將數(shù)學(xué)與藝術(shù)結(jié)合的丟勒

1、丟勒的數(shù)學(xué)與藝術(shù)把數(shù)學(xué)與藝術(shù)聯(lián)系起來(lái)可能在很多人看來(lái)是天方夜譚?？墒菐缀?、代數(shù)、為何計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)世界都為藝術(shù)家們提供了研究、提高、簡(jiǎn)化和完善他們的工具。多少世紀(jì)以來(lái)，藝術(shù)家和他們的工作都由于了解和利用數(shù)學(xué)而受到過(guò)影響。其中有一位就是我們熟悉的大師丟勒。他覺(jué)得研究數(shù)學(xué)使藝術(shù)獲得提高，他還把他所用的數(shù)學(xué)寫(xiě)成了書(shū)，他將數(shù)學(xué)與藝術(shù)結(jié)合起來(lái)了。數(shù)學(xué) 透視 藝術(shù)數(shù)學(xué)思想是想象力的虛構(gòu)物。數(shù)學(xué)的想法存在于另一世界中，數(shù)學(xué)的對(duì)象是由純邏輯和創(chuàng)造力產(chǎn)生的，而我們的世界所具體有的只是數(shù)學(xué)對(duì)象的代表物而已。所以，數(shù)學(xué)與藝術(shù)粗看起來(lái)是風(fēng)馬牛不相及的事，然而數(shù)學(xué)與藝術(shù)都是美麗的，而且是有內(nèi)在聯(lián)系的，數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家羅素說(shuō)

2、，“數(shù)學(xué)，從正確的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，它不僅是真理，而且是至上的美麗一種嚴(yán)峻的美，雕刻的美，沒(méi)有向弱點(diǎn)做任何的遷就；沒(méi)有音樂(lè)和繪畫(huà)那樣的裝飾，而是令人驚異的純真，具有最偉大的藝術(shù)品所顯示的完美，”而藝術(shù)以美的形象、美好的事物、高雅的音律來(lái)激發(fā)人們的情感，陶冶我們的情操。它們之間純?cè)谥顒e，也有著聯(lián)系。使得數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間存在著一種關(guān)系數(shù)學(xué)抽象的思辨，嚴(yán)密的推理，邏輯的論證，精確的計(jì)算，總攬全局而又步步為營(yíng)的思維方式，構(gòu)造起號(hào)稱(chēng)為“思維的體操”的數(shù)學(xué)大廈。藝術(shù)：對(duì)哲學(xué)思想的變遷和藝術(shù)家們對(duì)多變的技術(shù)環(huán)境的反應(yīng)的最直接的表現(xiàn)形式。是浮想聯(lián)翩，瀟灑不羈，蔑視規(guī)律，跳躍的思維律動(dòng)，彌漫出若即若離的藝術(shù)圖景。數(shù)學(xué)與

3、藝術(shù)有什么關(guān)系很多人都會(huì)覺(jué)得應(yīng)該是沒(méi)有的，但是，仔細(xì)考察人類(lèi)歷史和現(xiàn)實(shí)，我們不難發(fā)現(xiàn)，幾乎人類(lèi)的一切學(xué)科領(lǐng)域都或多或少用到數(shù)學(xué)，藝術(shù)也不例外。一個(gè)著名的藝術(shù)家丟勒為我們展現(xiàn)藝術(shù)與數(shù)學(xué)的關(guān)系。一、丟勒簡(jiǎn)介作為一個(gè)文藝復(fù)興時(shí)期的人，丟勒相信藝術(shù)家必須要深入觀(guān)察自然和竭力發(fā)現(xiàn)宇宙的秘密，以揭示和阿爾布雷希特·丟勒（14711528）是一位多才多藝的藝術(shù)家。丟勒的父親有18個(gè)孩子，他希望其中繼承他的金匠職業(yè)的將是阿爾布雷希特。結(jié)果丟勒就成了邁爾克·沃爾杰默特的學(xué)徒，恰巧此人也是一位藝術(shù)家。丟勒當(dāng)了三年學(xué)徒后，遍游歐洲，遍工作邊學(xué)習(xí)繪畫(huà)、雕刻、印刷和木刻，所有這些都影響著他一生的工作

