復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用參考模板

1、復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 數(shù)學(xué)是一門很抽象的學(xué)科，而復(fù)變函數(shù)更是如此，如果直接想象很難和實(shí)際聯(lián)系起來。 經(jīng)過兩年的大學(xué)學(xué)習(xí)就目前學(xué)習(xí)的知識(shí)而言，感覺和復(fù)變函數(shù)聯(lián)系比較緊密的是有兩方面，一是電流方面；二是在信號(hào)方面。  我們?nèi)粘Ｖ械碾娏鞫际墙涣魅嗟模辔蝗绻ㄟ^三角函數(shù)計(jì)算的話較為復(fù)雜和抽象，很多工程問題無法解決，引入虛數(shù)則較大簡(jiǎn)化了計(jì)算的過程，是很多工程問題迎刃而解。可以通過RCL電路我們也用虛數(shù)去處理相角關(guān)系，但電感本身并不是虛的。這是人為的定義，但這也在一定意義上揭示了虛數(shù)有可能存在的某些物理特征。成功而且巧妙的解決了電流的相位問題。  我們打電話

2、，發(fā)短信是通過電磁波傳遞信號(hào)，在信號(hào)方面也極大的應(yīng)用了復(fù)變函數(shù)。信號(hào)分析和其他領(lǐng)域使用復(fù)數(shù)可以方便的表示周期信號(hào)。模值|z|表示信號(hào)的幅度，輻角arg(z）表示給定頻率的正弦波的相位。利用傅立葉變換可將實(shí)信號(hào)表示成一系列周期函數(shù)的和。這些周期函數(shù)通常用形式如下的復(fù)函數(shù)的實(shí)部表示：其中對(duì)應(yīng)角頻率，復(fù)數(shù)z包含了幅度和相位的信息。于是當(dāng)我們要的信息得以傳遞。  所以，不管是我們使用家用電器，用手機(jī)問候遠(yuǎn)方的朋友，還是使用衛(wèi)星電視觀看電視劇，我們無時(shí)無刻不在接觸著這位很抽象而無處不在的朋友復(fù)變函數(shù)。 一、復(fù)變函數(shù)的簡(jiǎn)介     復(fù)數(shù)的概念起源

3、于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開平方的情況,它的一般形式是：，其中是虛數(shù)單位。    多復(fù)分析是數(shù)學(xué)中研究多個(gè)復(fù)變量的全純函數(shù)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的分支學(xué)科，它和單復(fù)變函數(shù)有著很強(qiáng)的淵源，但其特有的困難和復(fù)雜性，導(dǎo)致在研究的重點(diǎn)和方法上，都和單復(fù)變函數(shù)論有明顯的區(qū)別.因?yàn)槎鄰?fù)變?nèi)兒瘮?shù)的性質(zhì)在很大程度上由定義區(qū)域的幾何和拓?fù)湫再|(zhì)所制約，因此，其研究的重點(diǎn)經(jīng)歷了一個(gè)由局部性質(zhì)到整體性質(zhì)的逐步的轉(zhuǎn)移.它廣泛地使用著微分幾何學(xué)、代數(shù)幾何、拓?fù)鋵W(xué)、微分方程等相鄰學(xué)科中的概念和方法，不斷地開辟前進(jìn)的道路，更新和拓展研究的內(nèi)容和領(lǐng)域。 &#

4、160;   就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué).當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法國的Laplace也隨后研究過復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū).。二、復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用       近代有些函數(shù)論研究工作是考慮把具有某種性質(zhì)的一族函數(shù)合在一起研究。事實(shí)上，P·蒙泰爾

5、的解析函數(shù)正規(guī)族就應(yīng)屬于這種類型的研究，并且顯示了其威力.從這種觀點(diǎn)出發(fā)的研究有了很大發(fā)展.它與其他數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生了較密切的聯(lián)系. 復(fù)變函數(shù)理論從一個(gè)變數(shù)推廣到多個(gè)變數(shù)是十分自然的想法，總稱為復(fù)分析.但是多變數(shù)時(shí)，定義域的復(fù)雜性大大增加了，函數(shù)的性質(zhì)較之單變數(shù)時(shí)也有顯著的差異，它的研究需要借助更多的近代數(shù)學(xué)工具.。1 / 6    從柯西算起，復(fù)變函數(shù)論已有了150年的歷史.它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分.它曾經(jīng)推動(dòng)過一些學(xué)科的發(fā)展，并且常常作為一個(gè)有力的工具被應(yīng)用在實(shí)際問題中.它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程.

