2000-2017歷年考研數(shù)學(xué)一真題(答案+解析)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上歷年考研數(shù)學(xué)一真題1987-2017（答案+解析）（經(jīng)典珍藏版）最近三年+回顧過(guò)去最近三年篇（2015-2017）2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題 18小題每小題4分，共32分設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，其二階導(dǎo)數(shù)的圖形如右圖所示，則曲線(xiàn)在的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【詳解】對(duì)于連續(xù)函數(shù)的曲線(xiàn)而言，拐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于零或者不存在從圖上可以看出有兩個(gè)二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，以及一個(gè)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)但對(duì)于這三個(gè)點(diǎn)，左邊的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)都是正的，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不是拐點(diǎn)而另外兩個(gè)點(diǎn)的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)是異號(hào)的，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)才是拐點(diǎn)，

2、所以應(yīng)該選（C）2設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的一個(gè)特解，則 （A） （B）（C） （D）【詳解】線(xiàn)性微分方程的特征方程為，由特解可知一定是特征方程的一個(gè)實(shí)根如果不是特征方程的實(shí)根，則對(duì)應(yīng)于的特解的形式應(yīng)該為，其中應(yīng)該是一個(gè)零次多項(xiàng)式，即常數(shù)，與條件不符，所以也是特征方程的另外一個(gè)實(shí)根，這樣由韋達(dá)定理可得，同時(shí)是原來(lái)方程的一個(gè)解，代入可得應(yīng)該選（A）若級(jí)數(shù)條件收斂，則依次為級(jí)數(shù)的（）收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn) （）收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)(）發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn) （）發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【詳解】注意條件級(jí)數(shù)條件收斂等價(jià)于冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，也就是這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂為，即，所以的收斂半徑，絕對(duì)收斂域?yàn)?，顯然依次為收斂點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn)

3、，應(yīng)該選（B）設(shè)D是第一象限中由曲線(xiàn)與直線(xiàn)所圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在D上連續(xù)，則（ ） （）（）（）（）【詳解】積分區(qū)域如圖所示，化成極坐標(biāo)方程：也就是D：所以，所以應(yīng)該選（B）5設(shè)矩陣，若集合，則線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件是（A） （B）（C） （D）【詳解】對(duì)線(xiàn)性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：方程組無(wú)窮解的充分必要條件是，也就是同時(shí)成立，當(dāng)然應(yīng)該選（D）6設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若，則在下的標(biāo)準(zhǔn)形為（A） （B）（C） （D） 【詳解】，所以故選擇（A）7若為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】所以故選擇（C）8設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，且，則（

4、）（A） （B） （C） （D）【詳解】故應(yīng)該選擇（D）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿(mǎn)分24分. 把答案填在題中橫線(xiàn)上）9 【詳解】10 【詳解】只要注意為奇函數(shù)，在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上積分為零，所以11若函數(shù)是由方程確定，則 【詳解】設(shè)，則且當(dāng)時(shí)，所以也就得到12設(shè)是由平面和三個(gè)坐標(biāo)面圍成的空間區(qū)域，則 【詳解】注意在積分區(qū)域內(nèi)，三個(gè)變量具有輪換對(duì)稱(chēng)性，也就是13階行列式 【詳解】按照第一行展開(kāi)，得，有由于，得14設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則 【詳解】由于相關(guān)系數(shù)等于零，所以X，Y都服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立則三、解答題15（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)，在時(shí)為等價(jià)無(wú)窮小，求常數(shù)的取值【詳解】當(dāng)時(shí)

5、，把函數(shù)展開(kāi)到三階的馬克勞林公式，得由于當(dāng)時(shí)，是等價(jià)無(wú)窮小，則有，解得，16（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)在定義域上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意的，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達(dá)式【詳解】在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為令，得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)及軸所圍成區(qū)域的面積為整理，得，解方程，得，由于，得所求曲線(xiàn)方程為17（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)，曲線(xiàn)，求在曲線(xiàn)上的最大方向?qū)?shù)【詳解】顯然在處的梯度在處的最大方向?qū)?shù)的方向就是梯度方向，最大值為梯度的模所以此題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件下的條件極值用拉格朗日乘子法求解如下：令解方程組，得幾個(gè)可能的極值點(diǎn)，進(jìn)行比較，可得，在點(diǎn)或處，方向?qū)?shù)取到最大，為1

