用Matlab求解非線性方程組-

1、 -119-用Matlab 求解非線性方程組任中貴1焦艷會(huì)2張宏蕃3(1、哈爾濱理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,黑龍江哈爾濱1500802、哈爾濱商業(yè)大學(xué),黑龍江哈爾濱1500003、黑龍江工程學(xué)院,黑龍江哈爾濱1500001引言非線性方程組解的幾何意義與線性方程組類(lèi)似,方程組中每個(gè)方程定義了一個(gè)“曲”超平面,非線性方程組的解為所有超平面的交點(diǎn),但是這些曲面可能相交,也可能不相交,情況比平面復(fù)雜。通常對(duì)一個(gè)二維或三維沒(méi)有解析解的非線性方程組,求解此類(lèi)非線性方程組的數(shù)值方法很多,如牛頓法、擬牛頓法、不動(dòng)點(diǎn)迭代法等等,但這些算法編程比較復(fù)雜困難。利用Matlab 符號(hào)對(duì)象功能,通過(guò)函數(shù)繪圖確定解的存在區(qū)間,

2、再使用工具箱函數(shù)求解方程組的數(shù)值解的方法,過(guò)程簡(jiǎn)單,結(jié)果精度高,而且由于Matlab 自帶的工具箱函數(shù)功能強(qiáng)大,極大地減小了編程的復(fù)雜性和程序調(diào)試的困難,適合計(jì)算各類(lèi)問(wèn)題中出現(xiàn)的非線性方程組。2Matlab 的符號(hào)對(duì)象和函數(shù)繪圖功能Madab 的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱是以Maple 的內(nèi)核為符號(hào)運(yùn)算的引擎,并依賴(lài)Maple 已有的庫(kù)函數(shù)開(kāi)發(fā)出來(lái)的Matlab 環(huán)境下實(shí)現(xiàn)符號(hào)處理的工具箱。它將符號(hào)運(yùn)算結(jié)合到Madab 的數(shù)值運(yùn)算環(huán)境中。在Matlab5.0以上版本中定義這種新的數(shù)據(jù)類(lèi)型符號(hào)對(duì)象或稱(chēng)為sym 對(duì)象,其建立函數(shù)是sym 或syms 。使用這兩個(gè)函數(shù)可以建立符號(hào)變量、表達(dá)式和矩陣。Matlab

3、 的符號(hào)處理功能可以對(duì)符號(hào)對(duì)象進(jìn)行因式分解、替換、化簡(jiǎn)等處理以及進(jìn)行微積分、求極限、線性代數(shù)、微分方程等求解運(yùn)算,求得符號(hào)解。在符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱2.1版本中增強(qiáng)了符號(hào)函數(shù)的繪圖功能,可以對(duì)多種形式的符號(hào)直接繪制不同表現(xiàn)形式的圖形。如函數(shù)ezplot 可以繪制y=f(x及x=f(t、f(x=0構(gòu)成的參數(shù)曲線,ezpolar 可以繪制r=f(的極坐標(biāo)曲線,ezplot3可繪制y=f (t、x=f(t、z=f(t構(gòu)成的參數(shù)曲線,還有ezsurf 、ezsurfc 、ezmesh 、ezmeshc 可以繪制參數(shù)網(wǎng)格或表面圖等等。利用上述函數(shù)功能,我們可以繪制出非線性方程組的曲線或曲面圖形,從圖形中可以直

4、觀地看到方程組解的存在區(qū)間,為下一步求解數(shù)值解提供計(jì)算范圍或迭代起點(diǎn)。3Matlab 的函數(shù)語(yǔ)法和實(shí)例計(jì)算利用Madab 符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱中的fsolve 函數(shù),可以對(duì)非線性方程組進(jìn)行求解。函數(shù)fsolve 的語(yǔ)法有以下幾種:x=fsolve(fun ,x0從x0開(kāi)始求解fun 所描述的方程。x=fsolve(fun ,x0,options根據(jù)options 指定的最優(yōu)化參量最小化從x0開(kāi)始的求解范圍,注意要先使用optimset 設(shè)定參量。x ,fval=fsolve(fun ,x0通過(guò)求得的x 返回目標(biāo)函數(shù)fun 的值。x ,fval ,exitflag=fsolve(按照出口行命令返回值e

