《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第二章 拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射 學(xué)習(xí)筆記

1、第2章度量空間與連續(xù)映射從數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)熟知單變量和多變量的連續(xù)函數(shù)，它們的定義域和值域都是歐氏空間（直線，平面或空間等等）或是其中的一部分在這一章中我們首先將連續(xù)函數(shù)的定義域和值域主要特征抽象出來用以定義度量空間，將連續(xù)函數(shù)的主要特征抽象出來用以定義度量空間之間的連續(xù)映射（參見2.1）然后將兩者再度抽象，給出拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射（參見2.2）隨后再逐步提出拓?fù)淇臻g中的一些基本問題如鄰域，閉包，內(nèi)部，邊界，基和子基，序列等等2.1度量空間與連續(xù)映射本節(jié)重點(diǎn)：掌握拓?fù)鋵W(xué)中度量的概念及度量空間中的連續(xù)映射的概念注意區(qū)別：數(shù)學(xué)分析中度量、連續(xù)映射的概念與本節(jié)中度量、連續(xù)映射的概念注意，在

2、本節(jié)的證明中,應(yīng)細(xì)細(xì)體會(huì)證明的方法首先讓我們回憶一下在數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)過的連續(xù)函數(shù)的定義函數(shù)f：RR稱為在點(diǎn)R處是連續(xù)的，如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)0，存在實(shí)數(shù)0，使得對(duì)于任何xR，當(dāng)|x-|時(shí),有|f(x)-f()|.在這個(gè)定義中只涉及兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的距離（即兩個(gè)實(shí)數(shù)之差的絕對(duì)值）這個(gè)概念；為了驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處的連續(xù)性往往只要用到關(guān)于上述距離的最基本的性質(zhì)，而與實(shí)數(shù)的其它性質(zhì)無關(guān)，關(guān)于多元函數(shù)的連續(xù)性情形也完全類似以下，我們從這一考察出發(fā)，抽象出度量和度量空間的概念.定義設(shè)X是一個(gè)集合，：XXR如果對(duì)于任何x，y，zX，有（1）（正定性），(x,y)0并且(x,y)0當(dāng)且僅當(dāng)x=y；（2）(對(duì)稱性)(

3、x,y)=(y,x)；（3）（三角不等式）(x,z)(x,y)+(y,z)則稱是集合X的一個(gè)度量如果是集合X的一個(gè)度量，稱（X，）是一個(gè)度量空間，或稱X是一個(gè)對(duì)于而言的度量空間有時(shí)，或者度量早有約定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，這時(shí)我們稱X是一個(gè)度量空間此外，對(duì)于任意兩點(diǎn)x，yX，實(shí)數(shù)(x，y)稱為從點(diǎn)x到點(diǎn)y的距離著重理解：度量的本質(zhì)是什么？例實(shí)數(shù)空間R對(duì)于實(shí)數(shù)集合R，定義：RRR如下：對(duì)于任意x，yR，令（x，y）=|x-y|容易驗(yàn)證是R的一個(gè)度量，因此偶對(duì)（R，）是一個(gè)度量空間這個(gè)度量空間特別地稱為實(shí)數(shù)空間或直線這里定義的度量，稱為R的通常度量，并且常常略而不提，逕稱R為

4、實(shí)數(shù)空間（今后我們說實(shí)數(shù)空間，均指具有通常度量的實(shí)數(shù)空間）例n維歐氏空間對(duì)于實(shí)數(shù)集合R的n重笛卡兒積RRR定義：R如下：對(duì)于任意x=（）,y=，令（x，y）容易驗(yàn)證（詳見課本本節(jié)最后部分的附錄）是的一個(gè)度量，因此偶對(duì)(，)是一個(gè)度量空間這個(gè)度量空間特別地稱為n維歐氏空間這里定義的度量，稱為的通常度量，并且常常略而不提，逕稱為n維歐氏空間2維歐氏空間通常稱為歐氏平面或平面（今后說通常度量，均指滿足這種公式的度量）例Hilbert空間H記H為平方收斂的所有實(shí)數(shù)序列構(gòu)成的集合，即 Hx=()| 定義如下：對(duì)于任意x（），y（）H令(x,y)=說明這個(gè)定義是合理的（即驗(yàn)證）以及驗(yàn)證是H的一個(gè)度量，均請(qǐng)