6、復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用。 物理學(xué)中的流體力學(xué)，穩(wěn)定平面長，航空力學(xué)等學(xué)科的發(fā)展，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論.復(fù)變函數(shù)論已經(jīng)深入到微積分方程，數(shù)論等學(xué)科，對(duì)它們的發(fā)展很有影響.現(xiàn)如今.復(fù)變函數(shù)論中仍有不少尚待研究的課題，它將在更多數(shù)學(xué)家們的不懈努力下，繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用.比如俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn). 復(fù)變函數(shù)理論以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要組成部分.它推動(dòng)了許多學(xué)科的發(fā)展

7、，在解決某些實(shí)際問題中也是強(qiáng)有力的工具，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。 復(fù)變函數(shù)理論推動(dòng)了許多學(xué)科的發(fā)展，在解決某些實(shí)際問題中也是強(qiáng)有力的工具，復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)，彈性理論中的平面問題的有力工具。而自然科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展有極大的推動(dòng)了復(fù)變函數(shù)的發(fā)展，豐富了它的內(nèi)容。復(fù)變函數(shù)的主要內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。  復(fù)變函數(shù)在很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，其涵蓋面極廣，甚至可以用來解決一些復(fù)雜的計(jì)算問題。復(fù)變函數(shù)可以應(yīng)用在地理信息系統(tǒng)中，因?yàn)镚IS對(duì)復(fù)雜函數(shù)的計(jì)算要求以及空間函數(shù)的分析，復(fù)變函數(shù)

8、的應(yīng)用也滲透到了這個(gè)領(lǐng)域，它對(duì)復(fù)雜函數(shù)的計(jì)算能力使得在GIS上的應(yīng)用也不可或缺。  GIS的操作對(duì)象是空間數(shù)據(jù)和屬性數(shù)據(jù)，即點(diǎn)線，面，體這類有三維要素的地理實(shí)體?？臻g數(shù)據(jù)的最根本特點(diǎn)是每一個(gè)數(shù)據(jù)都按統(tǒng)一的地理坐標(biāo)進(jìn)行編碼，實(shí)現(xiàn)對(duì)其定位，定性和定量的描述，這是其技術(shù)難點(diǎn)之所在。而復(fù)變函數(shù)中的黎曼曲面理論就是用來解決這種問題的。復(fù)變函數(shù)研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多 層面安放在一起而構(gòu)成的一種曲面叫做黎曼曲面，利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點(diǎn)概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對(duì)于某一個(gè)多值函數(shù)，如果能做出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在黎曼曲面

9、上就變成單值函數(shù)。  復(fù)變函數(shù)作為最豐饒的數(shù)學(xué)學(xué)科的分支，復(fù)變函數(shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用尤為可見。特別是在解析函數(shù)的微分理論，積分理論等方面的應(yīng)用，而在這些方面，它與一個(gè)實(shí)際的電路是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，是為我們求解響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系服務(wù)的，這也就是它的基礎(chǔ)應(yīng)用。  針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的時(shí)域分析，相對(duì)應(yīng)的有三個(gè)變換域或傅立葉變換，拉普拉斯變換和Z變換。變換域是信號(hào)與系統(tǒng)的核心內(nèi)容，也是比較難的一部分，原因是變換域的分析方法涉及到工程數(shù)學(xué)的知識(shí)很多，如果沒有扎實(shí)的基礎(chǔ)，學(xué)起來就有一定的難度。  復(fù)變函數(shù)中還有很多知識(shí)點(diǎn)都可以對(duì)應(yīng)到電路中，這可以使我們?cè)谇蠼怆娐穯栴}時(shí)，使問題變

10、得簡(jiǎn)單化。例如：積分變換可以把微分方程變換成初等方程，這樣就可以使求解方便得多，減少大量的計(jì)算，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。另外在求線性系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，用積分變換也是十分方便的，因?yàn)橛梅e分變換不需要考慮初始狀態(tài)，直接運(yùn)用積分變換來求解就可以了，減少了很多思考的過程，加快速度。運(yùn)用復(fù)變函數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)時(shí)域和頻域兩者之間的轉(zhuǎn)換，當(dāng)在解決諧波問題時(shí)，就方便了對(duì)諧波進(jìn)行分析計(jì)算；使用復(fù)頻域的狀態(tài)變量解法可以方便的用計(jì)算機(jī)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行求解。 總的來說，復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用主要包括兩個(gè)方面：一個(gè)方面是在物理學(xué)中的應(yīng)用；另一方面是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。 1、 物理學(xué)中復(fù)變函數(shù)在靜電場(chǎng)中的應(yīng)用 復(fù)變函

