北京市東城區(qū)第一學(xué)期高三期末數(shù)學(xué)文試題解析版

1、2019屆北京市東城區(qū)第一學(xué)期高三期末數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1若集合A=x|-2x0，B=-2，-1，0，1，2，則AB=（）A B C D【答案】C【解析】直接利用交集運(yùn)算得答案【詳解】集合表示到0的所有實(shí)數(shù)，集合表示5個(gè)整數(shù)的集合，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了交集的概念及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題2下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是（）A B C D【答案】D【解析】直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一求解求解即可得答案.【詳解】，為純虛數(shù)的是，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算及基本概念，是基礎(chǔ)題3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以O(shè)x為始邊，終邊在射線y=2x（x0）上，則cos的值是（）A B C D【答

2、案】A【解析】在終邊上任意取一點(diǎn)，再利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值【詳解】角以為始邊，終邊在射線上，在終邊上任意取一點(diǎn)，則，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，在角的終邊上任取一點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題4若滿足 則的最小值為（ ）A B C D【答案】B【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義即可得到結(jié)論【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由，得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最小，此時(shí)，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意

3、是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入，那么輸出的值為( )A B C D【答案】B【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，可得程序框圖的實(shí)質(zhì)是計(jì)算排列數(shù)的值，由，即可計(jì)算得解【詳解】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，可得程序框圖實(shí)質(zhì)是計(jì)算排列數(shù)的值，當(dāng)，時(shí)，可得：，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖和算法，屬于基本知識(shí)的考查6設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，則“ab，cd”是“a+cb+d”的（）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要

4、條件 D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)不等式的可加性可得成立；反之不成立，例如取，【詳解】根據(jù)不等式的可加性可得成立；反之不成立，例如取，滿足，但是不成立，是的充分不必要條件，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7某三棱錐的三視圖如圖所示，在此三棱錐的六條棱中，最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）A2 B C D3【答案】D【解析】由三棱錐的三視圖知該三棱錐是三棱錐，其中底面，由此能求出在該三棱錐中，最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)【詳解】由三棱錐的三視圖知該三棱錐是如圖所示的三棱錐，其中底面，在該三棱錐中，最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為，故選D【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐中最長(zhǎng)棱

5、長(zhǎng)的求法，考查三棱錐性質(zhì)及其三視圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題8地震里氏震級(jí)是地震強(qiáng)度大小的一種度量地震釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M已知兩次地震的里氏震級(jí)分別為8.0級(jí)和7.5級(jí)，若它們釋放的能量分別為E1和E2，則的值所在的區(qū)間為（）A B C D【答案】B【解析】先把數(shù)據(jù)代入已知解析式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出【詳解】，的值所在的區(qū)間為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)用以及運(yùn)算，熟練掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題9已知向量=（1，-2），=（2，m），若，則m=_【答案】1【解析】根據(jù)即

6、可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出【詳解】；，故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10在ABC中，已知a=1，則c=_【答案】【解析】先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可求出【詳解】在中，已知，由正弦定理可得，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和同角的三角函數(shù)的關(guān)系在解三角形中的應(yīng)用，考查了運(yùn)算和求解能力，屬于基礎(chǔ)題11若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，試寫出一組滿足條件的數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式：an=_，bn=_【答案】-n 2 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由等差數(shù)列

7、和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得，即可得到所求通項(xiàng)公式，注意答案不唯一【詳解】等差數(shù)列的公差設(shè)為，等比數(shù)列的公比設(shè)為，可得， 即為， 可取，可得，則，故答案為，2【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題12過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OAB為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率e=_【答案】【解析】利用已知條件列出方程，轉(zhuǎn)化為求解即可【詳解】過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線，交雙曲線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等腰直角三角形，可得，即，可得：，解得故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查

8、轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題. 常見(jiàn)雙曲線離心率的求法有：1、直接求出，求解；2、變用公式整體求出；3、構(gòu)造的齊次式解出等.13小菲在學(xué)校選修課中了解到艾賓浩斯記憶曲線，為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個(gè)月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖，擬合了記憶保持量與時(shí)間（天）之間的函數(shù)關(guān)系：某同學(xué)根據(jù)小菲擬合后的信息得到以下結(jié)論：隨著時(shí)間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低；9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%；26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%其中正確的結(jié)論序號(hào)有_（注：請(qǐng)寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】【解析】由分段函數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，可判斷；由的值可判斷；由的值可判斷【詳解】，可得隨