5、參見課本本節(jié)最后部分的附錄偶對(duì)（H，）是一個(gè)度量空間這個(gè)度量空間特別地稱為Hilbert空間這里定義的度量稱為H的通常度量，并且常常略而不提，逕稱H為Hilbert空間例離散的度量空間設(shè)（X，）是一個(gè)度量空間稱（X，）是離散的，或者稱是X的一個(gè)離散度量，如果對(duì)于每一個(gè)xX，存在一個(gè)實(shí)數(shù)0使得（x，y）對(duì)于任何yX，xy，成立例如我們假定X是一個(gè)集合，定義：XXR使得對(duì)于任何x，yX，有(x,y)= 容易驗(yàn)證是X的一個(gè)離散的度量，因此度量空間（X，）是離散的通過這幾個(gè)例子，可知，度量也是一種映射，但它的象空間是實(shí)數(shù)離散的度量空間或許是我們以前未曾接觸過的一類空間，但今后會(huì)發(fā)現(xiàn)它的性質(zhì)是簡(jiǎn)單的定義

6、設(shè)（X，）是一個(gè)度量空間，xX對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)0，集合yX|（x，y）記作B（x，），或，稱為一個(gè)以x為中心以為半徑的球形鄰域,簡(jiǎn)稱為x的一個(gè)球形鄰域，有時(shí)也稱為x的一個(gè)鄰域此處的球形鄰域是球狀的嗎？定理度量空間（X，）的球形鄰域具有以下基本性質(zhì)：（1）每一點(diǎn)xX,至少有一個(gè)球形鄰域，并且點(diǎn)x屬于它的每一個(gè)球形鄰域；（2）對(duì)于點(diǎn)xX的任意兩個(gè)球形鄰域，存在x的一個(gè)球形鄰域同時(shí)包含于兩者； (3) 如果yX屬于xX的某一個(gè)球形鄰域，則y有一個(gè)球形鄰域包含于x的那個(gè)球形鄰域證明:（1）設(shè)xX對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)0，B（x，）是x的一個(gè)球形鄰域，所以x至少有一個(gè)球形鄰域；由于（x，x）=0，所以x屬于它

7、的每一個(gè)球形鄰域 (2)如果B（x，）和B（x，）是xX的兩個(gè)球形鄰域，任意選取實(shí)數(shù)0，使得min ，則易見有B（x，）B（x，）B（x，）即B（x，）滿足要求（3）設(shè)yB（x，）令-（x，y）顯然0如果zB（y，），則（z，x）（z，y）+（y，x）+（y，x）=所以zB（x，）這證明B（y，）B（x，）定義設(shè)A是度量空間X的一個(gè)子集如果A中的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)球形鄰域包含于A（即對(duì)于每一個(gè)aA，存在實(shí)數(shù)0使得B（a，）A，則稱A是度量空間X中的一個(gè)開集注意：此處的開集僅是度量空間的開集例實(shí)數(shù)空間R中的開區(qū)間都是開集設(shè)a，bR，ab我們說開區(qū)間（a，b）=xR|axb是R中的一個(gè)開集這是因?yàn)槿?/p>

8、果x（a，b），若令minx-a，b-x，則有B（x，）（a，b）也同樣容易證明無限的開區(qū)間（a，）xR|xa，（-，b）=xR|xb（-,）R都是R中的開集然而閉區(qū)間 a，b=xR|axb卻不是R中的開集因?yàn)閷?duì)于aa，b而言，任何0，B（x，）a,b都不成立類似地，半開半閉的區(qū)間（a，b=xR|axb，a，b)xR|axb無限的閉區(qū)問 a，)=xR|xa,（，b=xR|xb都不是R中的開集定理度量空間X中的開集具有以下性質(zhì)：（1）集合X本身和空集都是開集；（2）任意兩個(gè)開集的交是一個(gè)開集；（3）任意一個(gè)開集族（即由開集構(gòu)成的族）的并是一個(gè)開集證明根據(jù)定理（1）X中的每一個(gè)元素x都有一個(gè)球形鄰