11、數(shù)在靜電場(chǎng)問題中的應(yīng)用：  在電磁場(chǎng)的學(xué)習(xí)中，“靜電場(chǎng)的標(biāo)量位”中接觸到了復(fù)變函數(shù)在靜電場(chǎng)問題中的應(yīng)用。 即如果一個(gè)系統(tǒng)為場(chǎng)量和源量分布只與x和y有關(guān)的二維靜電場(chǎng)系統(tǒng)。因?yàn)樵诙S無源區(qū)域內(nèi)，靜電位滿足二維拉普拉斯方程，即 我們發(fā)現(xiàn)，此時(shí)的點(diǎn)位是一個(gè)調(diào)和函數(shù)，通過復(fù)變學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，而且是一對(duì)共軛的調(diào)和函數(shù)。因此，我們可以使用復(fù)變函數(shù)這一數(shù)學(xué)工具來解決二維靜電場(chǎng)問題。  由此在電磁場(chǎng)中引出了復(fù)電位的概念，若，則 （1） （2）只要利用解析函數(shù)應(yīng)滿足的柯西-黎曼條件，即 就可以導(dǎo)出式（1）和（2），可以證明，實(shí)部函數(shù)和虛部

12、函數(shù)的等值線族是相互正交的。由正交特性，可以將平面上的電場(chǎng)強(qiáng)度放在復(fù)平面上來考察，也就是可以將寫成復(fù)數(shù)形式 其中便是復(fù)電位的概念。 利用復(fù)變位可以反映靜電場(chǎng)分布情況，這是通過與已知靜電場(chǎng)問題的解相對(duì)比而得到的。如果有一些有復(fù)雜邊界的靜電系統(tǒng)，則不能通過這種對(duì)比方法來求復(fù)電位，這時(shí)編引入了常用的保角變換，利用保角變換可以把一些具有復(fù)雜邊界的靜電系統(tǒng)變換為有簡(jiǎn)單邊界的典型靜電系統(tǒng)。  運(yùn)用保角運(yùn)算計(jì)算系統(tǒng)的復(fù)電位的思路是這樣的：將復(fù)雜邊界的靜電系統(tǒng)變換為有簡(jiǎn)單邊界的典型靜電系統(tǒng)，由于典型靜電系統(tǒng)的復(fù)電位容易求解，運(yùn)用復(fù)雜邊界與簡(jiǎn)單邊界的關(guān)系，求出典型系統(tǒng)的靜電位之后，就可以通過

13、反變來得到原系統(tǒng)的復(fù)電位了。當(dāng)然，能夠運(yùn)用這種思想需要的理論基礎(chǔ)是黎曼定理和互為單值對(duì)應(yīng)原理。  許瓦茲-克瑞斯托弗爾變換也是一種平面之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，它可以將z平面上的一個(gè)任意多邊形區(qū)域變換為w平面的上半平面的一種變換。  以上便是平面靜磁場(chǎng)問題中的復(fù)變函數(shù)方法，即運(yùn)用復(fù)電位，保角變換（保角映射），許瓦茲-克瑞斯托弗爾變換等來解決問題。  其實(shí)，我認(rèn)為復(fù)變函數(shù)更多的體現(xiàn)在信號(hào)與系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過程中，因?yàn)閺?fù)變函數(shù)的思想一致貫穿與信號(hào)與系統(tǒng)的學(xué)習(xí)中，在時(shí)域中難以解決的問題通過轉(zhuǎn)換到頻域中可以得到更簡(jiǎn)便的解決方案，而轉(zhuǎn)換到復(fù)頻域便涉及到了復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用。  連續(xù)時(shí)