4、。他覺(jué)得研究數(shù)學(xué)使藝術(shù)獲得提高，特別是幾何、透視和一些射影幾何概念。他對(duì)人體比例也做了大量工作。此外，他還把他所用的數(shù)學(xué)寫(xiě)成了書(shū)。他在數(shù)學(xué)方面的有些工作是原創(chuàng)而精確的，而其他工作和一些幾何結(jié)構(gòu)則是近似的，僅為他的藝術(shù)需要服務(wù)而已。他在這方面發(fā)展出一些有助于藝術(shù)家門(mén)采用透視畫(huà)法的機(jī)械工具。二、透視的數(shù)學(xué)原理構(gòu)圖他在意大利旅行時(shí)曾學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和透視；1506年，他在威尼斯購(gòu)買(mǎi)了歐幾里得的幾何原本，在波倫亞學(xué)習(xí)透視藝術(shù)（很可能是向帕西沃里學(xué)的）?；氐聡?guó)后，丟勒于1525年以德文出版尺規(guī)測(cè)量藝術(shù)引論，論述介紹線(xiàn)性幾何、平面圖形、立體圖形的有關(guān)命題以及透視理論。他所從事的工作具有的數(shù)學(xué)色彩對(duì)他的藝術(shù)和其他創(chuàng)

5、作的幫做是無(wú)法計(jì)量的。并且，他認(rèn)為，創(chuàng)作一幅畫(huà)時(shí)，應(yīng)依據(jù)透視的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行構(gòu)圖。例如丟勒的圣徒杰羅姆在書(shū)房，在這幅畫(huà)中就運(yùn)用了透視的數(shù)學(xué)原理：平行的直線(xiàn)在像平面的投影交于一點(diǎn)。所有的繪畫(huà)當(dāng)中都會(huì)用到透視的原理，這說(shuō)明了透視是繪畫(huà)的基礎(chǔ)，由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)在藝術(shù)中的運(yùn)用的重要性。三、比例研究丟勒的畫(huà)告訴我們，藝術(shù)的創(chuàng)作也是與數(shù)學(xué)分不開(kāi)的。在繪畫(huà)中，人是非常重要的一個(gè)創(chuàng)作考慮的元素。由此丟勒開(kāi)始了對(duì)人體比例的研究。丟勒是一位幾何學(xué)家。他尋求將人體的形狀歸結(jié)為數(shù)學(xué)原理，這在他的數(shù)以百計(jì)的素描中得到證明。他的這些比例說(shuō)明，他企圖用科學(xué)的方法來(lái)人體。而在今天，我們可以清楚的認(rèn)識(shí)到人體結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)關(guān)系。人體結(jié)構(gòu)

6、中有許多的比例關(guān)系都接近0.618，近年來(lái)在研究黃金分割與人體關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)了人體結(jié)構(gòu)中的14個(gè)“黃金點(diǎn)”（物體短段與長(zhǎng)段之比值為 0.618），12個(gè)“黃金矩形”（寬與長(zhǎng)比值為 0.618的長(zhǎng)方形）和2個(gè)“黃金指數(shù)”（兩物體間的比例關(guān)系為 0.618）。 黃金點(diǎn)：(1)肚臍：頭頂足底之分割點(diǎn)；(2)咽喉：頭頂肚臍之分割點(diǎn)；(3)、(4)膝關(guān)節(jié)：肚臍足底之分割點(diǎn)；(5)、(6)肘關(guān)節(jié)：肩關(guān)節(jié)中指尖之分割點(diǎn)；(7)、(8)乳頭：軀干乳頭縱軸上這分割點(diǎn)；(9)眉間點(diǎn)：發(fā)際頦底間距上1/3與中下2/3之分割點(diǎn)；(10)鼻下點(diǎn)：發(fā)際頦底間距下1/3與上中2/3之分

