專題橢圓的離心率解法大全

1、專題：橢圓的離心率一，利用定義求橢圓的離心率（ 或 ）1，已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率 2，橢圓的離心率為，則 解析當焦點在軸上時，； 當焦點在軸上時，綜上或33，已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是4，已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為 解析由，橢圓的離心率為5，已知則當mn取得最小值時，橢圓的的離心率為6，設橢圓=1（ab0）的右焦點為F1，右準線為l1，若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點F1到l1的距離，則橢圓的離心率是。二，運用幾何圖形中線段的幾何意義結合橢圓的定義求離心率1，在ABC中，如果一個橢圓過A、B兩

2、點，它的一個焦點為C，另一個焦點在AB上，求這個橢圓的離心率 2， 如圖所示,橢圓中心在原點,F是左焦點,直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為( ) 解析 3，以橢圓的右焦點F2為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于M、N兩點，橢圓的左焦點為F1，直線MF1與圓相切，則橢圓的離心率是變式（1）：以橢圓的一個焦點F為圓心作一個圓，使該圓過橢圓的中心O并且與橢圓交于M、N兩點，如果MF=MO，則橢圓的離心率是4,橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點為F1 、F2 ，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？解：F1F2=2c BF1=c BF2=

3、c c+c=2a e= = -1 變式（1）：橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點為F1 、F2 ，點P在橢圓上，使OPF1 為正三角形，求橢圓離心率？ 解：連接PF2 ,則OF2=OF1=OP,F1PF2 =90°圖形如上圖，e=-1 變式（2） 橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點為F1 、F2 ，AB為橢圓的頂點，P是橢圓上一點，且PF1 X軸，PF2 AB,求橢圓離心率？ 解：PF1= F2 F1=2c OB=b OA=a PF2 AB = 又 b= a2=5c2 e=變式(3):將上題中的條件“PF2 AB”變換為“(為坐標原點)” 相似題：橢圓 +

4、=1(a>b >0)，A是左頂點，F(xiàn)是右焦點，B是短軸的一個頂點，ABF=90°，求e? 解：AO=a OF=c BF=a AB=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 兩邊同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去)變式(1):橢圓 +=1(a>b >0)，e=, A是左頂點，F(xiàn)是右焦點，B是短軸的一個頂點，求ABF？點評：此題是上一題的條件與結論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問題。答案：90°引申：此類e=的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質：（1）ABF=90°（2）假設下端點為B1 ,則ABF

5、B1 四點共圓。（3）焦點與相應準線之間的距離等于長半軸長。變式(2): 橢圓(ab0)的四個頂點為A、B、C、D，若四邊形ABCD的內切圓恰好過橢圓的焦點，則橢圓的離心率e = 提示：內切圓的圓心即原點，半徑等于c，又等于直角三角形AOB斜邊上的高，由面積得：，但4，設橢圓的左、右焦點分別為，如果橢圓上存在點P，使，求離心率e的取值范圍。解：設法1：利用橢圓范圍。由得，將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得。由橢圓的性質知，得。附：還可以用參數(shù)的方法也能求出離心率的范圍（與法1類似）法2：判別式法。由橢圓定義知，又因為，可得，則，是方程的兩個根，則解法3：正弦定理設記 又因為，且 則 則，

6、 所以解法5：利用基本不等式由橢圓定義，有平方后得解法6：巧用圖形的幾何特性由，知點P在以為直徑的圓上。又點P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點P，故有變式(1)：圓 +=1(a>b >0)的兩焦點為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點，且PF1F2 =5PF2F1 ,求橢圓的離心率e分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應用。解：由正弦定理： = 根據和比性質：= 變形得： =ePF1F2 =75°PF2F1 =15° e= =點評：在焦點三角形中，使用第一定義和正弦定理可知e=變式(2)：橢圓 +=1(a>b &

7、gt;0)的兩焦點為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是橢圓上一點，且F1PF2 =60°，求橢圓離心率e的取值范圍？分析：上題公式直接應用。解：設F1F2P=，則F2F1P=120°- e= e<1變式(3)：過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率e的值解析：因為，再由有從而得變式(4)：若為橢圓的長軸兩端點，為橢圓上一點，使，求此橢圓離心率的最小值。變式(5)：8、橢圓上一點A關于原點的對稱點為B，F(xiàn)為其右焦點，若，設，且，則橢圓的離心率的取值范圍為 解析：設為橢圓左焦點，因為對角線互相平分，所以四邊形為平行四邊形且為矩形，所以

8、，由得。xyA1B2A2OTM6，如圖，在平面直角坐標系中，為橢圓的四個頂點，為其右焦點，直線與直線相交于點T，線段與橢圓的交點恰為線段的中點，則該橢圓的離心率為 .直線的方程為，直線的方程為，兩式聯(lián)立得T的坐標，所以中點M的坐標為，因為點M在橢圓上，代人方程得 則 所以7，橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，滿足1·2 =0的點M總在橢圓內部，則e的取值范圍？F2MF1O分析：1·2 =0以F1F2 為直徑作圓，M在圓O上，與橢圓沒有交點。解：c<b a2=b2+c2 >2c2 0<e<如圖所示,

9、畫圖可知點的軌跡是以為直徑的圓，則它在橢圓內部,故,8，橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P為右準線L：x=上一點，F(xiàn)1P的垂直平分線恰過F2 點，求e的取值范圍？分析：思路1,如圖F1P與 F2M 垂直，根據向量垂直，找a、b、c的不等關系。MPF2F1O 思路2：根據圖形中的邊長之間的不等關系，求e解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)既(, ) 則1 =-( +c, y0 ) 2 =-( -c, ) 1·2 =0( +c, y0 ) ·( -c, )=0 ( +c)·( -

10、c)+ =0a2-3c20 e<1解法2：F1F2=PF2=2c PF2-c 則2c-c 3c 3c2a2 則e<1總結：對比兩種方法，不難看出法一具有代表性，可謂通法，而法二是運用了垂直平分線的幾何性質，巧妙的運用三角形邊的大小求解的妙法。所以垂直平分線這個條件經常在解析幾何中出現(xiàn)，對于它的應用方法，值得大家注意。9，如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A、D為一橢圓的兩個焦點，其余四個頂點B、C、E、F均在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍是解：以AD所在直線為X軸，AD中點為坐標原點建立坐標系。設正六邊形的邊長為r，則橢圓的半焦距，易知AOF為等邊三角形，F(xiàn)（，代入橢圓方程中，得：，

11、即：，又法二：如圖，連結AE，易知，設，由橢圓定義，有：， 10，橢圓 +=1(a>b >0)，過左焦點F1 且傾斜角為60°的直線交橢圓與AB兩點，若F1A=2BF1,求橢圓的離心率e的值解：設BF1=m 則AF2=2a-am BF2=2a-m在AF1F2 及BF1F2 中，由余弦定理得：兩式相除 =e=練習題：1，橢圓上有一點M，是橢圓的兩個焦點，若，求橢圓的離心率.解析: 由橢圓的定義，可得 又，所以是方程的兩根，由， 可得，即所以，所以橢圓離心率的取值范圍是2，在中，若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率 解析3，已知為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,若, 則此橢圓的離心率為 _. 解析 三角形三邊的比是4，在平面直角坐標系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 解析5， 在中，若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率 【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率解析 ，6，已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為 解析 在中，由正弦定理得，則由已知，得，即，由橢圓的定義知 ，即，由解法三知橢圓的離