6、8（本題滿(mǎn)分10分）（1）設(shè)函數(shù)都可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明；（2）設(shè)函數(shù)都可導(dǎo)，寫(xiě)出的求導(dǎo)公式【詳解】（1）證明：設(shè)由導(dǎo)數(shù)的定義和可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（2）19（本題滿(mǎn)分10分）已知曲線(xiàn)L的方程為，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，計(jì)算曲線(xiàn)積分【詳解】曲線(xiàn)L的參數(shù)方程為起點(diǎn)對(duì)應(yīng)，終點(diǎn)為對(duì)應(yīng)20（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)向量組為向量空間的一組基，（1）證明：向量組為向量空間的一組基；（2）當(dāng)為何值時(shí)，存在非零向量，使得在基和基下的坐標(biāo)相同，并求出所有的非零向量【詳解】（1），因?yàn)?，且顯然線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，當(dāng)然是向量空間的一組基（2）設(shè)非零向量在兩組基下的坐標(biāo)都是，則由條件可整理得：，所以條件轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性方程組存在非零

7、解從而系數(shù)行列式應(yīng)該等于零，也就是由于顯然線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以，也就是此時(shí)方程組化為，由于線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以，通解為，其中為任意常數(shù)所以滿(mǎn)足條件的其中為任意不為零的常數(shù)21（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)矩陣相似于矩陣（1）求的值；（2）求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣【詳解】（1）因?yàn)閮蓚€(gè)矩陣相似，所以有，也就是（2）由，得A，B的特征值都為解方程組，得矩陣A的屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為；解方程組得矩陣A的屬于特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為令，則22（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為對(duì)X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè)，直到第2個(gè)大于3的觀測(cè)值出現(xiàn)時(shí)停止，記為次數(shù)求的分布函數(shù)；（1） 求的概率分布；（2） 求數(shù)學(xué)期望【詳解

8、】（1）X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè)，得到觀測(cè)值大于3的概率為顯然Y的可能取值為且（2）設(shè)23（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)總體的概率密度為其中為未知參數(shù)，是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單樣本（1）求參數(shù)的矩估計(jì)量；（2）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量【詳解】（1）總體的數(shù)學(xué)期望為令，解得參數(shù)的矩估計(jì)量：（2）似然函數(shù)為顯然是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，為了使似然函數(shù)達(dá)到最大，只要使盡可能大就可以，所以參數(shù)的最大似然估計(jì)量為2016年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選前的字母填在答題紙指定位置上。（1）若反常積分收斂，則（）。A.

9、且B. 且C. 且D. 且【答案】C【解析】，而當(dāng)時(shí)收斂，而此時(shí)不影響，而當(dāng)時(shí)收斂，此時(shí)不影響，因此選擇C.（2）已知函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)是（）。A. B. C. D. 【答案】D【解析】對(duì)函數(shù)做不定積分可得原函數(shù)，因此選擇D.（3）若是微分方程的兩個(gè)解，則=（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】將代入微分方程可得： 而將代入微分方程可得：將這兩個(gè)式子相加可得：兩個(gè)式子相減可得：因此可得故選擇A.（4）已知函數(shù)，則（）。A. 是的第一類(lèi)間斷點(diǎn)B. 是的第二類(lèi)間斷點(diǎn)C. 在處連續(xù)但不可導(dǎo)D. 在處可導(dǎo)【答案】D【解析】，因此在處連續(xù)，而，而，因此，而左右兩邊的極限均為1，因此，故在可導(dǎo)

10、，選擇D.（5）設(shè)是可逆矩陣，且與相似，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）。A. 與相似B. 與相似C. 與相似D. 與相似【答案】C【解析】因?yàn)榕c相似，因此存在可逆矩陣，使得，于是有：，即，因此，因此，而C選項(xiàng)中，不一定等于，故C不正確，選擇C.（6）設(shè)二次型，則在空間直角坐標(biāo)系下表示的二次曲面為（）。A.單葉雙曲面B.雙葉雙曲面C.橢球面D.柱面【答案】B【解析】二次型對(duì)應(yīng)的矩陣，根據(jù)可以求得特征值為，因此二次型的規(guī)范形為，故可得，即，因此對(duì)應(yīng)的曲面為雙葉雙曲面，選擇B.（7）設(shè)隨機(jī)變量，記，則（）。A. 隨著的增加而增加B. 隨著的增加而增加C. 隨著的增加而減少D. 隨著的增加而減少【答案】B【解