7、割點(diǎn)；(11)唇珠點(diǎn)：鼻底頦底間距上1/3與中下2/3之分割點(diǎn)；(12)頦唇溝正路點(diǎn)：鼻底頦底間距下1/3與上中2/3之分割點(diǎn)；(13)左口角點(diǎn)：口裂水平線(xiàn)左1/3與右2/3之分割點(diǎn)；(14) 右口角點(diǎn)：口裂水平線(xiàn)右1/3與左2/3之分割點(diǎn)。 面部黃金分割律 面部三庭五眼 黃金矩形：(1)軀體輪廓：肩寬與臀寬的平均數(shù)為寬，肩峰至臀底的高度為長(zhǎng)；(2)面部輪廓：眼水平線(xiàn)的面寬為寬，發(fā)際至頦底間距為長(zhǎng)；(3)鼻部輪廓：鼻翼為寬，鼻根至鼻底間距為長(zhǎng)；(4)唇部輪廓：靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)上下唇峰間距為寬，口角間距為長(zhǎng)；(5)、(6)手部輪廓：手的橫徑為寬，五指并攏時(shí)取平均

8、數(shù)為長(zhǎng)；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上頜切牙、側(cè)切牙、尖牙（左右各三個(gè)）輪廓：最大的近遠(yuǎn)中徑為寬，齒齦徑為長(zhǎng)。在人體中有各種黃金指數(shù)：(1)反映鼻口關(guān)系的鼻唇指數(shù)：鼻翼寬與口角間距之比近似黃金數(shù)；(2)反映眼口關(guān)系的目唇指數(shù)：口角間距與兩眼外眥間距之比近似黃金數(shù)。不僅人體有著比例關(guān)系，其他的自然的事物也有著大自然所賦予的最美的比例。丟勒曾經(jīng)研究過(guò)畫(huà)馬的比例問(wèn)題。比如在1505 年創(chuàng)作小馬的時(shí)候，丟勒就仔細(xì)研究了畫(huà)馬的時(shí)候采用什么樣的比例最好，小馬中的那匹馬就有著精確的比例塑造。四、透視畫(huà)法的機(jī)械工具既然在藝術(shù)創(chuàng)作中可以用到數(shù)學(xué)理論，可以看出藝術(shù)與數(shù)學(xué)的關(guān)系，那么我們是不

9、是可以用數(shù)學(xué)的儀器來(lái)畫(huà)圖，來(lái)進(jìn)行藝術(shù)創(chuàng)作呢？丟勒就設(shè)計(jì)了三種橢圓作圖儀器，圖左所示齒輪儀器用于畫(huà)螺線(xiàn)和擺線(xiàn)；圖右所示儀器用于畫(huà)橢圓。丟勒的畫(huà)家手稿（The Painters Manual）（1538）中創(chuàng)造了許多德文數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，如稱(chēng)橢圓為Eierlinie（蛋形線(xiàn)），稱(chēng)雙曲線(xiàn)為Gabellinie（叉形線(xiàn)）。他稱(chēng)拋物線(xiàn)為Brennlinie，指的拋物鏡的燃燒性質(zhì)。五、用機(jī)械方法作透視畫(huà)文藝復(fù)興時(shí)期的畫(huà)家們用現(xiàn)實(shí)主義手法將三維空間表現(xiàn)在二維的畫(huà)布上；他們的研究導(dǎo)致了攝影幾何學(xué)的復(fù)興。下圖是丟勒引論中的木刻畫(huà)，說(shuō)明他發(fā)明的用以將三維物體轉(zhuǎn)化為二維畫(huà)的儀器：一位畫(huà)家坐在他的畫(huà)布前，畫(huà)布裝在用鉸鏈固定在

10、桌面上一個(gè)垂直的框架上。桌上放置一把琵琶。他的助手將畫(huà)布轉(zhuǎn)到一邊，并將線(xiàn)的自由端固定在琵琶的某個(gè)部位；畫(huà)家順著線(xiàn)觀(guān)看。線(xiàn)經(jīng)過(guò)框架上的某一點(diǎn)，畫(huà)家用水平和垂直的兩根線(xiàn)來(lái)固定它。然后松開(kāi)直線(xiàn)移到琵琶的另一個(gè)部位，重復(fù)前面的程序。這樣，畫(huà)家漸漸獲得了琵琶輪廓的精確透視圖。例如丟勒在引論中用機(jī)械方法作透視畫(huà)。用機(jī)械方法作透視畫(huà)就表明藝術(shù)創(chuàng)作不僅僅是指表現(xiàn)在用純手工畫(huà)，也可以借助其他的外在的東西來(lái)畫(huà)。而丟勒運(yùn)用的機(jī)械方法則表明了數(shù)學(xué)的儀器在藝術(shù)創(chuàng)作中的直接運(yùn)用。六、丟勒的數(shù)學(xué)探究（1）多面體的平面展開(kāi)除了發(fā)展出許多創(chuàng)新技術(shù)以外，丟勒的聲譽(yù)還由于他以非集中的形式把立體描繪在平面上。這里是丟勒對(duì)一個(gè)這樣的立

