第1講函數(shù)、圖象及性質(zhì)

1、函數(shù)、圖象及性質(zhì) 1. 函數(shù)在高考中的題型設(shè)置有小題也有大題，其中大題有簡單的函數(shù)應(yīng)用題、函數(shù)與其他知識綜合題，也有復(fù)雜的代數(shù)推理題，可以說函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是高考考查的主要著力點之一2. 重點：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性；函數(shù)與不等式結(jié)合；函數(shù)與方程的綜合；函數(shù)與數(shù)列的綜合；函數(shù)與向量的綜合；利用導(dǎo)數(shù)來刻畫函數(shù)3. 難點：新定義的函數(shù)問題；代數(shù)推理問題，常作為高考壓軸題1. 已知函數(shù)f(x)則f_2. 函數(shù)f(x)的定義域為_3. 已知實數(shù)m0，函數(shù)f(x)若f(2m)f(2m)，則實數(shù)m的值為_. 4. 設(shè)函數(shù)f(x)x22x，g(x)mx2，對x11，2，x01，2，使g(x1)f(x0)

2、，則實數(shù)m的取值范圍是_題型一 函數(shù)解析式及方程區(qū)間根問題例1 已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是(0，5) ，且f(x)在區(qū)間1，4上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整數(shù)m使得方程f(x)0在區(qū)間(m，m1)內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)為二次函數(shù)，且滿足f(2)1，f(x)在(0，)上的兩個零點為1和3.(1) 求函數(shù)f(x)在R上的解析式；(2) 作出f(x)的圖象，并根據(jù)圖象討論關(guān)于x的方程f(x)c0(cR)根的個數(shù)題型二 函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用問

3、題例2 已知函數(shù)f(x)x2(x0，常數(shù)aR)(1) 討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；(2) 若函數(shù)f(x)在x2，)上為增函數(shù)，求a的取值范圍已知函數(shù)f(x)x|xa|(xR) (1) 判斷f(x)的奇偶性，并證明； (2) 求實數(shù)a的取值范圍，使函數(shù)g(x)f(x)2x1在R上恒為增函數(shù)題型三 含字母的函數(shù)最值討論問題例3 設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)x2|xa|1，xR.(1) 討論f(x)的奇偶性；(2) 求f(x)的最小值 已知函數(shù)f(x)x|x2|.設(shè)a0，求f(x)在0，a上的最大值題型四 函數(shù)綜合問題例4 定義函數(shù)(x)f(x)x22x(x2a)·(x2a)(1)

4、解關(guān)于a的不等式f(1)f(0)；(2) 已知函數(shù)f(x)在x0，1上的最小值為f(1)，求正實數(shù)a的取值范圍已知函數(shù)f(x)32log2x，g(x)log2x.(1) 如果x1，4，求函數(shù)h(x)f(x)1g(x)的值域；(2) 求函數(shù)M(x)的最大值；(3) 如果對不等式f(x2)f()kg(x)中的任意x1，4，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍 1. (2013·安徽卷)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x1)2f(x)若當(dāng)0x1時f(x)x(1x)，則當(dāng)1x0時，f(x)_2. (2013·北京卷)函數(shù)f(x)的值域為_3. (2013·江蘇卷)已知f(x)

5、是定義在R上的奇函數(shù)當(dāng)x>0時，f(x)x24x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為_4. (2014·上海卷)f(x)若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為_5. (2013·上海卷)已知真命題：“函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點P(a、 b)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)yf(xa)b 是奇函數(shù)”(1) 將函數(shù)g(x)x33x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標(biāo)；(2) 求函數(shù)h(x)log2 圖象對稱中心的坐標(biāo)；(3) 已知命題：“函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于某

6、直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)a和b，使得函數(shù)yf(xa)b 是偶函數(shù)”判斷該命題的真假如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設(shè)的真命題對它進行修改，使之成為真命題(不必證明)6. (2013·安徽卷)設(shè)函數(shù)f(x)ax(1a2)x2，其中a>0，區(qū)間Ix|f(x)>0(1) 求I的長度(注：區(qū)間(，)的長度定義為)；(2) 給定常數(shù)k(0，1)，當(dāng)1ka1k時，求I長度的最小值(本題模擬高考評分標(biāo)準(zhǔn)，滿分15分)(2013·揚州一模)輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅硬的場地上滑行的運動如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運動員通過