11、析】，因此選擇B，隨著的增加而增加.（8）隨機(jī)試驗(yàn)有三種兩兩不相容的結(jié)果，且三種結(jié)果發(fā)生的概率均為，將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)做2次，表示2次試驗(yàn)中結(jié)果發(fā)生的次數(shù)，表示2次試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)，則于的相關(guān)系數(shù)為（）。A.B.C.D.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，因此有，因此可得，故可得相關(guān)系數(shù)為：二、填空題，914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答疑紙指定位置上.（9）_.【答案】【解析】（10）向量場(chǎng)的旋度_.【答案】【解析】由旋度公式可得（11）設(shè)函數(shù)可微，由方程確定，則_.【答案】【解析】將兩邊分別關(guān)于求導(dǎo)可得：，。將代入原式可得，因此將代入關(guān)于求導(dǎo)的式子可得：，因此，代入關(guān)于求導(dǎo)的式子可得：，因

12、此有，故可得.（12）設(shè)函數(shù)，且，則_.【答案】【解析】根據(jù)，可得：，然后求二階導(dǎo)數(shù)為：此時(shí)（存疑）（13）行列式_.【答案】【解析】.（14）設(shè)為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值，參數(shù)的置信度為0.95的雙側(cè)知心區(qū)間的置信上限為10.8，則的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為_(kāi).【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，因此可得，故可得置信區(qū)間為.三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。（15）（本題滿(mǎn)分10分）已知平面區(qū)域，計(jì)算二重積分.【答案】【解析】（16）（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足方程，其中.（）證明：反常積分收斂；（）若，求的值

13、.【答案】（）；（）【解析】（）特征方程為，由可知，特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即且，因此二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的解為：，故可得因此收斂.（）由，可得：，解得代入可得（17）（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足，且，是從點(diǎn)到點(diǎn)的光滑曲線(xiàn)，計(jì)算曲線(xiàn)積分，并求的最小值.【答案】3【解析】根據(jù)可得：又故可知，因此所以， 設(shè)，則有因此，因此積分與路徑無(wú)關(guān)故因?yàn)?，所以，令可得而，因此，因此?dāng)有最小值為.（18）（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)有界區(qū)域由平面與三個(gè)坐標(biāo)平面圍成，為整個(gè)表面的外側(cè)，計(jì)算曲面積分.【答案】【解析】，令由高斯公式可知：（19）（本題滿(mǎn)分10分）已知函數(shù)可導(dǎo)，且.設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，證明：（）級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；（）

14、存在，且.【答案】利用絕對(duì)收斂定義證明即可?！窘馕觥浚ǎ┳C：，因此有顯然收斂，因此絕對(duì)收斂.（）記，因此得，因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，因此存在，因此存在，不妨設(shè)，由可得，兩邊取極限可得，即若，這與矛盾，若，與矛盾，因此可得，即.（20）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)矩陣.當(dāng)為何值時(shí)，方程無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解？在有解時(shí)，求解此方程.【答案】時(shí)，無(wú)解；時(shí)，有無(wú)窮多解，；且時(shí)，有唯一解，【解析】增廣矩陣為因此當(dāng)即且時(shí)，有唯一解；設(shè)，代入，解得當(dāng)代入設(shè)，因此可得，這兩個(gè)式子是矛盾的，因此方程組無(wú)解；當(dāng)代入，此時(shí)方程組有無(wú)窮多解，將代入可得，解得，不妨設(shè)為自由未知量，則可得（21）（本題滿(mǎn)分11分）已知矩陣（）求；（）

15、設(shè)3階矩陣滿(mǎn)足.記，將分別表示成的線(xiàn)性組合.【答案】（）（）【解析】（）利用相似對(duì)角化，由得到特征值為，當(dāng)時(shí)，代入中，求解方程組的解就是特征向量，即同理得到其他的兩個(gè)特征向量分別為：對(duì)應(yīng)的特征向量為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，設(shè)，則有，因此可得，根據(jù)矩陣可以求得其逆矩陣為因此有（），因此可得、，所以因此有（22）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布，令（）寫(xiě)出的概率密度；（）問(wèn)與是否相互獨(dú)立？并說(shuō)明理解；（）求的分布函數(shù).【答案】（）（）與不獨(dú)立，因?yàn)椋ǎ┑姆植己瘮?shù)為：【解析】（）區(qū)域的面積為，因此服從均勻分布，因此有（）與不獨(dú)立因此，故不獨(dú)立.（）因此可得（23）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)

16、總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，為總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，令.（）求的概率密度；（）確定，使得為的無(wú)偏估計(jì).【答案】（）的概率密度：（）【解析】（）根據(jù)題意，獨(dú)立同分布，因此可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此可得概率密度函數(shù)為：（），根據(jù)題意，如果為的無(wú)偏估計(jì)，則有，因此可得.2017年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。（1）若函數(shù)在連續(xù)，則（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由連續(xù)的定義可得，而，因此可得，故選擇A。（2）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，則（）。A

