三元不等式的又一利器qpr變換法

1、三元對稱不等式證明的“利器”變換法王子康 安徽省馬鞍山市第八初級中學(xué) 243000【摘要】 在初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們常常遇到含有，等單項式的三元對稱不等式，使用常規(guī)方法解這類不等式不但運(yùn)算量大，而且步驟繁瑣易錯。運(yùn)用特定字母替換這些單項式，則可以使得解題過程簡潔明了，便于理解和運(yùn)算。本文歸納介紹了一些基本性質(zhì)和恒等變換，并從特例分析、運(yùn)用技巧等方面就使用變換證明三元對稱不等式進(jìn)行了簡要論述?！娟P(guān)鍵詞】 初高中數(shù)學(xué) 變換 三元對稱不等式在初高中數(shù)學(xué)的許多三元對稱不等式中都含有，等單項式，這一類不等式通常結(jié)構(gòu)特征明顯。使用變換法將不等式轉(zhuǎn)換為含有、的簡化不等式來證明解決，不失為一種行之有效的解

2、題技巧。下面就變換法的運(yùn)用進(jìn)行簡要論述。1. 基本性質(zhì)通常，我們采用下列變量變換： ，。原不等式變換為。顯而易見，對應(yīng)的是“算術(shù)均值”；對應(yīng)的是“積均值”；對應(yīng)的是“幾何均值”。 這樣做的好處是可以降低不等式的次數(shù)。這樣我們很容易看出其滿足的不等式關(guān)系，特別地當(dāng)次數(shù)小于等于5時效果是很明顯的。這種證明不等式的方法稱為變換法。在具體運(yùn)用前，我們必須充分理解掌握這三者之間存在的基本性質(zhì)以及幾個恒等變換。若，設(shè)，則有以下基本性質(zhì)：性質(zhì)1. ，即：“算術(shù)均值”“積均值”“幾何均值”。證明：均值不等式，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。性質(zhì)2. 證明：將舒爾不等式展開后，得得證。當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。性質(zhì)3.

3、 證明：由性質(zhì)1可知，且，所以，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。性質(zhì)4. 證明：由性質(zhì)1 可知：，所以，即，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。性質(zhì)5. 證明：由排序不等式可知：，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。性質(zhì)6. 證明：由性質(zhì)3 和性質(zhì)7 ，且，可知：，即，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。性質(zhì)7. 證明：由二元均值不等式可知：，同理，三式相加，得，整理，得，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。性質(zhì)8. 證明：由性質(zhì)5 ，且可知，比較性質(zhì)2 ，兩式相加，得，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。性質(zhì)9. 性質(zhì)10. p2q3pr+2q2p4+3q24p2qpq22p2r+3qrq3+9r24pqrp3r+q36pqr2. 恒

4、等變換除上述性質(zhì)以外，我們還需要用到以下“十八般武器”。通過替代變換，整理后可以得到以下幾個經(jīng)常用到的重要恒等變換（限于篇幅，轉(zhuǎn)換過程從略，讀者可以自行嘗試），記住這些恒等變換對幫助我們更加高效地完成不等式的證明十分有益：恒等變換1.恒等變換2. 恒等變換3.恒等變換4.恒等變換5. 恒等變換6. 恒等變換7.恒等變換8.恒等變換9.恒等變換10.恒等變換11. 恒等變換12. 恒等變換13. 恒等變換14. 恒等變換15.恒等變換16. 恒等變換17.恒等變換18.恒等變換19.3. 技巧運(yùn)用例1 已知正數(shù)且，求證：證：設(shè)，有，并將恒等變換7代入原式，得，整理，得，這就是性質(zhì)8，所以原不等式

5、成立。原不等式得證。例2 已知是互不相等的正數(shù)且。求證：證：原式，將其展開后，化簡，得設(shè)，有，代入式，可得，就是性質(zhì)3，所以不等式成立。原不等式得證。例3 已知為正實數(shù)，且，求證：。（數(shù)學(xué)通訊2017年第1，2期問題284）證：設(shè)，并將恒等變換11代入原式，可得又，代入式，得比較性質(zhì)2，我們只需要證明，即可使原不等式成立。由性質(zhì)4可知：原不等式得證。分析：例3出自文獻(xiàn)2中，在這里給出的是本例的變換證法。這一類沒有明顯特征的不等式，我們可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)卣归_化簡后形成含有，等多項式的特殊不等式，再運(yùn)用變換法使不等式的證明過程得到簡化。例4 已知正數(shù)且，求證： 證：設(shè)，有，并將恒等變換1、2代入原式，

6、可得就是性質(zhì)2。原不等式得證。例5 已知且，求證： (Kyiv Mathematical Festival 2016)證：將原式通分后展開，得， 設(shè)，則，將恒等變換4和5代入式，得，整理化簡，得，將，代入并整理，得比較性質(zhì)3，我們只要證明，即可使上式成立。即證由性質(zhì)1和式，可知，所以，我們只需要證明，明顯，所以式成立。原不等式得證。分析：在進(jìn)行變換法證明不等式時，我們要善于將結(jié)果與已知條件或基本性質(zhì)作比對分析，通過作差或配項、配系數(shù)等方法，從中發(fā)現(xiàn)進(jìn)行下一步證明的途徑和策略。例6 若三角形的三邊為，求證：證：原式，將不等式展開并整理，得設(shè)，分別代入式，展開并整理，得比較性質(zhì)2，我們只要證明，根

7、據(jù)性質(zhì)1，該式明顯成立。原不等式得證。例7 為三角形的三邊，且三邊之和為1，求證證：已知為正數(shù)，且，設(shè)，原式，比較性質(zhì)4，我們只需要證明，即可使原不等式成立。由性質(zhì)1和已知條件，可知：，所以，明顯，所以不等式成立。原不等式得證。分析：上面例6原題出自文3，這里我們給出這些三角不等式的經(jīng)典變換例證。變換法在求證一些與三角形的三邊有關(guān)的不等式中也能發(fā)揮出意想不到的作用。例8 設(shè)，且，求證（2011年克羅地亞數(shù)學(xué)競賽題）證：將原式變形為由柯西不等式可知：，我們只需要證明，原式即可成立。設(shè)，則，并將恒等變換1、2、4代入上式，得，整理得，由性質(zhì)1和式，可知，所以我們只需要證明，即證明，明顯成立。原不等式得證。分析：本題出自安振平老師文4中的例2，在本文中給出了綜合運(yùn)用變換與柯西不等式結(jié)合的新證法：利用柯西不等式對原式作適當(dāng)變形后，再利用變換簡化，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放以后一舉證明。這說明在一些不等式的證明中我們可以將多種證明方法有機(jī)地結(jié)合起來，可以更加便捷地解決問題。綜述：變換法在證明這一類的三元不等式中有特別的效果，不失為一種簡潔有效的證明辦法?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1 張艷宗.利用變換證一類不等式問題J.中等數(shù)學(xué)，2014(6):10-