7、助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1 m的平臺上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE(拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內(nèi))，D為這段拋物線的最高點現(xiàn)在運動員的滑行軌跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，x軸在地面上，助跑道一端點A(0，4)，另一端點C(3，1)，點B(2，0)，單位：m.(1) 求助跑道所在的拋物線方程；(2) 若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點C處有相同的切線，為使運動員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，要求運動員的飛行距離在4 m到6 m之間(包括4 m和6 m)，試求運動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍？(注：飛行距離指點C與點E的水平距離，即這兩點橫坐標(biāo)差的

8、絕對值)第2講函數(shù)、圖象及性質(zhì) 1. 函數(shù)在高考中的題型設(shè)置有小題也有大題，其中大題有簡單的函數(shù)應(yīng)用題、函數(shù)與其他知識綜合題，也有復(fù)雜的代數(shù)推理題，可以說函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是高考考查的主要著力點之一2. 重點：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性；函數(shù)與不等式結(jié)合；函數(shù)與方程的綜合；函數(shù)與數(shù)列的綜合；函數(shù)與向量的綜合；利用導(dǎo)數(shù)來刻畫函數(shù)3. 難點：新定義的函數(shù)問題；代數(shù)推理問題，常作為高考壓軸題1. 已知函數(shù)f(x)則f_答案：2解析：ftan1，ff(1)2.2. 函數(shù)f(x)的定義域為_答案：(，1)(1，0)解析：x0，x1.3. 已知實數(shù)m0，函數(shù)f(x)若f(2m)f(2m)，則實數(shù)m的值為_.

9、 答案：和8解析：當(dāng)m>0時，由f(2m)f(2m)得m8；當(dāng)m<0時，由f(2m)f(2m)得m.4. 設(shè)函數(shù)f(x)x22x，g(x)mx2，對x11，2，x01，2，使g(x1)f(x0)，則實數(shù)m的取值范圍是_答案：解析：x1，2時，f(x)1，3m>0時，x1，2時，g(x)2m，22m；m0時，g(x)2，x01，2，f(x)1，3；m0，x1，2時，g(x)22m，2mm0時，2m，22m1，3；m0，22m，2m1，3，得0m或1m<0，故實數(shù)m的取值范圍是.題型一 函數(shù)解析式及方程區(qū)間根問題例1 已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是

10、(0，5) ，且f(x)在區(qū)間1，4上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整數(shù)m使得方程f(x)0在區(qū)間(m，m1)內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由解： (1) f(x)是二次函數(shù)，且f(x)0的解集是(0，5), 可設(shè)f(x)ax(x5)(a0) f(x)在區(qū)間1，4上的最大值是f(1)6a.由已知得6a12, a2, f(x)2x(x5)2x210x(xR)(2) 方程f(x)0等價于方程2x310x2370.設(shè)h(x)2x310x237，則h(x)6x220x2x(3x10)當(dāng)x時，h(x)0，h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x時，h(x)0

11、，h(x)是增函數(shù) h(3)10，h0，h(4)50， 方程h(x)0在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實數(shù)根，而在區(qū)間(0，3)，(4，)內(nèi)沒有實數(shù)根，所以存在唯一的自然數(shù)m3，使得方程f(x)0在區(qū)間(m，m1)內(nèi)有且只有兩個不同的實數(shù)根已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)為二次函數(shù)，且滿足f(2)1，f(x)在(0，)上的兩個零點為1和3.(1) 求函數(shù)f(x)在R上的解析式；(2) 作出f(x)的圖象，并根據(jù)圖象討論關(guān)于x的方程f(x)c0(cR)根的個數(shù)解：(1) 由題意，當(dāng)x>0時，設(shè)f(x)a(x1)(x3)(a0)， f(2)1， a1， f(x)x24x3.當(dāng)

