“命題的否定”與“否命題”辨析

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上命題的“否定”與“否命題”的辨析（郵編）江西省東鄉(xiāng)縣實驗中學數(shù)學組 黃樹華數(shù)學是一門邏輯性很強的學科，學習數(shù)學時處處涉及命題之間的邏輯關系和推理論證，現(xiàn)行教材新課標高中數(shù)學(北師大版)選修1-1、2-1的第一章均新增“常用邏輯用語”內容，介紹一些簡單而又實用的邏輯知識，本意是讓學生弄清命題之間的邏輯關系，自覺地使用邏輯規(guī)則，避免一些易犯的錯誤，從而增強判斷能力和推理能力，提高數(shù)學思維能力。由于新增內容，對于高中新生來說是較為抽象，在理解上尚一定難度，加之資料書上對這方面談得少，且我們有些一線教師知識上也存在一定缺陷。鑒于此，本人根據自己已從事一輪新課標教學的實踐，就此

2、問題加以詮釋，供同仁探討。一、命題的“否命題”關于“否命題”，教材中講得很明確，僅針對命題“若P則q”提出來的。寫出一個命題的否命題，簡單地說就是將原命題改寫成否定條件并且否定結論的形式。即“若p則q”的否命題為“若非p則非q”。命題的否命題與原命題的真假可能相同也可能相反。如“若兩個三角形全等則面積相等”（真命題）的否命題為“若兩個三角形不全等則面積不相等”（假命題）。又如“若x2，則x24”（假命題）的否命題為“若x=2，則x2=4”（真命題）。寫出一個命題的否命題，關鍵是弄清楚命題的條件和結論，如命題“正方形是菱形”的條件是“四邊形是正方形”，結論是“這個四邊形是菱形”，其否命題為“若四

3、邊形不是正方形則這個四邊形不是菱形”。二、命題的“否定”“非p”叫做命題p的非命題，即命題p的否定。一個命題p經過使用邏輯聯(lián)結詞“非”，就構成一個復合命題“非p”（記作“p”）稱為命題的否定。“非p”形式的復合命題的真值與原命題p的真值正好相反，構成一對矛盾命題。但值得注意的是“非p”絕不是“是”與“不是”的簡單演譯，而是要對判斷對象做出正確的否定。以下分別舉例說明：（一）簡單命題的否定。簡單命題是不含邏輯聯(lián)結詞的命題。常見的有：1形如“A是B”的命題，這類命題的否定為：“A不是B”。如命題“e是無理數(shù)。”的否定為“e不是無理數(shù)。”例1寫出下列命題的否定：(1)若x2+y2=0， 則x、y全為

4、0；(2)三角形兩邊之和一定大于第三邊；(3)正方形的四條邊都相等；(4) 實數(shù)的絕對值一定都是非負數(shù)。 解：(1)的否定：若x2+y2=0，則x、y不全為0；(2)的否定：三角形兩邊之和一定不大于第三邊；(3)正方形的四條邊不都相等（而不是正方形的四條邊不相等）；(4)實數(shù)的絕對值一定不都是非負數(shù)。一般地，“都”表示全部，“不都”表示不是全部，它包含一部分或沒有，而“都不”表示全不，即一個也沒有。對“全”、“都”的否定，只需在前面加一個“不”。而“一定”是一個語氣助詞，帶強調意味，這兩者有一定區(qū)別。在對“一定”、“一定都”等否定時，可分兩步，先將“一定”兩字拿下，對剩下的命題進行否定，再將“

5、一定”兩字放在“不”的前面。如對命題(2)的否定，先是“三角形兩邊之和不大于第三邊”，后得命題(2)的否定；對命題(4)的否定可先得否定命題“實數(shù)的絕對值不都是非負數(shù)”，再放上“一定”得命題(4)的否定。2全稱命題和存在命題（也叫特稱命題）的否定。含有“一切”、“任意”、“所有”、“全部”、“都”、“任何”、“每一”等全稱量詞的命題稱為全稱命題，命題形式為：xA，p(x)成立。全稱命題的否定為：xA，p(x)不成立；含有“存在”、“某個”、“一些”、“有的”、“至少有一個”等特稱量詞的命題稱為存在命題（也叫特稱命題），命題形式為：xA，p(x)成立。特稱命題的否定為：xA，p(x)不成立。例2