9、著的增加而減少，故正確；當(dāng)時(shí)，9天后，小菲的單詞記憶保持量低于，故正確；，故錯(cuò)誤，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是單調(diào)性和函數(shù)的取值范圍的求法，考查判斷能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題14已知函數(shù)f（x）=x3-4x，g（x）=sinx（0）若x-a，a，都有f（x）g（x）0，則a的最大值為_(kāi)；此時(shí)=_【答案】4 【解析】函數(shù)，均為奇函數(shù)，只需考慮，都有即可，結(jié)合圖象可得當(dāng)且僅當(dāng)在上，在滿足，才能取到最大值，進(jìn)而可得.【詳解】函數(shù)，均為奇函數(shù)只需考慮，都有即可函數(shù)在滿足，在滿足，當(dāng)且僅當(dāng)在上，在滿足，才能取到最大值，（如圖）此時(shí)，故答案為：4，【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱性

10、應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合法，最終將題意轉(zhuǎn)化為與0的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題三、解答題15已知等差數(shù)列an滿足a1=1，a2+a4=10（）求an的通項(xiàng)公式；（）若，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【答案】（） （）【解析】（）利用等差數(shù)列，求出數(shù)列的公差，然后求解的通項(xiàng)公式；（）通過(guò)，利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列求和公式求解數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】（I）設(shè)的公差為，因?yàn)?，所以所以，解得所?（）由（I）知，所以的前項(xiàng)和為=【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念，以及數(shù)列的求和，屬于高考中?？贾R(shí)點(diǎn)，難度不大；常見(jiàn)的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類似

11、于，錯(cuò)位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.16已知函數(shù)（）求f（x）的最小正周期；（）求證：對(duì)于任意的，都有【答案】（） （）詳見(jiàn)解析【解析】（）先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，求得f（x）的最小正周期；（）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，證得【詳解】（）=，所以，的最小正周期（）證明：，所以對(duì)于任意的，都有【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題17某中學(xué)有學(xué)生500人，學(xué)校為了解學(xué)生課外閱讀時(shí)間，從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，收集了他們2018年10月課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，分為5組：1

12、0，12），12，14），14，16），16，18），18，20，得到如圖所示的頻率分布直方圖（）試估計(jì)該校所有學(xué)生中，2018年10月課外閱讀時(shí)間不小于16小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；（）已知這50名學(xué)生中恰有2名女生的課外閱讀時(shí)間在18，20，現(xiàn)從課外閱讀時(shí)間在18，20的樣本對(duì)應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)該校學(xué)生2018年10月課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)【答案】（）150（）7（）14.68【解析】（）由頻率分布直方圖求出課外閱讀時(shí)間不小于16小時(shí)的樣本的頻率為0.30，由此能估計(jì)該校所有學(xué)生中，2018年10月課外閱讀時(shí)間不小于

13、16小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；（）閱讀時(shí)間在18，20的樣本的頻率為0.10從而課外閱讀時(shí)間在18，20的樣本對(duì)應(yīng)的學(xué)生人數(shù)為5這5名學(xué)生中有2名女生，3名男生，設(shè)女生為A，B，男生為C，D，E，從中抽取2人，利用列舉法能求出至少抽到1名女生的概率；（）由頻率分布直方圖能估計(jì)該校學(xué)生2018年10月課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)【詳解】（）0.102+0.052=0.30，即課外閱讀時(shí)間不小于16小時(shí)的樣本的頻率為0.30因?yàn)?000.30=150，所以估計(jì)該校所有學(xué)生中，2018年10月課外閱讀時(shí)間不小于16小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為150.（）閱讀時(shí)間在18，20的樣本的頻率為0.052=0.10因?yàn)?00.10=5，

