怎樣用換元法證明不等式

1、怎樣用換元法證明不等式陸世永我們知道,無(wú)論在中學(xué),還是在大學(xué),不等式的證明都是一個(gè)難點(diǎn)。人們?cè)谧C明不等式時(shí)創(chuàng)造了許多方法,其中有換元法。下面我們探索怎樣用換元法證明不等式。所謂“換元法”就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,從而化繁為簡(jiǎn),或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化,以便證題。其換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對(duì)象,將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,變得容易處理。一、利用對(duì)稱性換元,化繁為簡(jiǎn)例1 設(shè)求證:.分析:經(jīng)過觀察,我們發(fā)現(xiàn),把中的兩個(gè)互換,不等式不變,說(shuō)明這是一個(gè)對(duì)稱不等式,如果我們令則原不等式可化為:.這是一

2、個(gè)較簡(jiǎn)單而且容易與已知不等式聯(lián)系的不等式,因而可以按上述換元證明不等式。證明:令,則,.時(shí),有；當(dāng)時(shí),有(否則中必有兩個(gè)不為正值,不妨設(shè),則,這與矛盾), 因此,綜上所述,恒有,把代入上式得:.例2 設(shè),求證: .分析:類似于例1,我們不難發(fā)現(xiàn),這也是一個(gè)對(duì)稱不等式,因此可考慮令則原不等式可化為2.這是一個(gè)簡(jiǎn)單的不等式,由已知條件可證該不等式,因此我們可按上述換元證明原不等式。證明:令則 ,原不等式可化為:,將代入上式得:,又由已知條件可知,2成立,而上述過程可逆,因此原不等式成立。對(duì)于類似于例1與例2的對(duì)稱不等式，可以結(jié)合不等式的具體形式換元，簡(jiǎn)化不等式的結(jié)構(gòu)，使得不等式容易證明。 二、借助

3、幾何圖形換元例3 已知是三邊的長(zhǎng)，求證：.分析:(如圖)作的內(nèi)切圓,設(shè)為切點(diǎn), 令(其中), 則原不等式可轉(zhuǎn)化為: .利用重要不等式:可證該不等式,因此可以通過上述換元證明原不等式。證明:設(shè)為切點(diǎn),令則原不等式可轉(zhuǎn)化為:.又因?yàn)?則有 , ，所以(1)式成立,因此原不等式成立。從例3可以看出，在證明不等式時(shí)，我們可以根據(jù)題意結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析、換元，從而借助幾何圖形的性質(zhì)來(lái)證明不等式。三、借助三角函數(shù)的性質(zhì)換元例4 已知:求證: .分析:由于并且不等式中有因此我們聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系: .經(jīng)過對(duì)比,發(fā)現(xiàn)相當(dāng)于，相當(dāng)于，因而可令：.證明:令, 則，可見原不等式成立。例5 若求證: . 分析:由知點(diǎn)在圓的內(nèi)部或邊界上,因此可以考慮變換: .證明:設(shè) , 則.從例4，例5可以看出，證明不等式時(shí)，我們可以結(jié)合已知條件或不等式的結(jié)構(gòu)與三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，利用三角函數(shù)換元，從而借助三角函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明不等式。 四、借助均值不等式換元例6 個(gè)正數(shù)它們的和是1,求證: .分析:就這個(gè)不等式而言,我們?nèi)菀紫氲骄挡坏仁?，但是直接用均值不等式卻難以證明這個(gè)不等式，因此我們把分子變?yōu)閮身?xiàng)，可令,（