9、域，這個(gè)球形鄰域當(dāng)然包含在X中，所以X滿足開集的條件；空集中不包含任何一個(gè)點(diǎn)，也自然地可以認(rèn)為它滿足開集的條件（2）設(shè)U和V是X中的兩個(gè)開集如果xUV，則存在x的一個(gè)球形鄰域B（x，）包含于U，也存在x的一個(gè)球形鄰域B（x，）包含于V根據(jù)定理（2），x有一個(gè)球形鄰域B（x，）同時(shí)包含于B（x，）和B（x，），因此B（x，）B（x，）B（x，）UV由于UV中的每一點(diǎn)都有一個(gè)球形鄰域包含于UV，因此UV是一個(gè)開集（3）設(shè)*是一個(gè)由X中的開集構(gòu)成的子集族如果，則存在*A使得x由于是一個(gè)開集，所以x有一個(gè)球形鄰域包含于，顯然這個(gè)球形鄰域也包含于這證明是X中的一個(gè)開集此外，根據(jù)定理（3）可見，每一個(gè)球形

10、鄰域都是開集球形鄰域與開集有何聯(lián)系？為了討論問題的方便，我們將球形鄰域的概念稍稍作一點(diǎn)推廣定義設(shè)x是度量空間X中的一個(gè)點(diǎn)，U是X的一個(gè)子集如果存在一個(gè)開集V滿足條件：xVU，則稱U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域下面這個(gè)定理為鄰域的定義提供了一個(gè)等價(jià)的說法，并且表明從球形鄰域推廣為鄰域是自然的事情定理設(shè)x是度量空間X中的一個(gè)點(diǎn)則X的子集U是x的一個(gè)鄰域的充分必要條件是x有某一個(gè)球形鄰域包含于U證明 如果U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域，根據(jù)鄰域的定義存在開集V使得xVU，又根據(jù)開集的定義，x有一個(gè)球形鄰域包含于V，從而這個(gè)球形鄰域也就包含于U這證明U滿足定理的條件反之，如果U滿足定理中的條件，由于球形鄰域都是開集，因此U是

11、x的鄰域現(xiàn)在我們把數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)的概念推廣為度量空間之間的連續(xù)映射定義設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間，f:XY，以及X如果對(duì)于f()的任何一個(gè)球形鄰域B（f(),），存在的某一個(gè)球形鄰域B（，），使得f(B（，）)B（f（），），則稱映射在點(diǎn)處是連續(xù)的如果映射f在X的每一個(gè)點(diǎn)xX處連續(xù)，則稱f是一個(gè)連續(xù)映射以上的這個(gè)定義是數(shù)學(xué)分析中函數(shù)連續(xù)性定義的純粹形式推廣因?yàn)槿绻O(shè)和分別是度量空間X和Y中的度量，則f在點(diǎn)處連續(xù)，可以說成：對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)0，存在實(shí)數(shù)0使得對(duì)于任何xX只要（x，）（即xB（,）便有(f(x),f().（即f(x)B（f()，）下面的這個(gè)定理是把度量空間和度量空間之間的連續(xù)映

12、射的概念推廣為拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射的出發(fā)點(diǎn)定理設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間，f：XY以及X則下述條件（1）和（2）分別等價(jià)于條件（1）*和（2）*：（1）f在點(diǎn)處是連續(xù)的；（1）*f()的每一個(gè)鄰域的原象是的一個(gè)鄰域；（2）f是連續(xù)的；（2）*Y中的每一個(gè)開集的原象是X中的一個(gè)開集證明條件（1）蘊(yùn)涵（1）*：設(shè)（1）成立令U為f（）的一個(gè)鄰域根據(jù)定理，f（）有一個(gè)球形鄰域B（f（），）包含于U由于f在點(diǎn)處是連續(xù)的，所以有一個(gè)球形鄰域B（，）使得f（B（，）B（f（），）然而，（B（f（），）（U），所以B（，）（U），這證明（U）是的一個(gè)鄰域條件（1）*蘊(yùn)涵（1）設(shè)條件（1）*成立任意給

13、定f（）的一個(gè)鄰域B（f(),），則（B（f()，）是的一個(gè)鄰域根據(jù)定理，有一個(gè)球形鄰域B（，）包含于（B（f（），）因此f（B（，）B（f（），）這證明f在點(diǎn)處連續(xù)條件（2）蘊(yùn)涵（2）*設(shè)條件（2）成立令V為Y中的一個(gè)開集，U（V）對(duì)于每一個(gè)xU，我們有f（x）V由于V是一個(gè)開集，所以V是f（x）的一個(gè)鄰域由于f在每一點(diǎn)處都連續(xù)，故根據(jù)（1）*，U是x的一個(gè)鄰域于是有包含x的某一個(gè)開集Ux使得UxU易見UxUUx由于每一個(gè)Ux都是開集，根據(jù)定理，U是一個(gè)開集條件（2）*蘊(yùn)涵（2）設(shè)（2）*成立，對(duì)于任意xX，設(shè)U是f（x）的一個(gè)鄰域，即存在包含f（x）的一個(gè)開集V U從而x（V）（U）根據(jù)條

