方法稱為迭代法若 收斂，即，只要連續(xù)，有即可知，的極限是的根，也就是的根當然，若發(fā)散，迭代法就失敗以下給出迭代過程收斂的一些判別方法：定義：如果根的某個鄰域中，使對任意的，迭代過程，收斂，則稱迭代過程在附近局部收斂定理1：設，在的某個鄰域內連續(xù)，并且，則對任何，由迭代決定的序列收斂于定理2：條件同定理 1，則定理3：已知

39、方程，且(1) 對任意的，有(2) 對任意的，有，則對任意的，迭代生成的序列收斂于的根，且以上給出的收斂定理中的條件要嚴格驗證都較困難，實用時常用以下不嚴格的標準：當根區(qū)間較小，且對某一，明顯小于1時，則迭代收斂 (參見附錄3) 2) 迭代法的加速：a) 松弛法：若與同是的近似值，則是兩個近似值的加權平均，其中稱為權重，現(xiàn)通過確定看能否得到加速 迭代方程是：其中，令，試確定：當時，有，即當，時，可望獲得較好的加速效果，于是有松弛法：，松弛法的加速效果是明顯的 (見附錄4)，甚至不收斂的迭代函數經加速后也能獲得收斂 b) Altken方法：松弛法要先計算，在使用中有

40、時不方便，為此發(fā)展出以下的 Altken 公式：，是它的根，是其近似根設，因為，用差商近似代替，有 ，解出，得由此得出公式 ；，這就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明顯的，它同樣可使不收斂的迭代格式獲得收斂(見附錄5) 3. 牛頓(Newton)法（牛頓切線法）1) 牛頓法的基本思想：是非線性方程，一般較難解決，多采用線性化方法記：是一次多項式，用作為的近似方程的解為   記為，一般地，記   即為牛頓法公式.2) 牛頓法的收斂速度：對牛頓法，迭代形式為：注意分子上的，所以當時，牛頓法至少是二階收斂的，而在重根附近

41、，牛頓法是線性收斂的牛頓法的缺點是：(1)對重根收斂很慢；(2)對初值要求較嚴，要求相當接近真值因此，常用其他方法確定初值，再用牛頓法提高精度 4. 求方程根(解)的其它方法(1) solve('x3-3*x+1=0')(2) roots(1 0 -3 1)(3) fzero('x3-3*x+1', -2)(4) fzero('x3-3*x+1', 0.5)(5) fzero('x3-3*x+1', 1.4)(6) linsolve(1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 0, 1, 2, 3')體會一下，(2)(5) 用了上述 13 中的哪一種方法？ 以下是本實驗中的幾個具體的實驗，詳細的程序清單參見附錄 具體實驗1：對分法先作圖觀察方程：的實根的分布區(qū)間，再利用對分法在這些區(qū)間上分別求出根的近似值輸入以下命令，可得的圖象：f='x3-3*x+1' g='0' ezplot(f,  -4,  4); hold on; ezplot(g,  -4,  4);