11、體的描繪，一個(gè)立體的八面體在經(jīng)過(guò)切割和集中后形成一個(gè)平面展開(kāi)圖。（2）丟勒的圓錐曲線(xiàn)阿爾布雷希特·丟勒所作的這幅圖表明他對(duì)圓錐曲線(xiàn)的解釋。他的橢圓略帶蛋形，這意味著或者他相信截割圓錐的平面的傾角使橢圓在上端稍狹，或者他在計(jì)算時(shí)稍有錯(cuò)誤。不管如何，看看他對(duì)橢圓的研究是有趣的。（3）最初的像素他利用這些基本構(gòu)件使哥特體字母的構(gòu)造系統(tǒng)化有些像在計(jì)算機(jī)的監(jiān)視器上利用像素作為構(gòu)件來(lái)形成字母那樣。（像素是圖像元素的縮略語(yǔ)。它是計(jì)算機(jī)監(jiān)視器上比特的視覺(jué)表示。比特代表二進(jìn)制數(shù)字，它是計(jì)算機(jī)所能擁有的最小信息單位。比特的值對(duì)應(yīng)于數(shù)字。）提出地形描繪的概念，可以說(shuō)是丟勒的一項(xiàng)功績(jī)。在他的一本書(shū)里，他說(shuō)明

12、了羅馬字母的幾何結(jié)構(gòu)。他為哥特體字母設(shè)計(jì)出了他自己的數(shù)學(xué)方法，即以正方形、三角形、梯形和/或平行四邊形的組合作成每一字母。七、丟勒作品憂(yōu)郁美術(shù)史上，恐怕很少有畫(huà)作像德國(guó)畫(huà)家丟勒的憂(yōu)郁那樣被視為難解之迷令后人猜測(cè)不已。憂(yōu)郁的構(gòu)圖元素十分豐富：在一間不知是書(shū)齋還是作坊的小木屋外，高大健壯的生翼女子手持圓規(guī)，托腮苦思，身旁發(fā)呆的愛(ài)神，打盹兒的狗，散落的工具天秤、沙漏、鋸子、刨子、圓球、多面體、木梯林林總總，屋墻上那幅四階幻方是數(shù)學(xué)史上著名的“丟勒幻方”，最下一行中間兩格標(biāo)著1514，是丟勒母親去世的年份。這個(gè)憂(yōu)郁的女子是誰(shuí)？所有的一切，寓意何在？在流傳于世的研究材料中，沒(méi)有留下畫(huà)家只言片語(yǔ)的解釋。套

13、用“一千個(gè)人眼中有一千個(gè)哈姆雷特”這句話(huà)，憂(yōu)郁在觀(guān)賞者的眼中，怕也有一千鐘圖解吧。在占星家看來(lái)，畫(huà)中的天秤代表了木星的天秤星座，“暗示著木星會(huì)成為崇高探討的保護(hù)者”。 畫(huà)家從憂(yōu)郁中看到了“銅版畫(huà)對(duì)透視技法完美的表達(dá)”。在數(shù)學(xué)家眼中，畫(huà)面中的丟勒幻方和那些復(fù)雜的多面體、球體，代表著神秘的數(shù)學(xué)世界。        憂(yōu)郁中的多面體的表面似乎由兩個(gè)等邊三角形和六個(gè)不規(guī)則的多邊形構(gòu)成。有人據(jù)此還猜想：丟勒不是根據(jù)模型，而是根據(jù)一個(gè)大的方解石晶體來(lái)畫(huà)多面體的。還有人. 進(jìn)一步認(rèn)為，如果上述猜想是對(duì)的，那么晶體學(xué)歷史應(yīng)該向前推大約100年