12、x<0時，x>0， f(x)為R上的奇函數(shù)， f(x)f(x)， f(x)f(x)(x)24(x)3x24x3，即x<0時，f(x)x24x3.當(dāng)x0時，由f(x)f(x)得f(0)0， f(x)(2) 作出f(x)的圖象(如圖所示)，由f(x)c0得：cf(x)，在圖中作yc，根據(jù)交點討論方程的根：當(dāng)c3或c3時，方程有1個根；當(dāng)1<c<3或3<c<1時，方程有2個根；當(dāng)c1或c1時，方程有3個根；當(dāng)0<c<1或1<c<0時，方程有4個根；當(dāng)c0時，方程有5個根. 題型二 函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用問題例2 已知函數(shù)f(x)x2(x0，常

13、數(shù)aR)(1) 討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；(2) 若函數(shù)f(x)在x2，)上為增函數(shù)，求a的取值范圍解： (1) 當(dāng)a0時，f(x)x2，對任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x), f(x)為偶函數(shù)當(dāng)a0時，f(x)x2(a0，x0)，取x±1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0， f(1)f(1)，f(1)f(1)， 函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(2) (解法1)設(shè)2x1x2，f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，要使函數(shù)f(x)在x2，)上為增函數(shù)，必須f(x1)f(x2)0恒成立 x1x20，x1x24，即ax1x2(x

14、1x2)恒成立，又x1x24, x1x2(x1x2)16. a的取值范圍是(，16(解法2)當(dāng)a0時，f(x)x2，顯然在2，)上為增函數(shù)當(dāng)a0時，反比例函數(shù)在2，)上為增函數(shù)， f(x)x2在2，)上為增函數(shù)當(dāng)a0時，同解法1. (解法3)f(x)2x0對x2，)恒成立 a2x3而y2x3在2，)上單調(diào)遞增，最小值為16， a16.點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及分類討論處理含參數(shù)問題已知函數(shù)f(x)x|xa|(xR) (1) 判斷f(x)的奇偶性，并證明； (2) 求實數(shù)a的取值范圍，使函數(shù)g(x)f(x)2x1在R上恒為增函數(shù)解：(1) 當(dāng)a0時，f(x)x|x|，定義域為R，又f

15、(x)(x)|x|x|x|f(x)， f(x)是奇函數(shù). 當(dāng)a0時，f(a)0，f(a)a|2a|， f(a)±f(a)， f(x)是非奇非偶函數(shù) 當(dāng)a0時，f(x)為奇函數(shù)；當(dāng)a0時，f(x)為非奇非偶函數(shù)(2) g(x)x|xa|2x1在R上恒為增函數(shù)， yx2(2a)x1在a，)上是增函數(shù)，且yx2(2a)x1在(，a上是增函數(shù)， 2a2.題型三 含字母的函數(shù)最值討論問題例3 設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)x2|xa|1，xR.(1) 討論f(x)的奇偶性；(2) 求f(x)的最小值解：(1) 當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)(x)2|x|1f(x)，此時f(x)為偶函數(shù)當(dāng)a0時，f(a)a2

16、1，f(a)a22|a|1，f(a)f(a)，f(a)f(a)此時函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(2) 當(dāng)xa時，函數(shù)f(x)x2xa1a.若a，則函數(shù)f(x)在(，a)上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f(x)在(，a)上的最小值為f(a)a21.若a，則函數(shù)f(x)在(，a上的最小值為fa，且ff(a) 當(dāng)xa時，函數(shù)f(x)x2xa1a.若a，則函數(shù)f(x)在a，)上的最小值為fa，且ff(a)若a，則函數(shù)f(x)在a，)上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)f(x)在a，)上的最小值為f(a)a21.綜上，當(dāng)a時，函數(shù)f(x)的最小值是a；當(dāng)a時，函數(shù)f(x)的最小值是a21；當(dāng)a時，函數(shù)f(x)的最小值

