在不平的地面放穩(wěn)椅子

1、在不平的地面放穩(wěn)椅子摘 要針對在不平的地面將椅子放平穩(wěn)的問題，文章建立了三個模型來解決該問題。將椅子的四腳連線看作特殊的四邊形進(jìn)行求解。對于問題1，正方形是最簡單也是最特殊的一種情況，我們用連續(xù)函數(shù)零點存在定理，證明出一定可以使椅子放穩(wěn)。對于問題2，我們采用和問題1相同的方法與過程，證明出可以放穩(wěn)。對于問題3，等腰梯形和正方形、長方形有一些區(qū)別，它更加一般化，旋轉(zhuǎn)的區(qū)間范圍更大，在上進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，也可以找出能放穩(wěn)的點，方法與問題1、問題2相同。文章在解決這些特殊化問題后，對一般性結(jié)論進(jìn)行了猜想與論證，并最終得出結(jié)論，對一般的四邊形，也能使它在不平的地面上放穩(wěn)。關(guān)鍵詞：椅子；不平地面；放穩(wěn)；數(shù)學(xué)模型

2、；連續(xù)函數(shù)；零點存在1.問題的重述在不平的地面上，椅子通常只有三只腳著地，只需稍挪動幾次，就能使四只腳同時著地，即放穩(wěn)了。問題1：椅子四腳連線呈正方形；問題2：椅子四腳連線呈長方形；問題3：椅子四腳連線呈等腰梯形。2.問題的分析當(dāng)椅子放穩(wěn)時應(yīng)為椅子的四條腿同時著地（即椅子的四條腿腳與地面的的距離為零），用連續(xù)函數(shù)的零點存在定理，找出在某一范圍內(nèi)一定存在的點，能讓四條腿同時著地。3模型的假設(shè)與符號說明31 模型的假設(shè)（1）假設(shè)一：椅子的四條腿一樣長，將椅子與地面的接觸看作一個點。（2）假設(shè)二：將不平的地面看作連續(xù)的曲面，沒有間斷點。（3）假設(shè)三：椅子在任何位置至少有三腳著地，才能保證椅子能放平穩(wěn)

3、。32 符號說明符號一：為四邊形上四點，為旋轉(zhuǎn)后四邊形上四點。符號二：為四邊形的中心。符號三：為旋轉(zhuǎn)角度。4模型的準(zhǔn)備連續(xù)函數(shù)零點存在定理：對，若在上為連續(xù)函數(shù)，且，則，使得.5模型的建立與求解51 問題1的模型建立與求解模型建立：1.正方形為椅子四腳的連線， 2.椅子中心為點， 3.當(dāng)椅子繞中心點旋轉(zhuǎn)度后，椅子從正方形變?yōu)檎?形，旋轉(zhuǎn)角度為.設(shè)椅腳與地面的距離之和為，兩腳與地面距離之和為，其中、。模型求解：由假設(shè)可知，地面為連續(xù)曲面,為連續(xù)函數(shù).至少三個腳著地,中至少有一個為零，不妨令, 當(dāng)時，.將此問題轉(zhuǎn)換為證明下列結(jié)論：已知和為連續(xù)函數(shù)，.證明：使證：令則和連續(xù)，也連續(xù)，使,即52 問

4、題2的模型建立與求解模型建立：1.長方形為椅子四腳的連線， 2.椅子中心為點， 3.當(dāng)椅子繞中心點旋轉(zhuǎn)度后，椅子從長方形變?yōu)殚L方形 ，旋轉(zhuǎn)角度為.設(shè)椅腳與地面的距離之和為，兩腳與地面距離之和為，其中、。模型求解：由假設(shè)可知，地面為連續(xù)曲面，為連續(xù)函數(shù)至少三個腳著地，中至少有一個為零，不妨令當(dāng)時，將此問題轉(zhuǎn)換為證明下列結(jié)論：已知和為連續(xù)函數(shù)，證明：使證：令則和連續(xù)，也連續(xù)，使，即53 問題3的模型建立與求解 兩腳與地面的距離和為兩腳與地面的距離和為，在任何情況下至少三腳著地，即至少有一個為，并且. 當(dāng)時，不妨設(shè).以對角線、的交點為中心，旋轉(zhuǎn)，使與原來的重合，此時不考慮所處的位置，則邊所對應(yīng)的函數(shù)

5、值由原來的變?yōu)?，?構(gòu)造輔助函數(shù)則.有連續(xù)函數(shù)的零點存在定理可知：之間一正一負(fù)，至少有一個在任何情況下至少三腳著地，即至少有一個為，故.所以，也存在一個適當(dāng)?shù)慕嵌饶苁顾哪_連線呈等腰梯形的椅子在不平的地面放平穩(wěn).6模型結(jié)果的分析與檢驗 椅子問題雖然是日常生活中一件非常普通的事，但在實際中卻有指導(dǎo)意義。因為我們事先不知道要把椅子放在什么樣的地面上，所以也不可能對地面提出任何要求，這對椅子的設(shè)計提出了一定的要求。上述結(jié)論不只是對制作椅子有用，對很多四腳物體，如桌子，家用電器，四腳機器或設(shè)備等，都有設(shè)計方面的應(yīng)用價值。 用函數(shù)的觀點來解決問題，引入合適的函數(shù)式關(guān)鍵。本題用變量表示椅子的位置，用的兩個函

6、數(shù)表示椅子四腳與地面的豎直距離，較為準(zhǔn)確與合適。7模型的推廣與改進(jìn)方向 如果將椅子的四腳連線看作一般的四邊形而非特殊的，下面我們進(jìn)行分析與討論。分析：首先，椅子繞中心軸旋轉(zhuǎn)一周，顯然，椅子與地面的接觸點組成了三維空間中的一條封閉曲線，下面考慮這條封閉曲線的性質(zhì)其次，選擇一個水平面，那么曲線中的每一個點與水平面都有一個距離，并且這個距離是椅子位置變量的連續(xù)函數(shù)。如圖，記封閉曲線上關(guān)于中心軸對稱的、兩點與水平面的距離之和為，而對稱的、兩點與水平面的距離之和為，都是連續(xù)函數(shù)，顯然，四只腳同時著地也就是兩個距離和相等。最后，歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題：已知是的周期為的連續(xù)函數(shù)，對于，證明：，使得證明：構(gòu)造函數(shù)顯然

7、連續(xù)，是的周期為的連續(xù)函數(shù)，那么根據(jù)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值得性質(zhì)，使那么如果兩個不等式有一個等號成立，那么問題得證；否則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點定理，使，即對于一般的四邊形，如圖，讓、兩點保持定長在封閉曲面上移動，點與水平面的距離是一個雙變量的連續(xù)函數(shù)；讓、兩點保持定長在封閉曲面上移動，點與水平面的距離是一個雙變量的連續(xù)函數(shù).具體結(jié)論：在封閉曲面上，在保持定長的移動過程中，線段中的點與水平面的距離是一個雙變量的連續(xù)函數(shù)可以取到最大值和最小值，線段中的點與水平面的距離是一個雙變量的連續(xù)函數(shù)可以取到最大值和最小值.如果，那么一定存在一點，使得，即椅子可以放平。8模型的優(yōu)缺點優(yōu)點：該模型較全面的研究了在不平的地面上如何使椅子放平，對椅子四腳連線所稱的形狀進(jìn)行了分別討論，同時也對一般四邊形的問題進(jìn)行了推廣。缺點：在構(gòu)建模型時，對這種符號以及函數(shù)所表達(dá)的意義表述不是太清晰，在推廣到一般問題時，只是證明了可以放平，但沒