212向量的幾何表示

1、2.1.2向量的幾何表示自主預(yù)習(xí)探新知i. 向量與數(shù)量向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.(2) 數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量.2. 向量的幾何表示(1) 帶有方向的線段叫做有向線段.它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度(2) 向量可以用有向線段表示.向量 AB的大小，也就是向量 AB的長(zhǎng)度(或稱模)，記作.向量也可以用字母a, b, c,表示，或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，例如，AB，CD.思考：(1)向量可以比較大小嗎？(2) 有向線段就是向量嗎？提示(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.(2) 有向線段只是表示向量的一個(gè)圖形工具，它不是向量.3. 向量的有關(guān)

2、概念零向量長(zhǎng)度為0的向量，記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，記作心小規(guī)疋：零向量與任一向量平行相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 向量a與b相等，記作a= b基礎(chǔ)自測(cè)1. 思考辨析(1) 零向量沒(méi)有方向.()(2) 向量AB的長(zhǎng)度和向量BA的模相等.()單位向量都平行.()(4)零向量與任意向量都平行.()解析錯(cuò)誤.零向量的方向是任意的.正確.(3)錯(cuò)誤.單位向量的方 向不一定相同或相反，所以不一定平行.(4)正確.答案X V (3)x V2. 有下列物理量：質(zhì)量；溫度；角度；彈力；風(fēng)速.其中可以看成是向量的有()A. 1個(gè)B . 2

3、個(gè)C. 3個(gè)D . 4個(gè)B 不是向量，是向量.3. 如圖2-1-1,四邊形ABCD是平行四邊形，則圖中相等的向量是 填序號(hào)).(1) AD與BC； (2)OB與0D ；(3) AC與BD ； (4)A0與0C.(1)由平行四邊形的性質(zhì)和相等向量的定義可知:aD= BC, Obm0DACMBD, A0= OC.合作探究攻重難|AX1JJ向量的有關(guān)概念例判斷下列命題是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由:(1) 若向量a與b同向，且|a|>|b|,貝U a>b；(2) 若向量|a| = |b|,則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；(3) 對(duì)于任意向量|a|=|b|,若a與b的方向相同，貝U a= b;(

4、4) 由于 0方向不確定，故 0 不與任意向量平行；(5) 向量a與向量b平行，貝U向量a與b方向相同或相反.思路探究 解答本題應(yīng)根據(jù)向量的有關(guān)概念,注意向量的大小、方向兩個(gè) 要素解 ( 1 )不正確因?yàn)橄蛄坑蓛蓚€(gè)因素來(lái)確定，即大小和方向，所以兩個(gè)向 量不能比較大小(2) 不正確由|a|=|b|只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，不能確定它們的方向關(guān)系.(3) 正確因?yàn)閨a|=|b|，且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得 a= b.(4) 不正確依據(jù)規(guī)定： 0與任意向量平行(5) 不正確因?yàn)橄蛄?a 與向量 b 若有一個(gè)是零向量，貝其方向不定規(guī)律方法 1.理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問(wèn)題(1) 零向量的

5、方向是任意的，所有的零向量都相等(2) 單位向量不一定相等，易忽略向量的方向 2共線向量與平行向量(1) 平行向量也稱為共線向量，兩個(gè)概念沒(méi)有區(qū)別；(2) 共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同；(3) 平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同 提醒：解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心 方向和長(zhǎng)度跟蹤訓(xùn)練 1 給出下列命題： 若 a / b, b/ c，貝U a / c. 若單位向量的起點(diǎn)相同，貝U終點(diǎn)相同. 起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量； 向量AdB與CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在同一直線上.其中正確命題的序號(hào)是 . 錯(cuò)誤.若b= 0,則

6、不成立; 錯(cuò)誤.起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)未必相同； 正確對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動(dòng)的. 錯(cuò)誤.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并不要求兩個(gè)向量AB, CD必須在同一直線上.一一J向量的表示及應(yīng)用卜例如圖2-1-2, B, C是線段AD的三等分點(diǎn),分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，可以寫(xiě)出向量.圖 2-1-2(2)在如圖2-1-3所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1),用直尺和圓規(guī)畫(huà)出圖 2-1-3 0A,使|0A|= 4 .2,點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45° aB,使|AB|= 4,點(diǎn)B在點(diǎn)A正東； BC,使BC匸6,點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°【導(dǎo)學(xué)號(hào)：8

7、4352172】(1)12 (1)可以寫(xiě)出 12 個(gè)向量，分別是：AB, AC, AD, BC, BD, CD,BA, CA, DA, CB, DB, DC(2)由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又|OA匸4,2，小方格邊長(zhǎng)為1,所以點(diǎn)A距點(diǎn)O 的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為 4,于是點(diǎn)A位置可以確定，畫(huà)出向量OA如 圖所示.由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且 AB匸4,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點(diǎn)B位置可以確定，畫(huà)出向量AB如 圖所示.由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且|BC|= 6,