17、. B. C. D. 【答案】C【解析】令，則有，故單調(diào)遞增，則，即，即，故選擇C。（3）函數(shù)在點(diǎn)處沿向量的方向?qū)?shù)為（）。A.12B.6C.4D.2【答案】D【解析】，因此代入可得，則有。（4）甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開(kāi)始時(shí)，甲在乙前方10（單位：m）處，圖中，實(shí)線(xiàn)表示甲的速度曲線(xiàn)（單位：m/s），虛線(xiàn)表示乙的速度曲線(xiàn)，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10，20，3，計(jì)時(shí)開(kāi)始后乙追上甲的時(shí)刻記為（單位：s），則（）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】從0到時(shí)刻，甲乙的位移分別為與，由定積分的幾何意義可知，因此可知。（5）設(shè)為n維單位列向量，E為n維單位矩陣，則（）。A. 不可逆B. 不可逆C.

18、 不可逆D. 不可逆【答案】A【解析】因?yàn)榈奶卣髦禐?（n-1重）和1，所以的特征值為1（n-1重）和0，故不可逆。（6）已知矩陣，則（）。A.A與C相似，B與C相似B. A與C相似，B與C不相似C. A與C不相似，B與C相似D. A與C不相似，B與C不相似【答案】B【解析】A和B的特征值為2,2,1，但是A有三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，而B(niǎo)只有兩個(gè)，所依A可對(duì)角化，B不可，因此選擇B。（7）設(shè)A，B為隨機(jī)事件，若，且的充分必要條件是（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得，即，因此選擇A。（8）設(shè)來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記，則下列結(jié)論中不正確的是（）。A. 服從分布B. 服從分布C.

19、 服從分布D. 服從分布【答案】B【解析】，故，因此，故，故B錯(cuò)誤，由可得，則有，因此。二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上。（9）已知函數(shù)，則=_。【答案】0【解析】，因此，代入可得。（10）微分方程的通解為=_。【答案】 【解析】由，所以，因此，因此通解為：。（11）若曲線(xiàn)積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，則=_?！敬鸢浮?【解析】設(shè)，因此可得：，根據(jù)，因此可得。（12）冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)=_。【答案】【解析】。（13）設(shè)矩陣，為線(xiàn)性無(wú)關(guān)的3維向量，則向量組的秩為_(kāi)?！敬鸢浮?【解析】因?yàn)?，而，因此，所以向量組的秩2。（14）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，其中為

20、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則=_?！敬鸢浮?【解析】因此可得。三、解答題： 1523小題，共94分，請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。（15）（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求?！敬鸢浮浚窘馕觥恳?yàn)?，所以，因此因此得：?6）（本題滿(mǎn)分10分）求【答案】【解析】由定積分的定義可知，然后計(jì)算定積分，（17）（本題滿(mǎn)分10分）已知函數(shù)由方程確定，求的極值?！敬鸢浮繕O大值為，極小值為?！窘馕觥繉?duì)關(guān)于求導(dǎo)得：，令得，因此，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。對(duì)關(guān)于再次求導(dǎo)得：，將代入可得當(dāng)時(shí)，時(shí)，代入可得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，代入可得，因此有函數(shù)的極大值為，極小值為。（18）（本題滿(mǎn)分10分

21、）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根；（）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根?！敬鸢浮浚ǎ┳C：因?yàn)椋蓸O限的局部保號(hào)性知，存在，使得，而，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得。（）構(gòu)造函數(shù)，因此，因?yàn)?，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根?jù)零點(diǎn)定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有兩個(gè)不同實(shí)根?！窘馕觥柯裕?9）（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)薄片型物體時(shí)圓錐面被柱面割下的有限部分，其上任一點(diǎn)的弧度為，記圓錐與柱面的交線(xiàn)為，（）求在平面上的投影曲線(xiàn)的方程；（）求的質(zhì)量?！敬鸢浮浚ǎ?；（）64?！窘馕觥浚ǎ┑姆匠虨椋队暗狡矫嫔蠟椋ǎ?，因此有。（20）（本題滿(mǎn)

22、分11分）三階行列式有3個(gè)不同的特征值，且，（）證明；（）如果，求方程組的通解。【答案】（）略；（）?！窘馕觥浚ǎ┳C：因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的特征值，所以不是零矩陣，因此，若，那么特征根0是二重根，這與假設(shè)矛盾，因此，又根據(jù)，所以，因此。（）因?yàn)?，所以的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)解向量，又，即，因此基礎(chǔ)解系的一個(gè)解向量為。因?yàn)?，故的特解為，因此的通解為。?1）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為，求的值及一個(gè)正交矩陣?！敬鸢浮?，正交矩陣【解析】二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)型為，所以，從而，即，代入得，解得；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，對(duì)應(yīng)的特征向量為；