5、xitflag 。x ,fval ,exitflag ,output=fsolve(返回一個(gè)包含最優(yōu)化信息的輸出結(jié)構(gòu)output 。x ,fval ,exitflag ,output ,jacobian=fsolve(返回一個(gè)基于解的雅可比行列式fun 。求解方程之前,需要建立一個(gè)m 程序定義“fun ”,即所求的非線性方程組,程序如下:function y=myfun(xy=x(1-0.7J sin(x(1-0.2J cos(x(2x(2-0.7J cos (x(1+0.2J sin(x(2L y=y(1y(2L4迭代方法程序一個(gè)多世紀(jì)以來(lái),迭代法一直被人們研究、使用和發(fā)展。近些年來(lái),求解非

6、線性方程組的迭代法越來(lái)越受到人們的重視,并為許多計(jì)算數(shù)學(xué)工作者研究和使用。然而,由于非線性所帶來(lái)的復(fù)雜性,關(guān)于非線性方程組的迭代法的許多問(wèn)題都未能得到很好解決.例如:一是如何構(gòu)造具有二階收斂性的非線性迭代格式,二是迭代初值的選取方法,三是證明迭代方法的保正性,還有一些經(jīng)典迭代法和外推迭代法的最佳參數(shù)問(wèn)題、在實(shí)際使用迭代法時(shí)如何建立可行的停機(jī)準(zhǔn)則并估計(jì)近似解的誤差界,等等。求解非線性方程組的最簡(jiǎn)單和有效的迭代法之一就是Broyden 方法:它以一個(gè)近似雅可比矩陣為初值,每次迭代都對(duì)這個(gè)矩陣進(jìn)行更新。初始雅可比近似可取點(diǎn)處的精確雅可比矩陣,當(dāng)然,為了避免導(dǎo)數(shù)計(jì)算,也可取為單位矩陣。算法如下:fun

7、ction y=broyden(x0a=eye(length(x0Lx1=x0-myfun (x0/a L n=1Lwhile(norm(x1-x0>=1.0e-6&(n<=100000000x0=x1Lx1=x0-myfun (x0/a Lp=x1-x0L q=myfun (x1-myfun (x0L a=a+(q-p J a'J p /norm(pL n=n+1L end y=x1L n5結(jié)論fsolve 求解方程的過(guò)程是一個(gè)連續(xù)的過(guò)程,求解成功時(shí),它得到一個(gè)解。然后聚合在一個(gè)非零點(diǎn)上,嘗試另一個(gè)初始值所求解均為實(shí)型數(shù)據(jù),如果所求解有復(fù)數(shù)量,所求根必須分解成實(shí)部

8、和虛部分別求解。上述方法適合求解各種非線性方程或方程組,Matlab 工具箱函數(shù)的強(qiáng)大功能大大地簡(jiǎn)化了程序的編寫(xiě)及調(diào)試,運(yùn)算非常迅速。用Broyden 方法解非線性方程組雖然迭代次數(shù)多了一些,但不必計(jì)算原函數(shù)的代數(shù)值,甚至連導(dǎo)函數(shù)都不用,非常方便。參考文獻(xiàn)1徐士良.Fortran 常用算法程序集M.北京:清華大學(xué)出版社,1997:121159.3潘狀元.求解奇異問(wèn)題新的加速迭代法J.高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1988,2:118-125.4王興華.一個(gè)迭代過(guò)程的收斂性J.科學(xué)通報(bào),1975,132:558-559.5Hightpelfonnance Numeric Computtation and Visualization Softwave.Matlab User's Guide J.South Natick :The MathWorks ,Inc.,MA ,1994.335337.作者簡(jiǎn)介:任中貴(1979,男,哈爾濱理工大學(xué)碩士研究生,04級(jí)應(yīng)用數(shù)學(xué)。責(zé)任編輯:王