14、間信號(hào)的實(shí)頻域分析和連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的實(shí)頻域分析便是是運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換。而連續(xù)時(shí)間信號(hào)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析便是運(yùn)用到了拉普拉斯變換的性質(zhì)。作為復(fù)變函數(shù)中重要的傅里葉變換和拉普拉斯變換，我們足以看到復(fù)變函數(shù)在信號(hào)即通信中的重要作用。 首先，我們引入實(shí)頻域分析的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。針對(duì)周期函數(shù)，我們引入了傅里葉級(jí)數(shù)的概念。 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析如下： 對(duì)于滿足Dirichlet條件 的周期為的函數(shù)f(t),可將其表示為： 由此得到，滿足Dirichlet條件的周期信號(hào)，可以分解為基于其各次諧波的不同幅度，不同相位的余弦或正弦信號(hào)的疊加，在這種條

15、件下，對(duì)滿足Dirichlet條件的周期信號(hào)，從千變?nèi)f化的時(shí)域波形的關(guān)注，轉(zhuǎn)向?qū)Ω鞔沃C波余弦或正弦函數(shù)幅度和相位的關(guān)注，從問題的表象到問題的特征，建立周期信號(hào)分析的理論模型。由頻譜分析我們可以知道信號(hào)的幅頻和相頻特性。  對(duì)非周期信號(hào)的分析我們則采用傅里葉變換，因?yàn)樵谡鎸?shí)的物理世界中嚴(yán)格的周期信號(hào)時(shí)不存在的，所謂的周期信號(hào)只是既定于在某一個(gè)時(shí)間段，傅里葉級(jí)數(shù)的重要物理意義就是：非周期信號(hào)可以與周期信號(hào)建立某種聯(lián)系，進(jìn)而采用周期信號(hào)的處理思路來處理非周期信號(hào)。  周期信號(hào)與非周期信號(hào)并不存在嚴(yán)格的界限，可以通過把非周期信號(hào)的周期看成無窮大而將其近似于周期信號(hào)，也可以將周期信號(hào)

16、中的一部分區(qū)間中的取出來構(gòu)成非周期信號(hào)進(jìn)行分析。  對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的實(shí)頻域分析，我們則引入了系統(tǒng)頻率響應(yīng)，頻率響應(yīng)即為單位沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換： 如果知道一個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，便可以對(duì)系統(tǒng)的特性有進(jìn)一步的了解。然后，我們引如復(fù)頻域分分的普拉斯變換。普拉斯變換是針于不能用傅里葉形式的函數(shù)，即不滿足Dirichlet條件的函數(shù)而言的，通過與一個(gè)衰減因子相乘而達(dá)到絕對(duì)可積的條件。 對(duì)于拉普拉斯逆變換而言，它與拉普拉斯變換構(gòu)成了信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域及頻域分析的重要數(shù)學(xué)工具，在求解系統(tǒng)各種響應(yīng)，卷積計(jì)算及系統(tǒng)頻率響應(yīng)過程中都起到了重要的作用。  2、 數(shù)學(xué)中繞流

17、問題的復(fù)變函數(shù)方法  我們總是使用共形映射的方法研究一般剖面的繞流問題，特別是機(jī)翼剖面繞流問題，我們只要求出平面穩(wěn)定繞流的復(fù)勢(shì)，便可導(dǎo)出此繞流的速度分布，而要求出一般剖面繞流的復(fù)勢(shì)，通常先計(jì)算対圓柱剖面繞流的的復(fù)勢(shì)，然后再求一般剖面繞流區(qū)域到圓柱剖面外部區(qū)域的共形映射，把上述兩個(gè)函數(shù)復(fù)合起來，便可得到對(duì)一般剖面環(huán)流的復(fù)勢(shì)，這就是研究任意剖面繞流問題的基本方法。  此外，我們還介紹機(jī)翼剖面外部共形映射到圓柱剖面外部的函數(shù)的近似計(jì)算方法以及具有自由邊界的一般剖面繞流問題的處理方法。 我了解到了滲流問題中的復(fù)變函數(shù)方法，所謂滲流就是流體（液體、氣體、含氣液體）在多孔介質(zhì)里的流動(dòng)。我們主要討論不可壓縮的液體如水與石油在各向同性勻質(zhì)的土壤”中作平面穩(wěn)定滲流的情形或作軸對(duì)稱穩(wěn)定滲流的情形。下面先把上述一些滲流問題化為復(fù)變函數(shù)的問題，然后使用共形映射與邊值問題等方法來處理這些復(fù)變問題。