23、從而正交矩陣。（22）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且的概率分布為，的概率密度為（）求；（）求的概率密度?！敬鸢浮浚ǎǎ窘馕觥浚ǎ┯蓴?shù)字特征的計(jì)算公式可知：，則（）先求的分布函數(shù)，由分布函數(shù)的定義可知：。由于為離散型隨機(jī)變量，則由全概率公式可知（其中為的分布函數(shù)：）（23）（本題滿(mǎn)分11分）某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做次測(cè)量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)次測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布，該工程師記錄的是次測(cè)量的絕對(duì)誤差，利用估計(jì)（）求的概率密度；（）利用一階矩求的矩估計(jì)量；（）求的最大似然估計(jì)量?！敬鸢浮浚ǎǎǎ窘馕觥浚ǎ┮?yàn)椋?，?duì)應(yīng)的概率密度

24、為，設(shè)的分布函數(shù)為，對(duì)應(yīng)的概率密度為；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則的概率密度為；（）因?yàn)椋?，從而的矩估?jì)量為；（）由題可知對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)為，取對(duì)數(shù)得：，所以，令，得，所以的最大似然估計(jì)量為?；仡欉^(guò)去篇（2000-2014）2000年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)(1)=_.(2)曲面在點(diǎn)的法線(xiàn)方程為_(kāi).(3)微分方程的通解為_(kāi).(4)已知方程組無(wú)解,則= _.(5)設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件和都不發(fā)生的概率為,發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等,則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選

25、項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)、是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù),且,則當(dāng)時(shí),有(A)(B)(C)(D)(2)設(shè)為在第一卦限中的部分,則有(A)(B)(C)(D)(3)設(shè)級(jí)數(shù)收斂,則必收斂的級(jí)數(shù)為(A) (B) (C)(D) (4)設(shè)維列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān),則維列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件為(A)向量組可由向量組線(xiàn)性表示 (B)向量組可由向量組線(xiàn)性表示(C)向量組與向量組等價(jià) (D)矩陣與矩陣等價(jià)(5)設(shè)二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布,則隨機(jī)變量與 不相關(guān)的充分必要條件為(A)(B)(C)(D)三、(本題滿(mǎn)分6分)求四、(本題滿(mǎn)分5分)設(shè),其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階

26、連續(xù)導(dǎo)數(shù),求五、(本題滿(mǎn)分6分)計(jì)算曲線(xiàn)積分,其中是以點(diǎn)為中心為半徑的圓周取逆時(shí)針?lè)较?六、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)對(duì)于半空間內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面都有其中函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且求.七、(本題滿(mǎn)分6分)求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間,并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性.八、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)有一半徑為的球體是此球的表面上的一個(gè)定點(diǎn),球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到距離的平方成正比(比例常數(shù)),求球體的重心位置.九、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且試證:在內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)使十、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)矩陣的伴隨矩陣且,其中為4階單位矩陣,求矩陣.十一、(本題滿(mǎn)分8分)某適應(yīng)性生產(chǎn)線(xiàn)每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人

27、數(shù)統(tǒng)計(jì),然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門(mén),其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊.新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工.設(shè)第年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占百分比分別為和記成向量(1)求與的關(guān)系式并寫(xiě)成矩陣形式:(2)驗(yàn)證是的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,并求出相應(yīng)的特征值.(3)當(dāng)時(shí),求十二、(本題滿(mǎn)分8分)某流水線(xiàn)上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為,各產(chǎn)品合格與否相對(duì)獨(dú)立,當(dāng)出現(xiàn)1個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)即停機(jī)檢修.設(shè)開(kāi)機(jī)后第1次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望和方差.十三、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)某種元件的使用壽命的概率密度為,其中為未知參數(shù).又設(shè)是的一組樣本觀測(cè)值,求參數(shù)的最大似然估計(jì)值.2001年全國(guó)碩士

28、研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)(1)設(shè)為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的通解,則該方程為_(kāi).(2),則= _.(3)交換二次積分的積分次序:_.(4)設(shè),則= _.(5),則根據(jù)車(chē)貝曉夫不等式有估計(jì) _.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),的圖形如右圖所示,則的圖形為(A) (B) (C) (D)(2)設(shè)在點(diǎn)的附近有定義,且則(A)(B)曲面在處的法向量為(C)曲線(xiàn) 在處的切向量為(D)曲線(xiàn)

