多面體外接球

1、6求多面體的外接球半徑一般需確定球心的位置；長方體（正方體）的對(duì)角線是其外接球的直徑；將多面體“補(bǔ)”成長方體（正方體）是研究多面體外接球的常用的辦法。舉例1 三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，若PA=AC=，則該三棱錐的外接球的體積是 。解析：思路一：“找球心”（到三棱錐ACPBABCP四個(gè)頂點(diǎn)距離相等等的點(diǎn)）。注意到PC是RtPAC和RtPBC的公共的斜邊，記它的中點(diǎn)為O，則OA=OB=OP=OC=PC=1，即該三棱錐的外接球球心為O，半徑為1，故它的體積為：ABCDPOO1方法二：“補(bǔ)體”，將三棱錐補(bǔ)成長方體，如圖所示；它的對(duì)角線PC是其外接球的直徑。舉例2正四棱錐P-ABCD

2、的五個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，若該正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為，則這個(gè)球的表面積為 。解析：正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，PO=AO=R，PO1=4，OO1=R-4，或OO1=4-R（此時(shí)O在PO1的延長線上），在RtAO1O中，R2=8+(R-4)2得R=3，球的表面積S=36鞏固1 如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4和3，那么它的外接球的體積是 。鞏固2 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是：（ ） （07高考陜西理6） （A） (B) (C) (D) 遷移點(diǎn)P在直徑為2的球面上

3、，過P兩兩垂直的3條弦，若其中一條弦長是另一條的2倍，則這3條弦長之和的最大值是 。8球的內(nèi)接正多面體和外切正多面體的中心均為球心。球的內(nèi)接長方體的體對(duì)角線是球的直徑，球的外切正方體的邊長是球的直徑，與邊長為a的正方體各條棱都相切的球的直徑為a；邊長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為（正四面體高的），外接球的半徑為。舉例已知棱長為a的正四面體ABCD有內(nèi)切球O，經(jīng)過該棱錐A-BCD三側(cè)棱中點(diǎn)的截面為，則O到平面的距離為 。解析：記棱錐A-BCD的高為AO1，O在AO1上且OO1=AO1；AO1與面交于M，則MO1=AO1，故MO= OO1=AO1=1鞏固1P在面ABC上的射影為O，則OA=OB=O

4、C=OP=R，=10，故選B；鞏固2；2、鞏固450；3、鞏固11：2；鞏固2B；4、鞏固；5、鞏固3：16；6、鞏固1 ，鞏固2C， 遷移 設(shè)三條弦長分別為x,2x,y,則：x2+(2x)2+y2=4,用橢圓的參數(shù)方程求3x+y的最大值為；7、鞏固 B；8、鞏固 C四面體外接球的球心、半徑求法 在立體幾何中，幾何體外接球是一個(gè)常考的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生來說這是一個(gè)難點(diǎn)，一方面圖形不會(huì)畫，另一方面在畫出圖形的情況下無從下手，不知道球心在什么位置，半徑是多少而無法解題。本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。1、 出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出

5、發(fā)的三條棱長分別為，則體對(duì)角線長為，幾何體的外接球直徑為體對(duì)角線長 即【例題】：在四面體中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長度分別為，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。解：因?yàn)椋洪L方體外接球的直徑為長方體的體對(duì)角線長所以：四面體外接球的直徑為的長即： 所以球的表面積為2、 出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論。【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)?！纠}】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，,求球的體積。解：且，, 因?yàn)?所以知所以 所以可得圖形為：在中斜邊為在中斜邊為取斜邊的中點(diǎn)，在中在中所以在幾何體中，即為該四面體的外接球的球心 所以該外接

6、球的體積為【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。3、 出現(xiàn)多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解【例題】：已知在三棱錐中，求該棱錐的外接球半徑。解：由已知建立空間直角坐標(biāo)系 由平面知識(shí)得 設(shè)球心坐標(biāo)為 則,由空間兩點(diǎn)間距離公式知 解得 所以半徑為【結(jié)論】：空間兩點(diǎn)間距離公式：4、 四面體是正四面體 外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個(gè)點(diǎn)， 根據(jù)勾股定理知，假設(shè)正四面體的邊長為時(shí)，它的外接球半徑為。5(2012·唐山模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為()A. B.C4 D2解析根據(jù)三視圖還原幾何體

7、為一個(gè)如圖所示的三棱錐DABC，其中平面ADC平面ABC，ADC為等邊三角形取AC的中點(diǎn)為E，連接DE、BE，則有DEAC，所以DE平面ABC，所以DEEB.由圖中數(shù)據(jù)知AEECEB1，DE，AD2DCDB，ABBC，AC2.設(shè)此三棱錐的外接球的球心為O，則它落在高線DE上，連接OA，則有AO2AE2OE21OE2，AOBODEOEOE，所以AO，故球O的半徑為，故所求幾何體的外接球的表面積S4()2，故選B.答案B2012·廣州模擬一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個(gè)球的體積為_答案：解析：正六棱柱的側(cè)棱長h，球心在六棱柱的最長體對(duì)角線上，球的直徑、正棱柱的側(cè)棱、底面正六邊形的最長對(duì)角線構(gòu)成直角三角形，2R2，R1，V球××13.3. 2012·南昌模擬如圖為一個(gè)幾何體的三視