人教版選修21雙曲線(xiàn)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)講義

1、案例（二）精析精練課堂 合作 探究重點(diǎn)難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)一雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)(1)范圍、對(duì)稱(chēng)性由標(biāo)準(zhǔn)方程可得，當(dāng)時(shí)，才有實(shí)數(shù)值；對(duì)于的任何值，都有實(shí)數(shù)值。這說(shuō)明從橫的方向來(lái)看，直線(xiàn)之間沒(méi)有圖象，從縱的方向來(lái)看，隨著的增大，的絕對(duì)值也無(wú)限增大，所以曲線(xiàn)在縱方向上可無(wú)限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線(xiàn)。雙曲線(xiàn)不封閉，但仍稱(chēng)其對(duì)稱(chēng)中心為雙曲線(xiàn)的中心。 (2)頂點(diǎn) 頂點(diǎn)：，特殊點(diǎn)：。 實(shí)軸：長(zhǎng)為，叫做半實(shí)軸長(zhǎng)；虛軸：長(zhǎng)為，叫做虛半軸長(zhǎng)。 如右圖所示，在雙曲線(xiàn)方程中，令得，故它與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且軸為雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，所以與其對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)(一般而言，曲線(xiàn)的頂點(diǎn)均指與其對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn))，而對(duì)稱(chēng)軸上位于兩

2、頂點(diǎn)間的線(xiàn)段叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)，它的長(zhǎng)是。 在方程中，令，得，這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，說(shuō)明雙曲線(xiàn)和軸沒(méi)有交點(diǎn)。但軸上的兩個(gè)特殊點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)中也有非常重要的作用把線(xiàn)段叫做雙曲線(xiàn)的虛軸，它的長(zhǎng)是，要特別注意不要把虛軸與橢圓的短軸混淆。 雙曲線(xiàn)只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異。 (3)漸近線(xiàn) 如上圖所示，過(guò)雙曲線(xiàn)的兩頂點(diǎn)，作軸的平行線(xiàn)，經(jīng)過(guò)作軸的平行線(xiàn)，四條直線(xiàn)圍成一個(gè)矩形，矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)方程是，這兩條直線(xiàn)就是雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。要證明直線(xiàn)是雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，即要證明隨著的增大，直線(xiàn)和曲線(xiàn)越來(lái)越靠攏接近，也即要證曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離越來(lái)越短，因此把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算，但因不

3、好直接求得，因此又把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求。顯然，當(dāng)無(wú)限大時(shí)，。 對(duì)圓錐曲線(xiàn)而言，漸近線(xiàn)是雙曲線(xiàn)具有的性質(zhì)。特別地，等軸雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程為，它們互相垂直且平分雙曲線(xiàn)的實(shí)軸和虛軸所成的角。 知識(shí)點(diǎn)二 有共同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程 具有相同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為。當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上。 (1)求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，一般采用兩種方法，即： 代入得漸近線(xiàn)方程。 令得，即。此法簡(jiǎn)明有效。 (2)反之，若雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)方程為，即=0，則設(shè)雙曲線(xiàn)方程為。典型例題分析題型1 由雙曲線(xiàn)的方程研究其性質(zhì)【例1】求雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，離心率，漸近線(xiàn)方程。解析 由方程研究曲線(xiàn)的性質(zhì)，

4、應(yīng)首先化為標(biāo)準(zhǔn)方程。答案 雙曲線(xiàn)方程可化為。實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-5)，(0，5)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-4)，(0，4），離心率為，漸近線(xiàn)方程為，即。規(guī)律總結(jié) 由雙曲線(xiàn)方程求漸近線(xiàn)方程時(shí)應(yīng)正確應(yīng)用公式，也可將雙曲線(xiàn)左側(cè)因式分解，使因式分別得零也可。【變式訓(xùn)練1】 求雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線(xiàn)方程。答案 將變形可，頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，離心率，漸近線(xiàn)方程為。【例2】 已知橢圓和雙曲線(xiàn)有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是 （ ）A. B.C. D. 解析 先確定焦點(diǎn)，確定、的比值。由雙曲線(xiàn)方程判斷出公共焦點(diǎn)在軸上，橢圓的焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)，。又雙