6、寫出下列命題的否定：(1)所有分數(shù)的平方是正數(shù)；(2)有些質數(shù)是奇數(shù)；(3)等圓的面積相等，周長相等；(4)xR，使得x2+x+10。 解：(1)的否定：有些分數(shù)的平方不是正數(shù)；(2)的否定：所有的質數(shù)都不是奇數(shù)。(3)的否定：存在一對等圓其面積不相等或周長不相等；(4)的否定：xR，使得x2+x+1>0。(二)復合命題的否定。由簡單命題用邏輯聯(lián)結詞“且”、“非”、“或”等聯(lián)結而成的命題稱為復合命題。其否定形式如下：(1)命題“非p”是對命題“p”的否定，命題“非p”與命題“p”的真假正好相反，故“非p”的否定是p。如命題“3不是9的約數(shù)”的否定是“3是9的約數(shù)”；(2)用聯(lián)結詞“且”聯(lián)

7、結構成“p且q”型的復合命題稱為聯(lián)言命題。其否定是：非p或非q。如命題“96是48與16的倍數(shù)?！钡姆穸椤?6不是48的倍數(shù)或不是16的倍數(shù)。”(3)用聯(lián)結詞“或”聯(lián)結構成“p或q”型的復合命題稱為選言命題，其否定是：非p且非q。如命題“1是合數(shù)或質數(shù)”的否定為“1既不是合數(shù)也不是質數(shù)”；(三)“若p則q”的命題。用聯(lián)結詞“若則”聯(lián)結的“若p則q”型的命題稱為p、q的假言命題。其否定是：若p則非q。如命題“若一個數(shù)是質數(shù)，則這個數(shù)是奇數(shù)?！钡姆穸ㄊ恰叭粢粋€數(shù)是質數(shù)，則這個數(shù)不一定是奇數(shù)?！比?、否命題與命題的否定的區(qū)別“否命題”與“命題的否定”是兩個不同的概念。區(qū)別在于：一、兩者研究對象的范圍

8、不同，任何命題，無論是真命題還是假命題均有否定；而否命題僅針對命題“若p則q”提出來的，并非所有命題都有否命題；二、命題的否定是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是“一真一假”或“一假一真”；而否命題與原命題可能是“同真同假”，也可能是“真假相反”；三、命題的否定是對命題的結論加以否定，即命題的“非P”形式，而否命題是對一個命題的條件和結論都加以否定。即原命題是“若p則q”，那么這個命題的否定是“若p則非q”，而這個命題的否命題是“若非p則非q”。以下舉例說明： 例3.寫出下列命題的否定與否命題，并判斷其真假性： (1)若x、y都是奇數(shù)，則x+y是偶數(shù)；(2)若xy=0，則x=0或y

9、=0；(3)對頂角相等；(4)若a、b是奇數(shù)，則ab必是奇數(shù)。 解：(1)的否定：若x、y都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)；(假命題)；(1)的否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)；(假命題)；(2)的否定：若xy=0，則x0且y0；(假命題) (2)的否命題：若xy0，則x0且y0；(真命題) (3)的否定：對頂角不都相等（或“存在一對對頂角不相等”或“有些對頂角不相等”）；(假命題)；(3)的否命題：不是對頂角不相等；(假命題)；(4)的否定：若a、b是奇數(shù)，則ab必不是奇數(shù)；(假命題)；(4)的否命題：若a、b不都是奇數(shù)，則ab必不是奇數(shù)；(真命題)； 例4.寫出下列命題的否定和否命題：（1）無理數(shù)的平方是正數(shù)；（2）方程都是不等式；（3）相似三角形是全等三角形。解：（1）原命題的否定：無理數(shù)的平方不都是正數(shù)。原命題的否命題為：若一個數(shù)不是無理數(shù)，則它的平方不是正數(shù)；（2）原命題的否定：存在方程不是不等式。原命題的否命題：不是方程的式子不都是不等式；（3）原命題的否定：相似三角形不都是全等三角形。原命題的否命題：不相似的三角形不是全等三角形。評析：“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一個”的否定是“一個都沒有”；“所有的”的否定是“某些”；“任意的”的否定是“某個”；“至多有一個”的否定是“至少有兩個”；“至多有n個”的否定是“至少有n+1個”；