14、。 丟勒構(gòu)造的歷史上第一個(gè)分形丟勒幻方憂(yōu)郁中的幻方有以下性質(zhì)：(1) 每行、每列和每條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)字之和為34(2) 關(guān)于兩對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意兩數(shù)的和為17；(3) 每一象限（I、II、III、IV）的數(shù)字之和為34；(4) I、III象限的上行數(shù)字之和相等，且等于II、IV象限的下行數(shù)字之和；I、III象限下行數(shù)字之和相等，且等于II、IV象限的上行數(shù)字之和。(5) I、III象限的右列數(shù)字之和相等，且等于II、IV象限的左列數(shù)字之和；I、III象限左列數(shù)字之和相等，且等于II、IV象限的右列數(shù)字之和。八、量度四書(shū)丟勒在藝術(shù)上的成就也造就了他在數(shù)學(xué)上的發(fā)展。丟勒關(guān)于幾何學(xué)的著作名叫量度四書(shū)

15、（德語(yǔ)書(shū)名叫Underweysung der Messungmit dem Zirckel und Richtscheyt，英文書(shū)名可譯為使用圓規(guī)直尺的量度指南或者也被稱(chēng)為量度藝術(shù)教程。）其中，第一部書(shū)集中研究線(xiàn)形幾何學(xué)。丟勒的幾何結(jié)構(gòu)包括螺旋線(xiàn)、蚌線(xiàn)和圓外旋輪線(xiàn)。他也吸收了阿波羅尼和約翰尼斯·維爾納1522年出版的'Libellus super viginti duobus elementis conicis'（德語(yǔ)）一書(shū)的內(nèi)容（這部書(shū)比丟勒的量度四書(shū)早三年出版。）第二部書(shū)進(jìn)行二維幾何，即正多邊形結(jié)構(gòu)的研究。在這部書(shū)里丟勒偏愛(ài)托勒密的方法超過(guò)歐幾里德的方法。第三部書(shū)

16、把這些幾何學(xué)原理應(yīng)用到建筑學(xué)、工程學(xué)和版式編排設(shè)計(jì)之中。關(guān)于建筑的部分，丟勒引用到了“維特魯威”但也詳細(xì)闡述了他自己的經(jīng)典設(shè)計(jì)和柱式。在編排設(shè)計(jì)部分，丟勒依據(jù)意大利范例描繪了拉丁字母的幾何結(jié)構(gòu)。然而，他的哥特字母結(jié)構(gòu)是基于完全不同的模塊式體系。第四部書(shū)結(jié)束了第一、第二系列而進(jìn)行三維結(jié)構(gòu)和多面體結(jié)構(gòu)的研究。其中丟勒討論了五面體和阿基米德半規(guī)則七面體，以及他自己的一些發(fā)明。在所有的這些內(nèi)容中，丟勒用網(wǎng)格的方式表現(xiàn)這些實(shí)體。最后，丟勒討論了倍立方問(wèn)題，進(jìn)而還討論了“construzione legittima” （德語(yǔ)），一種通過(guò)直線(xiàn)透視法描繪一個(gè)立方體的方法。在博洛尼亞丟勒被傳授了（可能向盧卡·帕西奧理或者布拉曼特學(xué)習(xí)的）直線(xiàn)透視法原理，而且，這時(shí)，在一本未出版的皮耶羅·德拉·弗朗西斯卡的專(zhuān)著中，唯一一份被找到的關(guān)于這些原理的文字說(shuō)明中，丟勒顯然對(duì)于這種運(yùn)用直線(xiàn)透視描繪立方體的方法已經(jīng)很精通了。他也熟悉了阿爾貝蒂所描述的“簡(jiǎn)略結(jié)構(gòu)”，和投影幾何結(jié)構(gòu)，達(dá)·芬奇的一種技術(shù)。盡管丟勒在這些領(lǐng)域中并沒(méi)有革新，但他作為北歐地區(qū)，第一位運(yùn)用科學(xué)方法，并運(yùn)用對(duì)歐幾里德幾何學(xué)原理的認(rèn)識(shí)，論述視覺(jué)表現(xiàn)問(wèn)題的人來(lái)說(shuō)，是顯著的。除了這些幾