一類(lèi)具免疫控制的SIR傳染病模型的穩(wěn)定

1、一類(lèi)具免疫控制的SIR傳染病模型的穩(wěn)定性信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè) 學(xué)生：肖憲偉 指導(dǎo)教師：宮兆剛摘 要：利用微分方程理論研究了具有免疫控制的數(shù)學(xué)模型，考慮總?cè)丝跀?shù)是常數(shù)輸入的影響，討論了模型無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性，利用特征值方法和Jacobi矩陣得到了無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。構(gòu)造Dulac函數(shù)的方法，得到了無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性充分條件，利用Matlab軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬。關(guān)鍵詞：免疫控制; Jacobi；Dulac；平衡點(diǎn)；全局穩(wěn)定性1 引言 面對(duì)傳染病長(zhǎng)期嚴(yán)峻的威脅和日益出現(xiàn)的新的疫情，其嚴(yán)重的危害著人類(lèi)健康與社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。又由于人們不能在人群中進(jìn)行傳染病

2、的試驗(yàn)，因此，對(duì)各類(lèi)傳染病的流行趨勢(shì)、發(fā)病規(guī)律的預(yù)測(cè)以及防治策略的重要性日益突出。根據(jù)疾病的發(fā)生、發(fā)展以及與之有關(guān)的闡述流行過(guò)程的特征，利用動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)研究傳染病模型是十分重要的，目前對(duì)傳染病的研究方法主要有描述性方面的研究、理論性方面的研究、分析性方面的研究和實(shí)驗(yàn)性方面的研究。傳染病動(dòng)力學(xué)1是對(duì)傳染病進(jìn)行理論性定量分析的一種非常重要的方法，通過(guò)對(duì)動(dòng)力學(xué)性態(tài)的定性分析和模擬實(shí)驗(yàn)2，來(lái)顯示疾病的發(fā)展過(guò)程，揭示起流行規(guī)律，分析疾病流行的原因和關(guān)鍵因素，預(yù)測(cè)其變化發(fā)展趨勢(shì)，為預(yù)防和控制的最優(yōu)策略提供了有力的理論依據(jù)。 在早期的傳染病動(dòng)力學(xué)中大多數(shù)傳染病模型都是假設(shè)種群的總是常數(shù)狀態(tài)而保持人口數(shù)不變

3、，而沒(méi)有考慮到其它方面的因素，但這種假設(shè)僅存在于一些環(huán)境狀態(tài)封閉，人口的生育率和自然死亡率相平衡，且不考慮其它各方面等因素的理想狀態(tài)下成立。隨著傳染病模型的不斷發(fā)展和研究的不斷深入，對(duì)各方面因素做了大量的研究，極大地豐富了傳染病動(dòng)力學(xué)理論。程曉云，胡志興等在2007年考慮了具有階段結(jié)構(gòu)因素研究了一類(lèi)具有階段結(jié)構(gòu)的自治傳染病模型的穩(wěn)定性3；徐為堅(jiān)研究了一類(lèi)具有種群Logistic增長(zhǎng)飽和傳染率的SIS模型的穩(wěn)定性和Hopf；杜艷可，徐瑞，段立江在經(jīng)典的傳染病模型上考慮了標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率4-5的因素，研究了一類(lèi)具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的傳染病模型的全局穩(wěn)定性；李健全，馬知恩研究了一類(lèi)帶有一般接觸率和常數(shù)輸入的流行

4、病模型的全局分析；付景超等在2008年研究了一類(lèi)具有垂直傳染和連續(xù)預(yù)防接種的SIRS傳染病模型6-8，得出了垂直傳染和連續(xù)預(yù)防接種的穩(wěn)定性分析；徐文雄，張仲華等研究了一類(lèi)具有預(yù)防接種免疫力的雙線(xiàn)性傳染率SIR流行病模型全局穩(wěn)定性；高淑京，滕志懂在2008年研究了一類(lèi)具有飽和傳染力和常數(shù)輸入的SIRS脈沖接種模型研究9-11。2 具有免疫控制的SIR模型2.1模型的建立 本文將基于經(jīng)典的具有常數(shù)輸入率的SIR模型，建立一類(lèi)具有免疫控制的SIR傳染病模型，將人群分為易感染者（Susceptible）、感染者（Infective）、移出者（Removed）三類(lèi)，則所研究的數(shù)學(xué)模型如下： （1）其中，