29、 在處的切向量為(3)設(shè)則在=0處可導(dǎo)(A)存在 (B) 存在(C)存在 (D)存在(4)設(shè),則與(A)合同且相似 (B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)將一枚硬幣重復(fù)擲次,以和分別表示正面向上和反面向上的次數(shù), 則和相關(guān)系數(shù)為 (A) -1(B)0(C)(D)1三、(本題滿(mǎn)分6分)求.四、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微,且,求.五、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè) ,將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù),并求的和.六、(本題滿(mǎn)分7分)計(jì)算,其中是平面 與柱面的交線(xiàn),從軸正向看去為逆時(shí)針?lè)较?七、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)在內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且.證明:(1)對(duì)于,存在惟一的,使 =+成立.(2).八、(本題滿(mǎn)

30、分8分)設(shè)有一高度為為時(shí)間)的雪堆在融化過(guò)程,其側(cè)面滿(mǎn)足方程(設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米,時(shí)間單位為小時(shí)),已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(系數(shù)為0.9),問(wèn)高度為130厘米的雪堆全部融化需多少時(shí)間?九、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)為線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,其中為實(shí)常數(shù),試問(wèn)滿(mǎn)足什么條件時(shí)也為的一個(gè)基礎(chǔ)解系?十、(本題滿(mǎn)分8分)已知三階矩陣和三維向量,使得線(xiàn)性無(wú)關(guān),且滿(mǎn)足.(1)記求使.(2)計(jì)算行列式.十一、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)某班車(chē)起點(diǎn)站上客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布,每位乘客在中途下車(chē)的概率為且中途下車(chē)與否相互獨(dú)立.為中途下車(chē)的人數(shù),求:(1)在發(fā)車(chē)時(shí)有個(gè)乘客的條件下,中途有人下車(chē)的概率.(2)二維隨機(jī)變量

31、的概率分布.十二、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本樣本均值,求2002年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)(1)= _.(2)已知,則=_.(3)滿(mǎn)足初始條件的特解是_.(4)已知實(shí)二次型經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)型,則=_.(5)設(shè)隨機(jī)變量,且二次方程無(wú)實(shí)根的概率為0.5,則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)考慮二元函數(shù)的四條性質(zhì):在點(diǎn)處連續(xù), 在點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),在點(diǎn)處可微, 在點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在.則有:

32、(A)(B)(C)(D)(2)設(shè),且,則級(jí)數(shù)為(A)發(fā)散 (B)絕對(duì)收斂(C)條件收斂 (D)收斂性不能判定.(3)設(shè)函數(shù)在上有界且可導(dǎo),則(A)當(dāng)時(shí),必有 (B)當(dāng)存在時(shí),必有(C) 當(dāng)時(shí),必有 (D) 當(dāng)存在時(shí),必有.(4)設(shè)有三張不同平面,其方程為()它們所組成的線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2,則這三張平面可能的位置關(guān)系為(5)設(shè)和是相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量,它們的密度函數(shù)分別為和,分布函數(shù)分別為和,則(A)必為密度函數(shù) (B) 必為密度函數(shù)(C)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù) (D) 必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).三、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)函數(shù)在的某鄰域具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,當(dāng)時(shí),若,

33、試求的值.四、(本題滿(mǎn)分7分)已知兩曲線(xiàn)與在點(diǎn)處的切線(xiàn)相同.求此切線(xiàn)的方程,并求極限.五、(本題滿(mǎn)分7分)計(jì)算二重積分,其中.六、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)函數(shù)在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),是上半平面(>0)內(nèi)的有向分段光滑曲線(xiàn),起點(diǎn)為(),終點(diǎn)為().記,(1)證明曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān).(2)當(dāng)時(shí),求的值.七、(本題滿(mǎn)分7分)(1)驗(yàn)證函數(shù)()滿(mǎn)足微分方程.(2)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).八、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為面,其底部所占的區(qū)域?yàn)?小山的高度函數(shù)為.(1)設(shè)為區(qū)域上一點(diǎn),問(wèn)在該點(diǎn)沿平面上何方向的方向?qū)?shù)最大?若此方向的方向?qū)?shù)為,寫(xiě)出的表達(dá)式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng),