14、件（2）*，（V）是一個(gè)開集，所以（U）是x的一個(gè)鄰域，對(duì)于x而言，條件（1）*成立，于是f在點(diǎn)x處連續(xù)由于點(diǎn)x是任意選取的，所以f是一個(gè)連續(xù)映射從這個(gè)定理可以看出：度量空間之間的一個(gè)映射是否是連續(xù)的，或者在某一點(diǎn)處是否是連續(xù)的，本質(zhì)上只與度量空間中的開集有關(guān)（注意，鄰域是通過開集定義的）這就導(dǎo)致我們甩開度量這個(gè)概念，參照度量空間中開集的基本性質(zhì)（定理）建立拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射的概念作業(yè)：2.2拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射本節(jié)重點(diǎn):拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g的概念,并在此空間上建立起來的連續(xù)映射的概念.注意區(qū)別:拓?fù)淇臻g的開集與度量空間開集的異同；連續(xù)映射概念的異同.現(xiàn)在我們遵循前一節(jié)末尾提到的思路，即

15、從開集及其基本性質(zhì)（定理）出發(fā)來建立拓?fù)淇臻g的概念定義設(shè)X是一個(gè)集合，是X的一個(gè)子集族如果滿足如下條件：（l）X， ；（2）若A，BT，則AB ；（3）若則稱是X的一個(gè)拓?fù)淙绻羌蟈的一個(gè)拓?fù)洌瑒t稱偶對(duì)（X，）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，或稱集合X是一個(gè)相對(duì)于拓?fù)涠缘耐負(fù)淇臻g；此外T的每一個(gè)元素都叫做拓?fù)淇臻g（X，）或（X）中的一個(gè)開集即：AA是開集.（此定義與度量空間的開集的性質(zhì)一樣嗎？留給大家思考）經(jīng)過簡(jiǎn)單的歸納立即可見，以上定義中的條件（2）蘊(yùn)涵著：有限多個(gè)開集的交仍是開集，條件（3）蘊(yùn)涵著：任意多個(gè)開集的并仍是開集現(xiàn)在首先將度量空間納入拓?fù)淇臻g的范疇定義設(shè)（X，）是一個(gè)度量空間令）是X的一個(gè)拓

16、撲我們稱為X的由度量誘導(dǎo)出來的拓?fù)浯送馕覀兗s定：如果沒有另外的說明，我們提到度量空間（X，）的拓?fù)鋾r(shí)，指的就是拓?fù)洌辉诜Q度量空間（X，）為拓?fù)淇臻g時(shí)，指的就是拓?fù)淇臻g（X，）因此，實(shí)數(shù)空間R，n維歐氏空間（特別，歐氏平面），Hilbert空間H都可以叫做拓?fù)淇臻g，它們各自的拓?fù)浔闶怯衫接箍臻g設(shè)X是一個(gè)集合令T =X，容易驗(yàn)證，T 是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的平庸拓?fù)?；并且我們稱拓?fù)淇臻g（X，T）為一個(gè)平庸空間在平庸空間（X，T）中，有且僅有兩個(gè)開集，即X本身和空集例離散空間設(shè)X是一個(gè)集合令T =P（X），即由X的所有子集構(gòu)成的族容易驗(yàn)證，T是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的離散拓?fù)?；并且我們稱拓?fù)淇?/p>

17、間（X，T）為一個(gè)離散空間.在離散空間（X，T）中，X的每一個(gè)子集都是開集例設(shè)Xa，b，c令T =，a，a，b，a，b，c容易驗(yàn)證，T是X的一個(gè)拓?fù)洌虼耍╔，T）是一個(gè)拓?fù)淇臻g這個(gè)拓?fù)淇臻g既不是平庸空間又不是離散空間例有限補(bǔ)空間設(shè)X是一個(gè)集合首先我們重申：當(dāng)我們考慮的問題中的基礎(chǔ)集自明時(shí)，我們并不每次提起因此在后文中對(duì)于X的每一個(gè)子集A，它的補(bǔ)集XA我們寫為令T =U X|是X的一個(gè)有限子集先驗(yàn)證T是X的一個(gè)拓?fù)洌海?）XT (因?yàn)?)；另外，根據(jù)定義便有T（2）設(shè)A，BT如果A和B之中有一個(gè)是空集，則ABT,假定A和B都不是空集這時(shí) 是X的一個(gè)有限子集，所以ABT （3）設(shè)令,顯然有 如果