5、分別表示t時(shí)刻易感染者、感染者、移出者的數(shù)量，分別表示各階段的死亡率，表示接種率，表示傳染率，r表示移出率，系統(tǒng)中的所有參數(shù)均為正值。 系統(tǒng)（1）的前兩個(gè)方程不依賴(lài)于第三個(gè)方程，因此本文中僅考慮由系統(tǒng)（1）的前兩個(gè)方程構(gòu)成的系統(tǒng)為： （2）對(duì)系統(tǒng)(2)作變換，仍記為，則(2)化為： （3）考慮到系統(tǒng)（1），（2），（3）的實(shí)際上的生物意義，其S，I只能為非負(fù)數(shù)，因此本文只在區(qū)域中討論問(wèn)題。2.2平衡點(diǎn)的存在性對(duì)系統(tǒng)（3）我們令：，當(dāng)時(shí)，得出無(wú)病平衡點(diǎn)；令時(shí)，當(dāng)時(shí)，得出地方病平衡點(diǎn)，其中：， ，。2.3平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析定理2 當(dāng)時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。證明： 系統(tǒng)（3）在處的Jacob

6、i矩陣為：，其中：， ， ， ，則系統(tǒng)（3）所對(duì)應(yīng)的特征方程為：，其中： 當(dāng)時(shí)，有，所以其特征根為負(fù)實(shí)根，從而無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。定理3 令，當(dāng)，時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。證明：系統(tǒng)（3）在地方病平衡點(diǎn)處的Jacobi矩陣為： ，其中： ，其中：，則系統(tǒng)（3）所對(duì)應(yīng)的特征方程為：，其中： ， ，令，當(dāng)，時(shí)，有，所以其特征根為負(fù)實(shí)根，從而地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。2.4平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性分析定理4 當(dāng)時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。證明：當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)（3）在區(qū)域內(nèi)僅存在唯一的一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)，并且可以得出平衡點(diǎn)在其邊界上，所以在區(qū)域W內(nèi)不存在有閉軌線(xiàn)，而且系統(tǒng)（3）從

7、區(qū)域W內(nèi)出發(fā)的軌線(xiàn)都不會(huì)超出W，又考慮到區(qū)域W的有界性，則對(duì)任給區(qū)域W內(nèi)的一個(gè)初始值，系統(tǒng)（3）的滿(mǎn)足初始值的解（S,I）最終都將趨向于平衡點(diǎn)，又因?yàn)槠胶恻c(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性，可得出是全局漸近穩(wěn)定的。這表明，在所給群體中無(wú)論初始值的染病者會(huì)有多少，傳染病都將不會(huì)流行且會(huì)逐漸消失。定理5 當(dāng)且成立時(shí)，地方病平衡點(diǎn) 在區(qū)域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。證明： 要證明點(diǎn)在區(qū)域W內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的，只需要證明在區(qū)域W內(nèi)不存在系統(tǒng)（3）的閉軌線(xiàn)即可11，構(gòu)造Dulac函數(shù)，有 ，所以保持常號(hào)，且其不在區(qū)域W內(nèi)任何子區(qū)域內(nèi)恒為零，則系統(tǒng)（3）在區(qū)域W內(nèi)不存在閉軌線(xiàn)，所以地方病平衡點(diǎn)在區(qū)域W內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。這表明，