34、為此需要在山腳下尋找一山坡最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).也就是說(shuō)要在的邊界線(xiàn)上找出使(1)中達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀登起點(diǎn)的位置.九、(本題滿(mǎn)分6分)已知四階方陣, 均為四維列向量,其中線(xiàn)性無(wú)關(guān),.若,求線(xiàn)性方程組的通解.十、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)為同階方陣,(1)若相似,證明的特征多項(xiàng)式相等.(2)舉一個(gè)二階方陣的例子說(shuō)明(1)的逆命題不成立.(3)當(dāng)為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí),證明(1)的逆命題成立.專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)十一、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)維隨機(jī)變量的概率密度為 對(duì)獨(dú)立地重復(fù)觀察4次,用表示觀察值大于的次數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.十二、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)總體的概率分布為0123其中()是未知參數(shù),利用總體的如下樣本值

35、3,1,3,0,3,1,2,3.求的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)值.2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿(mǎn)分24分.把答案填在題中橫線(xiàn)上) (1) = .(2)曲面與平面平行的切平面的方程是 .(3)設(shè),則= .(4)從的基到基的過(guò)渡矩陣為 .(5)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 ,則 .(6)已知一批零件的長(zhǎng)度(單位:cm)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件,得到長(zhǎng)度的平均值為40 (cm),則的置信度為0.95的置信區(qū)間是 .(注:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿(mǎn)分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把

36、所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)) (1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示,則有(A)一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(B)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) (C)兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(D)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)(2)設(shè)均為非負(fù)數(shù)列,且,則必有(A)對(duì)任意成立 (B)對(duì)任意成立(C)極限不存在 (D)極限不存在(3)已知函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),且,則(A)點(diǎn)不是的極值點(diǎn)(B)點(diǎn)是的極大值點(diǎn)(C)點(diǎn)是的極小值點(diǎn)(D)根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)是否為的極值點(diǎn)(4)設(shè)向量組I:可由向量組II:線(xiàn)性表示,則(A)當(dāng)時(shí),向量組II必線(xiàn)性相關(guān) (B)當(dāng)時(shí),向量組II必線(xiàn)性相關(guān)(C)當(dāng)時(shí),向量組I必線(xiàn)性相關(guān)

37、 (D)當(dāng)時(shí),向量組I必線(xiàn)性相關(guān)(5)設(shè)有齊次線(xiàn)性方程組和,其中均為矩陣,現(xiàn)有4個(gè)命題: 若的解均是的解,則秩秩 若秩秩,則的解均是的解 若與同解,則秩秩 若秩秩, 則與同解以上命題中正確的是(A)(B)(C)(D)(6)設(shè)隨機(jī)變量,則(A)(B)(C)(D) 三、(本題滿(mǎn)分10分)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn),該切線(xiàn)與曲線(xiàn)及軸圍成平面圖形.(1)求的面積.(2)求繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 四、(本題滿(mǎn)分12分)將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù),并求級(jí)數(shù)的和.五 、(本題滿(mǎn)分10分)已知平面區(qū)域,為的正向邊界.試證:(1).(2)六 、(本題滿(mǎn)分10分)某建筑工程打地基時(shí),需用汽錘將樁打進(jìn)土層.汽錘每次

38、擊打,都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功.設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為).汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下m.根據(jù)設(shè)計(jì)方案,要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù).問(wèn)(1)汽錘擊打樁3次后,可將樁打進(jìn)地下多深?(2)若擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深?(注:m表示長(zhǎng)度單位米.)七 、(本題滿(mǎn)分12分)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且是的反函數(shù).(1)試將所滿(mǎn)足的微分方程變換為滿(mǎn)足的微分方程.(2)求變換后的微分方程滿(mǎn)足初始條件的解.八 、(本題滿(mǎn)分12分)設(shè)函數(shù)連續(xù)且恒大于零,其中,(1)討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.(2)證明當(dāng)時(shí),九 、(本題滿(mǎn)分10分)

39、設(shè)矩陣,求的特征值與特征向量,其中為的伴隨矩陣,為3階單位矩陣.十 、(本題滿(mǎn)分8分)已知平面上三條不同直線(xiàn)的方程分別為 , , .試證這三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)的充分必要條件為十一 、(本題滿(mǎn)分10分)已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品,乙箱中僅裝有3件合格品. 從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二 、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)總體的概率密度為 其中是未知參數(shù). 從總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,記(1)求總體的分布函數(shù).(2)求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù).(3)如果用作為的估計(jì)量,討論它是否具有無(wú)偏性.2004年全國(guó)碩

40、士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿(mǎn)分24分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)(1)曲線(xiàn)上與直線(xiàn)垂直的切線(xiàn)方程為_(kāi) .(2)已知,且,則=_ .(3)設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分,則曲線(xiàn)積分的值為_(kāi).(4)歐拉方程的通解為_(kāi) .(5)設(shè)矩陣,矩陣滿(mǎn)足,其中為的伴隨矩陣,是單位矩陣,則=_ .(6)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則= _ .二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿(mǎn)分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(7)把時(shí)的無(wú)窮小量,使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小,則正確的排列次序是(A) (B)(C) (