17、是a.點評：函數(shù)奇偶性的討論問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問題，如果平時注意知識的積累，對解此題會有較大幫助因為xR，f(0)|a|10，由此排除f(x)是奇函數(shù)的可能性運用偶函數(shù)的定義分析可知，當(dāng)a0時，f(x)是偶函數(shù)，第(2)題主要考查學(xué)生的分類討論思想、對稱思想 已知函數(shù)f(x)x|x2|.設(shè)a0，求f(x)在0，a上的最大值解： f(x)x|x2| f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1和2，); 單調(diào)遞減區(qū)間是1，2 當(dāng)0a1時，f(x)是0，a上的增函數(shù)，此時f(x)在0，a上的最大值是f(a)a(2a)； 當(dāng)1a2時，f(x)在0，1上是增函數(shù)，在1，a上是減函數(shù)，此時f(x)在0，a上的最大值

18、是f(1)1； 當(dāng)a2時，令f(a)f(1)a(a2)1a22a10, 解得a1.若2a1，則f(a)f(1)，f(x)在0，a上的最大值是f(1)1；若a1，則f(a)f(1)，f(x)在0，a上的最大值是f(a)a(a2)綜上，當(dāng)0a1時，f(x)在0，a上的最大值是a(2a)；當(dāng)1a1時，f(x)在0，a上的最大值是1；當(dāng)a1時，f(x)在0，a上的最大值是a(a2)題型四 函數(shù)綜合問題例4 定義函數(shù)(x)f(x)x22x(x2a)·(x2a)(1) 解關(guān)于a的不等式f(1)f(0)；(2) 已知函數(shù)f(x)在x0，1上的最小值為f(1)，求正實數(shù)a的取值范圍解：(1) f(1

19、)f(0)即12(1a)·(1a)0.當(dāng)a1時，(1a)1， 12(1a)0，a.當(dāng)a1時，(1a)1， 12(1a)0，a.綜上，a或a.(2) 當(dāng)x1時，f(x)f(1)由題意，x0，1)，f(x)f(1)恒成立. a>1時，由f(x)f(1)，得x22x(x2a)32a，即2a(x1)2x3x23. x0，1)，式即2a，即2a2x23x3，上式對一切x0，1)恒成立， 2a233，即a4. 0a1時，由f(x)f(1)，得x22x(x2a)·(x2a)2a1.() 當(dāng)x1時，x22x(x2a)2a1，即2a(x1)2x3x21. x0，1)，式即2a，即2a2

20、x2x1，上式對一切x0，1)恒成立， 2a2a1.此式恒成立() 當(dāng)0x時，x22x(x2a)2a1，即2a(x1)2x3x21. x0，1)，式即2a，即2a2x2x1.當(dāng)，即0a時，2a2()21， a1.結(jié)合條件得0a.當(dāng)(0a1)，即a1時，2a1， a.結(jié)合條件得a.故0a.由、，得0a或a4.已知函數(shù)f(x)32log2x，g(x)log2x.(1) 如果x1，4，求函數(shù)h(x)f(x)1g(x)的值域；(2) 求函數(shù)M(x)的最大值；(3) 如果對不等式f(x2)f()kg(x)中的任意x1，4，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍解：令tlog2x，(1) h(x)(42log2

21、x)·log2x2(t1)22. x1，4， t0，2， h(x)的值域為0，2(2) f(x)g(x)3(1log2x)，當(dāng)0x2時，f(x)g(x)；當(dāng)x2時，f(x)g(x)， M(x)即M(x)當(dāng)0x2時，M(x)最大值為1；當(dāng)x2時，M(x)1.綜上，當(dāng)x2時，M(x)取到最大值為1.(3) 由f(x2)f()kg(x)，得(34log2x)(3log2x)k·log2x. x1，4， t0，2， (34t)(3t)kt對一切t0，2恒成立 當(dāng)t0時，kR； t(0，2時，k恒成立，即k4t15. 4t12，當(dāng)且僅當(dāng)4t，即t時取等號 4t15的最小值為3.綜上，