18、，則設(shè)任意選取這時(shí)是X的一個(gè)有限子集，所以根據(jù)上述（1），（2）和（3），P是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的有限補(bǔ)拓?fù)渫負(fù)淇臻g（X，P）稱為一個(gè)有限補(bǔ)空間例可數(shù)補(bǔ)空間設(shè)X是一個(gè)集合令T =U X|是X的一個(gè)可數(shù)子集通過與例中完全類似的做法容易驗(yàn)證（請(qǐng)讀者自證）T 是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)渫負(fù)淇臻g（X，T ）稱為一個(gè)可數(shù)補(bǔ)空間一個(gè)令人關(guān)心的問題是拓?fù)淇臻g是否真的要比度量空間的范圍更廣一點(diǎn)？換句話就是問：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g的拓?fù)涠伎梢杂赡骋粋€(gè)度量誘導(dǎo)出來？定義設(shè)（X，P）是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果存在X的一個(gè)度量使得拓?fù)銹即是由度量誘導(dǎo)出來的拓?fù)?，則稱（X，P）是一個(gè)可度量化空間根據(jù)這個(gè)定義，前述

19、問題即是：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g都是可度量化空間？從21中的習(xí)題2和3可以看出，每一個(gè)只含有限個(gè)點(diǎn)的度量空間作為拓?fù)淇臻g都是離散空間然而一個(gè)平庸空間如果含有多于一個(gè)點(diǎn)的話，它肯定不是離散空間，因此它不是可度量化的；例中給出的那個(gè)空間只含有三個(gè)點(diǎn)，但不是離散空間，也不是可度量化的由此可見，拓?fù)淇臻g是比可度量空間的范圍要廣泛進(jìn)一步的問題是滿足一些什么條件的拓?fù)淇臻g是可度量化的？這是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的重要問題之一，以后我們將專門討論現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射定義設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:XY如果Y中每一個(gè)開集U的原象（U）是X中的一個(gè)開集，則稱f是X到Y(jié)的一個(gè)連續(xù)

20、映射，或簡(jiǎn)稱映射f連續(xù) 按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射，明顯是受到了21中的定理的啟發(fā)并且那個(gè)定理也保證了：當(dāng)X和Y是兩個(gè)度量空間時(shí)，如果f:XY是從度量空間X到度量空間Y的一個(gè)連續(xù)映射，那么它也是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的一個(gè)連續(xù)映射，反之亦然（按照約定，涉及的拓?fù)洚?dāng)然都是指誘導(dǎo)拓?fù)洌┫旅娴倪@個(gè)定理盡管證明十分容易，但所指出的卻是連續(xù)映射的最重要的性質(zhì)定理設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g則（1）恒同映射：:XX是一個(gè)連續(xù)映射；（2）如果f:XY和g:YZ都是連續(xù)映射，則 gof:XZ也是連續(xù)映射 證明（l），所以連續(xù)（2）設(shè)f:XY,g:YZ都是連續(xù)映射這證明gof連續(xù)在數(shù)學(xué)科學(xué)的許多學(xué)科中都

21、要涉及兩類基本對(duì)象如在線性代數(shù)中我們考慮線性空間和線性變換，在群論中我們考慮群和同態(tài)，在集合論中我們考慮集合和映射，在不同的幾何學(xué)中考慮各自的圖形和各自的變換等等并且對(duì)于后者都要提出一類來予以重視，例如線性代數(shù)中的（線性）同構(gòu)，群論中的同構(gòu)，集合論中的一映射，以及初等幾何學(xué)中的剛體運(yùn)動(dòng)（即平移加旋轉(zhuǎn)）等等我們現(xiàn)在已經(jīng)提出了兩類基本對(duì)象，即拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射下面將從連續(xù)映射中挑出重要的一類來給予特別的關(guān)注定義設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g如果f：XY是一個(gè)一映射，并且f和：YX都是連續(xù)的，則稱f是一個(gè)同胚映射或同胚定理設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g則（1）恒同映射：XX是一個(gè)同胚；（2）如果f：XY是一個(gè)同胚