5、曲線(xiàn)漸近線(xiàn)為，代入，得，故選D。答案 D規(guī)律總結(jié) 求漸近線(xiàn)時(shí)應(yīng)注意對(duì)漸近線(xiàn)的兩種不同公式的應(yīng)用?！咀兪接?xùn)練2】 若點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則到雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離的取值范圍是 。答案 雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是，由漸近線(xiàn)的性質(zhì)知，當(dāng)點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，到漸近線(xiàn)的距離最大，雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，到漸近線(xiàn)的距離最大值為。故到雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離的取值范圍是。題型2 由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)確定其方程【例3】 求與雙曲線(xiàn)有共同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的方程。解析 雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，可設(shè)出雙曲線(xiàn)的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求出方程。答案 設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為，由于雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，有。故雙曲線(xiàn)方程為，即。方法指導(dǎo)（1）與雙

6、曲線(xiàn)有共同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為的形式。(2)本題中的值為正時(shí)焦點(diǎn)在軸上，為負(fù)時(shí)焦點(diǎn)在軸上。【變式訓(xùn)練3】 一橢圓的方程為，焦距為，若一雙曲線(xiàn)與此橢圓共焦點(diǎn)，且它的實(shí)軸比橢圓的長(zhǎng)軸短8，雙曲線(xiàn)的離心率與橢圓離心率之比是5：1，求橢圓和雙曲線(xiàn)方程。答案 設(shè)各為雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)，依題意有：，解這個(gè)方程組，得于是，橢圓短半軸長(zhǎng)，雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)，故橢圓、雙曲線(xiàn)方程分別是?！纠?】如果雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，求離心率。解析 欲求離心率，只需求得關(guān)系即可，注意漸近線(xiàn)的位置。答案 方法一：若雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為。由題意知，又，。若雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為。由題意知：，綜上知：或方法二：設(shè)具

7、有漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為，即。若，焦點(diǎn)在軸上，。 若，焦點(diǎn)在軸上，?；?。規(guī)律總結(jié) 漸近線(xiàn)不能確定雙曲線(xiàn)的位置，因此不論是方法一，還是方法二，都要考慮到其位置的兩種形式。【變式訓(xùn)練4】 設(shè)雙曲線(xiàn)的半焦距為，直線(xiàn)過(guò)、兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，雙曲線(xiàn)的離心率為 。答案 直線(xiàn)的方程為，即。于是有，即。兩邊平方得，解得或，故，。 題型3已知漸近線(xiàn)求方程 【例5】 已知雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的方程為：。 (1)若雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)，求雙曲線(xiàn)方程； (2)若雙曲線(xiàn)的焦距是，求雙曲線(xiàn)方程； (3)若雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)間的距離是6，求雙曲線(xiàn)方程。 解析 可設(shè)出雙曲線(xiàn)方程的統(tǒng)一形式，依據(jù)題設(shè)建立待定參數(shù)方程或方程組求解。 答案 解法一：

8、（1）由雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的方程，可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為：，雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P，。又漸近線(xiàn)斜率，解得故所求雙曲線(xiàn)方程為：。(2)設(shè)雙曲線(xiàn)方程為：或。 。 由漸近線(xiàn)斜率得或， 故由或 解得或所求雙曲線(xiàn)方程為：，或。（3）由（2）所設(shè)方程可得：或解得或故所求雙曲線(xiàn)方程為：或。解法二：由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程?？稍O(shè)雙曲線(xiàn)方程為，(1)雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，。故所求雙曲線(xiàn)方程為：。(2)若，則，由題設(shè)。所求雙曲線(xiàn)方程為：。若，則，由，。所求雙曲線(xiàn)方程為：。故所求雙曲線(xiàn)方程為：或(3)若，則。由題設(shè)。所求雙曲線(xiàn)方程為：。若A0，則由題設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為：。故所求雙曲線(xiàn)方程為：，或。規(guī)律總結(jié) (1)解法一是設(shè)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用條件