41、D)(8)設(shè)函數(shù)連續(xù),且則存在,使得(A)在(0,內(nèi)單調(diào)增加 (B)在內(nèi)單調(diào)減少(C)對(duì)任意的有 (D)對(duì)任意的有 (9)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),下列結(jié)論中正確的是(A)若=0,則級(jí)數(shù)收斂(B)若存在非零常數(shù),使得,則級(jí)數(shù)發(fā)散(C)若級(jí)數(shù)收斂,則 (D)若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù),使得(10)設(shè)為連續(xù)函數(shù),則等于(A)(B)(C) (D) 0(11)設(shè)是3階方陣,將的第1列與第2列交換得,再把的第2列加到第3列得,則滿(mǎn)足的可逆矩陣為(A) (B) (C) (D)(12)設(shè)為滿(mǎn)足的任意兩個(gè)非零矩陣,則必有(A)的列向量組線(xiàn)性相關(guān)的行向量組線(xiàn)性相關(guān)(B)的列向量組線(xiàn)性相關(guān)的列向量組線(xiàn)性相關(guān) (C)的行向量

42、組線(xiàn)性相關(guān)的行向量組線(xiàn)性相關(guān)(D)的行向量組線(xiàn)性相關(guān)的列向量組線(xiàn)性相關(guān)(13)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布對(duì)給定的,數(shù)滿(mǎn)足,若,則等于(A) (B)(C) (D) (14)設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布,且其方差為 令,則(A) (B) (C) (D)三、解答題(本題共9小題,滿(mǎn)分94分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)(15)(本題滿(mǎn)分12分)設(shè),證明.(16)(本題滿(mǎn)分11分)某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí),為了減少滑行距離,在觸地的瞬間,飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘,以增大阻力,使飛機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī),著陸時(shí)的水平速度為700km/h 經(jīng)測(cè)試,減速傘打開(kāi)后,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度

43、成正比(比例系數(shù)為 問(wèn)從著陸點(diǎn)算起,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小時(shí))(17)(本題滿(mǎn)分12分)計(jì)算曲面積分其中是曲面的上側(cè).(18)(本題滿(mǎn)分11分)設(shè)有方程,其中為正整數(shù).證明此方程存在惟一正實(shí)根,并證明當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂.(19)(本題滿(mǎn)分12分)設(shè)是由確定的函數(shù),求的極值點(diǎn)和極值.(20)(本題滿(mǎn)分9分)設(shè)有齊次線(xiàn)性方程組試問(wèn)取何值時(shí),該方程組有非零解,并求出其通解.(21)(本題滿(mǎn)分9分)設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根,求的值,并討論是否可相似對(duì)角化.(22)(本題滿(mǎn)分9分)設(shè)為隨機(jī)事件,且,令 求:(1)二維隨機(jī)變量的概率分布. (2)和的相關(guān)系數(shù)(2

44、3)(本題滿(mǎn)分9分)設(shè)總體的分布函數(shù)為其中未知參數(shù)為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,求:(1)的矩估計(jì)量. (2)的最大似然估計(jì)量.2005年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿(mǎn)分24分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)(1)曲線(xiàn)的斜漸近線(xiàn)方程為 _.(2)微分方程滿(mǎn)足的解為_(kāi).(3)設(shè)函數(shù),單位向量,則=._.(4)設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域,是的整個(gè)邊界的外側(cè),則_.(5)設(shè)均為3維列向量,記矩陣,如果,那么 .(6)從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù),記為, 再?gòu)闹腥稳∫粋€(gè)數(shù),記為, 則=_.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿(mǎn)分32分.每小題給出的四個(gè)選

45、項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(7)設(shè)函數(shù),則在內(nèi)(A)處處可導(dǎo) (B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) (D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(8)設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),表示的充分必要條件是則必有(A)是偶函數(shù)是奇函數(shù) (B)是奇函數(shù)是偶函數(shù)(C)是周期函數(shù)是周期函數(shù) (D)是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)(9)設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù), 具有一階導(dǎo)數(shù),則必有(A) (B)(C)(D)(10)設(shè)有三元方程,根據(jù)隱函數(shù)存在定理,存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域,在此鄰域內(nèi)該方程(A)只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) (B)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和 (C)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和 (D)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和(11)設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為,則,線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件