22、k3.1. (2013·安徽卷)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x1)2f(x)若當(dāng)0x1時f(x)x(1x)，則當(dāng)1x0時，f(x)_答案：解析：1x0時，0x11，f(x)f(x1).2. (2013·北京卷)函數(shù)f(x)的值域為_答案：(，2)解析：函數(shù)f(x)在(，1)上單調(diào)增，f(x)(0，2)；在1，)上單調(diào)減，f(x)(，0，故函數(shù)值域為(，2)3. (2013·江蘇卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)當(dāng)x>0時，f(x)x24x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為_答案：(5，0)(5，)解析：x>0時，f(x)x24x，f(

23、x)>x即為x25x>0，所以x>5；f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，x<0時，f(x)x24x，f(x)>x即為x25x<0，5<x<0.綜上，不等式的解集為(5，0)(5，)4. (2014·上海卷)f(x)若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為_答案：0，2解析：由于當(dāng)x>0時，f(x)xa在x1時取得最小值2a，由題意當(dāng)x0時，f(x)(xa)2應(yīng)該是遞減的，則a0，此時最小值為f(0)a2.因此a2a2，解得0a2.5. (2013·上海卷)已知真命題：“函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點P(a、 b)成中心對稱

24、圖形”的充要條件為“函數(shù)yf(xa)b 是奇函數(shù)”(1) 將函數(shù)g(x)x33x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標(biāo)；(2) 求函數(shù)h(x)log2 圖象對稱中心的坐標(biāo)；(3) 已知命題：“函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)a和b，使得函數(shù)yf(xa)b 是偶函數(shù)”判斷該命題的真假如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設(shè)的真命題對它進行修改，使之成為真命題(不必證明)解：(1) 平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y(x1)33(x1)22，整理得yx33x，

25、由于函數(shù)yx33x是奇函數(shù)，由題設(shè)真命題知，函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標(biāo)是(1，2)(2) 設(shè)h(x)log2的對稱中心為P(a，b)，由題設(shè)知函數(shù)h(xa)b是奇函數(shù)設(shè)f(x)h(xa)b，則f(x)log2b，即f(x)log2b.由不等式>0的解集關(guān)于原點對稱，得a2.此時f(x)log2b，x(2，2)任取x(2，2)，由f(x)f(x)0，得b1，所以函數(shù)h(x)log2圖象對稱中心的坐標(biāo)是(2，1). (3) 此命題是假命題舉反例說明：函數(shù)f(x)x的圖象關(guān)于直線yx成軸對稱圖象，但是對任意實數(shù)a和b，函數(shù)yf(xa)b，即yxab總不是偶函數(shù)修改后的真命題：“函數(shù)yf(x

26、)的圖象關(guān)于直線xa成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)”. 6. (2013·安徽卷)設(shè)函數(shù)f(x)ax(1a2)x2，其中a>0，區(qū)間Ix|f(x)>0(1) 求I的長度(注：區(qū)間(，)的長度定義為)；(2) 給定常數(shù)k(0，1)，當(dāng)1ka1k時，求I長度的最小值解：(1) 令f(x)xa(1a2)x0，解得x10，x2， I， I的長度x2x1.(2) k(0，1)，則0<1ka1k<2，由(1)知I，I>0，則0<a<1，故I關(guān)于a在(1k，1)上單調(diào)遞增，在(1，1k)上單調(diào)遞減 I的最小值必定在a1k或a1k處取得

27、I1，I2，<1，Imin.(本題模擬高考評分標(biāo)準(zhǔn)，滿分15分)(2013·揚州一模)輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅硬的場地上滑行的運動如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運動員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1 m的平臺上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE(拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內(nèi))，D為這段拋物線的最高點現(xiàn)在運動員的滑行軌跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，x軸在地面上，助跑道一端點A(0，4)，另一端點C(3，1)，點B(2，0)，單位：m.(1) 求助跑道所在的拋物線方程；(2) 若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點C處有相同的切線，為使運動員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，要求運動員的飛行距離在4 m到6 m之間(包括4 m和6 m)，試求運動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍？(注：飛行距離指點C與點E的水平距離，即這兩點橫坐標(biāo)差的絕對值)