8、依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙 上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為3.3" 5.2,于是點(diǎn)C位置 可以確定，畫(huà)出向量BC如圖所示.規(guī)律方法1.向量的兩種表示方法：(1) 幾何表示法：先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的 長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn).(2) 字母表示法：為了便于運(yùn)算可用字母 a, b, c表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)，可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)表示向量，如AB, CD,eF等.2. 兩種向量表示方法的作用：(1) 用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運(yùn)算，為用向量處理幾何冋題打下了基礎(chǔ).(2) 用字母表示法表示向量，便于向量的運(yùn)算.跟

9、蹤訓(xùn)練2 .某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了 5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向按東北方向走了10 .2米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了 10米到達(dá)D點(diǎn).(1)作出向量AB, BC, CD;求AD的模.解(1)作出向量AB, BC, CD,如圖所示:(2)由題意得， BCD是直角三角形，其中/ BDC = 90° BC= 12米，CD =10米，所以BD= 10米. ABD是直角三角形，其中/ABD= 90° AB= 5米， BD= 10 米，所以 AD= 52+ 102 = 5 5(米)，所以 |AD匸5 5米.尋找相等向量和共線向量探究問(wèn)題1. 兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是否

10、都分別重合？提示：不一定.因?yàn)橄蛄慷际亲杂上蛄浚灰笮∠嗟?，方向相同就是相?向量，與起點(diǎn)和終點(diǎn)位置無(wú)關(guān).2. 若AB/CD，則從直線AB與直線CD的關(guān)系和AB與CD的方向關(guān)系兩個(gè) 方面考慮有哪些情況？提示：分四種情況直線AB和直線CD重合，AB與 CD同向;(2) 直線AB和直線CD重合，AB與CD反向;(3) 直線AB /直線CD，AB與CD同向；(4) 直線AB /直線CD，AB與CD反向.例如圖2-1-4，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為3的正方形，把各邊三等分后, 共有16個(gè)交點(diǎn)，從中選取兩個(gè)交點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則與 AC平行且長(zhǎng)度為2 2的向量有哪些？(在圖中標(biāo)出相關(guān)字母，寫(xiě)出這些向

11、量)【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352173】圖 2-1-4思路探究所求向量有以下兩個(gè)特征：(1)表示此向量的有向線段所在直線 與AC平行或重合.(2)長(zhǎng)度是邊長(zhǎng)為2的正方形的對(duì)角線.8 如圖所示，滿足與AC平行且長(zhǎng)度為2 2的向量有AF, RA, EC, CE, (3H，HG,訂,JI共8個(gè).A C R母題探究：1.本例中，與向量AC同向且長(zhǎng)度為2 2的向量有幾個(gè)?解與向量AC同向且長(zhǎng)度為2 2的向量占與向量AC平行且長(zhǎng)度為2 2的 向量中的一半，共4個(gè).2本例中，如圖2-1-5，與向量A0相等的向量有多少個(gè)?c70/與向量A0方圖 2-1-5解圖中每個(gè)小正方形的對(duì)角線所在的向量中, 向相同的向量與其相等

12、，共有8個(gè).規(guī)律方法相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確 定哪些是同向共線.(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再 構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起 點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.提醒：與向量平行相關(guān)的問(wèn)題中，不要忽視零向量.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基1. 下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()(1) 溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；(2) 向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；(3) 向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；(4) 若 |a|>|b|,貝U a>b.B 錯(cuò)誤.溫度是數(shù)量不是向量；（2

13、）錯(cuò)誤.零向量的模為0.（3）正確.因 為零向量與任意向量共線；（4）錯(cuò)誤.向量不能比較大小.2. 設(shè)O是正方形ABCD的中心，則向量AO, BO, OC, OD是（）A .相等的向量C.有相同起點(diǎn)的向量B .平行的向量D .模相等的向量D 由正方形的性質(zhì)知 AO|=|BO|= |OC匸|OD|.3. 在下列判斷中，正確的是（ 長(zhǎng)度為0的向量都是零向量; 零向量的方向都是相同的； 單位向量的長(zhǎng)度都相等； 單位向量都是同方向； 任意向量與零向量都共線A .C.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352174】B .D .D 由定義知正確，由于零向量的方向是任意的，故兩個(gè)零向量的方向是否相同不確定，故不正確.顯然正確，不正確，故選D.4. 在下列命題中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共線向量一定相等；相等向量一定共線；長(zhǎng)度相等的向量是相等向量；平行于同一個(gè)非零向量的兩個(gè)向量是共線向量