8、一旦有患病者，疾病就會(huì)流行而最終的易感者和患病者都將分別穩(wěn)定為數(shù)量，從而形成地方病。3 數(shù)值模擬下面用Matlab數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，通過(guò)模擬能夠清晰了解模型軌線(xiàn)的走向，并驗(yàn)證定理4和定理5的正確性，進(jìn)而更好的了解無(wú)病點(diǎn)和地方病的發(fā)展趨勢(shì)。取參數(shù)，則系統(tǒng)（3）為：滿(mǎn)足條件，運(yùn)用Matlab軟件由定理4可知，無(wú)病平衡點(diǎn)在區(qū)域W內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的（見(jiàn)圖1）。 圖1 無(wú)病平衡點(diǎn)的數(shù)值模擬 Fig.1 The disease-free equilibriumfound by numerical simulation取參數(shù)，則系統(tǒng)（3）為：滿(mǎn)足條件當(dāng)且，運(yùn)用Matlab軟件由定理5可知，地方病平衡點(diǎn)在

9、區(qū)域W內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的（見(jiàn)圖2）。圖2 地方病平衡點(diǎn)的數(shù)值模擬Fig.2 The endemic equilibriumfound by numerical simulation4 結(jié)語(yǔ) 傳染病動(dòng)力學(xué)模型為人類(lèi)的傳染病的預(yù)防控制提供了有力的理論依據(jù)和指導(dǎo)，本文在參考了一些相關(guān)的文獻(xiàn)和書(shū)籍資料，研究了一類(lèi)具有免疫控制的SIR傳染病模型，運(yùn)用了特征值方法，Jacobi矩陣，Dulac函數(shù)，Matlab軟件等方法得到了無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)所具備穩(wěn)定性的條件，根據(jù)這些條件能夠?yàn)閭魅静〉念A(yù)防和控制提供了有效的理論依據(jù)。 【參考文獻(xiàn)】1馬知恩,周義倉(cāng),王穩(wěn)地等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究M.北京:

10、科學(xué)出版社，2004.2李健,張娟,馬知恩.一類(lèi)帶有一般接觸率和常數(shù)輸入的流行病模型的全局分析J.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2004,25(4):359 -367.3程曉云,胡志興.一類(lèi)具有階段結(jié)構(gòu)的自治傳染病模型的穩(wěn)定性J.石家莊學(xué)院學(xué)報(bào),2007,9(3):23-27.4徐為堅(jiān).具有種群Logistic增長(zhǎng)飽和傳染率的SIS模型的穩(wěn)定性和Hopf分支J.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2008,28:578-584.5Moghadas SM.Two core group models for sexual transmission of diseaseJ.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2009,39(10):140-144.6周

11、天明,江宏遠(yuǎn),魯立剛.傳染病學(xué)的數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用J.黑龍江醫(yī)學(xué)科學(xué),2002,25(3):20-22.7李健全,馬知恩.一類(lèi)帶有一般接觸率和常數(shù)輸入的流行病模型的全局分析J.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2004,18(4):359-367.8付景超等.具有垂直傳染和連續(xù)預(yù)防接種的SIRS傳染病模型的研究J.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,23(2):273-278.9馬知恩,周義倉(cāng)等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究M.北京:科學(xué)出版社,2004.10薛穎,熊佐亮.具有免疫控制且總?cè)丝谝?guī)模變化的SIR傳染病模型的穩(wěn)定性J.應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2007,9(2):71-76.11高淑京,滕志懂.一類(lèi)具有飽和傳染力和常數(shù)輸

12、入的SIRS脈沖接種模型研究J.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,23(2):208-217.Stability of a SIR Epidemic Model with Immune ControlInformation and Computational Major Name：XiaoXianwei Tutor:GongZhaogangAbstract: The dissertation study on mathematical model with immune control by using the theory of differential equations, consider the

13、 total population is the effect of a constant input, model existence the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium is discussed, by using the eigenvalue method and the Jacobi matrix to get the local stability of the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium point. The method of constructing Dulac function, sufficient conditions for g