14、即課外閱讀時(shí)間在18，20的樣本對(duì)應(yīng)的學(xué)生人數(shù)為5這5名學(xué)生中有2名女生，3名男生，設(shè)女生為A，B，男生為C，D，E，從中抽取2人的所有可能結(jié)果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中至少抽到1名女生的結(jié)果有7個(gè)，所以從課外閱讀時(shí)間在18，20的樣本對(duì)應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，至少抽到1名女生的概率為p=（）根據(jù)題意，0.08211+0.12213+0.15215+0.10217+0.05219=14.68（小時(shí)）由此估計(jì)該校學(xué)生2018年10月課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)為14.68小時(shí)【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、概率、平

15、均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題18如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，A1B1B1C1，AA1=AB=2，BC=1，E為A1C1中點(diǎn)（）求證：A1B平面AB1C1；（）求三棱錐B-ECC1的體積；（）設(shè)平面EAB與直線B1C1交于點(diǎn)H，求線段B1H的長(zhǎng)【答案】（）詳見(jiàn)解析（）（）【解析】（）證明平面，推出，然后證明平面，得到，即可證明平面；（）說(shuō)明，證明平面，通過(guò)求解即可；（）證明，說(shuō)明為中點(diǎn)，然后求解即可【詳解】（）因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，所以BB1平面A1B1C1因?yàn)锽1C1平面A1

16、B1C1，所以BB1B1C1又因?yàn)锽1C1A1B1，A1B1BB1=B1，所以B1C1平面AA1B1B因?yàn)锳1B平面AA1B1B，所以A1BB1C1因?yàn)锳A1=AB=2，所以四邊形AA1B1B為菱形所以A1BAB1因?yàn)锽1C1AB1=B1，所以A1B平面AB1C1 （）由已知，BB1平面A1B1C1，A1B1平面A1B1C1，所以BB1A1B1因?yàn)锳1B1B1C1，B1C1BB1=B1，所以A1B1平面BB1C1C又A1B1=AB=2，故A1到平面BB1C1C的距離為2因?yàn)镋為A1C1中點(diǎn)，所以E點(diǎn)到平面BB1C1C距離為1所以 （）在三棱柱ABC-A1B1C1中，因?yàn)镋，H為平面EAB與平面

17、A1B1C1的公共點(diǎn)，所以平面EAB平面A1B1C1=EH因?yàn)槠矫鍭BC平面A1B1C1，AB平面ABC，所以AB平面A1B1C1又平面A1B1C1平面EAB=EH，所以EHAB又ABA1B1，所以EHA1B1因?yàn)镋為A1C1中點(diǎn)，所以H為B1C1中點(diǎn)所以【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判斷定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面平行以及幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個(gè)證明過(guò)程圍繞著線面垂直這個(gè)核心而展開(kāi)，這是化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在.19已知函數(shù)，aR（）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0）處的切

18、線方程；（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間【答案】（）y=0（）單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，-），單調(diào)遞增區(qū)間為（-，-1）（-，+）【解析】（）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程；（II）當(dāng)時(shí)，令，得，分三種情況，當(dāng)，當(dāng)，討論的單調(diào)區(qū)間【詳解】（）f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)a=1時(shí)，f（0）=0，f（0）=0，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0）處的切線方程為y=0 （）f（x）=aex（x+1）-x-1=（x+1）（aex-1）（1）當(dāng)a0時(shí)，aex-10，所以當(dāng)x-1時(shí)，f（x）0；當(dāng)x-1時(shí)，f（x）0所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-，-1），單調(diào)遞減區(qū)間為（

19、-1，+）（2）當(dāng)a0時(shí)，令f（x）=0，得x1=-1，x2=-lna當(dāng)-lna=-1，即a=e時(shí)，f（x）0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-，+），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)-lna-1，即ae時(shí)，當(dāng)-lnax-1時(shí)，f（x）0；當(dāng)x-lna或x-1時(shí)，f（x）0所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-lna，-1），單調(diào)遞增區(qū)間為（-，-lna），（-1，+）；當(dāng)-lna-1，即0ae時(shí)，當(dāng)-1x-lna時(shí)，f（x）0；當(dāng)x-1或x-lna時(shí)，f（x）0所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，-lna），單調(diào)遞增區(qū)間為（-，-1），（-lna，）【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)零點(diǎn)、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了計(jì)算能力和分類討論的思想，第一步確定切點(diǎn)；第二步求斜率，即求曲線上該點(diǎn)