9、列出獨(dú)立的關(guān)于的等式，解方程組求出待定系數(shù)；(2)解法二利用了共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系，由題設(shè)條件建立參數(shù)的關(guān)系確定，但應(yīng)特別注意值的符號(hào)與雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)。兩種解法都很重要，應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)會(huì)?！咀兪接?xùn)練5】 是否存在同時(shí)滿(mǎn)足下列條件的雙曲線(xiàn)，若存在，求出其方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。漸近線(xiàn)方程為及；點(diǎn)到雙曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值為。答案 假設(shè)存在同時(shí)滿(mǎn)足題中的兩個(gè)條件的雙曲線(xiàn)。(1)若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，因?yàn)闈u近線(xiàn)方程為，所以由條件，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由條件，若2b4，即b2，則當(dāng)時(shí)，這不可能，無(wú)解；若2b4，即b2，則當(dāng)時(shí)，解得（，應(yīng)舍去)，此時(shí)存在雙曲線(xiàn)方程為。 (2)若雙曲線(xiàn)的焦

10、點(diǎn)在軸上，則可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，。所以，此時(shí)存在雙曲線(xiàn)方程為。規(guī)律 方法 總結(jié)1.理解雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)應(yīng)注意離心率的范圍：e1，應(yīng)區(qū)別于橢圓的離心率的范圍。2. 求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程的方法：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，一般情況下，先求，再寫(xiě)出方程，兩者容易混淆?？蓪㈦p曲線(xiàn)方程中右邊的“1”換成“0”，然后因式分解即得漸近線(xiàn)方程，這樣就不至于記錯(cuò)了。 3.已知雙曲線(xiàn)。、為左、右焦點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，設(shè)，則有：。 4.已知雙曲線(xiàn)，直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)，且垂直于實(shí)軸交雙曲線(xiàn)于、兩點(diǎn)，弦AB叫通徑，其長(zhǎng)為。定時(shí) 鞏固 檢測(cè)第1課時(shí)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)基礎(chǔ)訓(xùn)練1.雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)

11、是 （ ）A. B.或C. D.或【答案】 A(點(diǎn)撥：利用雙曲線(xiàn)特點(diǎn)求解。)2.雙曲線(xiàn)的離心率是 （ ）A. B. C. D.【答案】 C(點(diǎn)撥：利用雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程求得即可。)3.雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距成等差數(shù)列，那么它的離心率為（ ）A. B. C.2 D.3【答案】B(點(diǎn)撥：由等差數(shù)列可得三者方程，再由三者關(guān)系消元即可。)4.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為 ?！敬鸢浮?點(diǎn)撥：利用公式。）5.與橢圓共焦點(diǎn)，離心率為的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ?！敬鸢浮?點(diǎn)撥：可先求焦點(diǎn)坐標(biāo)再利用離心率求之即可。)能力提升6.雙曲線(xiàn)的離心率為，則雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的夾角是 。【答案】90(點(diǎn)撥：離心率為的雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方

12、程為。) 7.設(shè)圓過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在雙曲線(xiàn)上，則圓心到雙曲線(xiàn)中心的距離是 ?！敬鸢浮?點(diǎn)撥：畫(huà)出圖形即可。)8.根據(jù)以下條件，分別求出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。(1)過(guò)點(diǎn)，離心率。(2)是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，且離心率為2。【答案】(1)若雙曲線(xiàn)的實(shí)軸在軸上，設(shè)為所求，由，得。 由點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，得。 又，由、得。若雙曲線(xiàn)的實(shí)軸在軸上，設(shè)為所求。同理有，解之，得(不符，舍去)。故所求雙曲線(xiàn)方程為。(2)設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，因，而，由雙曲線(xiàn)的定義，得。由余弦定理，得又，得。故所求雙曲線(xiàn)的方程為。第2課時(shí) 雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)的應(yīng)用基礎(chǔ)訓(xùn)練1.過(guò)點(diǎn)(2，-2)且與有公共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程是 （ ）A. B.C. D.【答】A（點(diǎn)撥：設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為）2.雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)夾角是 （ ）A. B.C. D.【答案】B（點(diǎn)撥：因?yàn)闈u近線(xiàn)的斜率的地對(duì)值為。）3.已知雙曲線(xiàn)的離心率，則的取值范圍（ ）A. B C. D.【答案】A（點(diǎn)撥：顯然有，其次有。）4.下列各對(duì)雙曲線(xiàn)中，既有相同離心率又有相同漸近線(xiàn)的是 （ ）A.和B.和C.和D.和【答案】D(點(diǎn)撥：依據(jù)雙曲線(xiàn)的離心率定義和漸近線(xiàn)的求法。)能力提升5.雙曲線(xiàn)與橢圓有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線(xiàn)為