22、，則：YX也是一個(gè)同胚；（3）如果f：XY和g：YZ都是同胚，則gof：XZ也是一個(gè)同胚證明以下證明中所涉及的根據(jù)，可參見定理，定理l53和定理154（l）是一個(gè)一映射，并且，都是連續(xù)的，從而是同胚（2）設(shè)f：XY是一個(gè)同胚因此f是一個(gè)一映射，并且f和 都是連續(xù)的于是也是一個(gè)一映射并且和也都是連續(xù)的，所以也是一個(gè)同胚（3）設(shè)f：XY和g：YZ都是同胚因此f和g都是一映射，并且f，g和都是連續(xù)的因此gof也是一映射，并且gof和都是連續(xù)的所以gof是一個(gè)同胚定義設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g如果存在一個(gè)同胚f：XY，則稱拓?fù)淇臻gX與拓?fù)淇臻gY是同胚的，或稱X與Y同胚，或稱X同胚于Y粗略地說，同胚的兩個(gè)空

23、間實(shí)際上便是兩個(gè)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間定理設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g則（1）X與X同胚；（2）如來X與Y同胚，則Y與X同胚；（3）如果X與Y同胚，Y與Z同胚，則X與Z同胚證明從定理直接得到根據(jù)定理，我們可以說：在任意給定的一個(gè)由拓?fù)淇臻g組成的族中，兩個(gè)拓?fù)淇臻g是否同胚這一關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系因而同胚關(guān)系將這個(gè)拓?fù)淇臻g族分為互不相交的等價(jià)類，使得屬于同一類的拓?fù)淇臻g彼此同胚，屬于不同類的拓?fù)淇臻g彼此不同胚拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)P，如果為某一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則必為與其同胚的任何一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則稱此性質(zhì)P是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)換言之，拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)即為同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)?/p>

24、不變性質(zhì)至此我們已經(jīng)做完了將數(shù)學(xué)分析中我們熟知的歐氏空間和歐氏空間之間的連續(xù)函數(shù)的概念，經(jīng)由度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射，一直抽象為拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射這樣一個(gè)在數(shù)學(xué)的歷史上經(jīng)過了很長(zhǎng)的一段時(shí)期才完成的工作在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中對(duì)所研究的問題不斷地加以抽象這種做法是屢見不鮮的，但每一次的抽象都是把握住舊的研究對(duì)象（或其中的某一個(gè)方面）的精粹而進(jìn)行的一次提升，是一個(gè)去粗取精的過程也正因?yàn)槿绱?，新的概念和理論往往有更多的包容拓?fù)鋵W(xué)無疑也是如此，一方面它使我們對(duì)“空間”和“連續(xù)”有更為純正的認(rèn)識(shí)，另一方面也包含了無法列入以往的理論中的新的研究對(duì)象（特別是許多無法作為度量空間處理的映射空間

25、）這一切讀者在學(xué)習(xí)的過程中必然會(huì)不斷地加深體會(huì)作業(yè)：P55 2,5,6,8,9,102.3鄰域與鄰域系本節(jié)重點(diǎn)：掌握鄰域的概念及鄰域的性質(zhì)；掌握連續(xù)映射的兩種定義；掌握證明開集與鄰域的證明方法（今后證明開集常用定理）我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中定義映射的連續(xù)性是從“局部”到“整體”的，也就是說先定義映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性，然后再定義這個(gè)映射本身的連續(xù)性然而對(duì)于拓?fù)淇臻g的映射而言，先定義映射本身的連續(xù)性更為方便，所以我們先在2.2中做好了；現(xiàn)在輪到給出映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的定義了在定理中我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，為此只要有一個(gè)適當(dāng)?shù)姆Q之為“鄰域”的概念，而在2.1中定義度量空間的鄰域時(shí)又只用到“開集”因此我們先在拓?fù)?/p>

26、空間中建立鄰域的概念然后再給出映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念，這些概念的給出一點(diǎn)也不會(huì)使我們感到突然定義設(shè)（X，P)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，xX如果U是X的一個(gè)子集，滿足條件：存在一個(gè)開集VP使得xVU，則稱U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域點(diǎn)x的所有鄰域構(gòu)成的x的子集族稱為點(diǎn)x的鄰域系易見，如果U是包含著點(diǎn)x的一個(gè)開集，那么它一定是x的一個(gè)鄰域，于是我們稱U是點(diǎn)x的一個(gè)開鄰域首先注意，當(dāng)我們把一個(gè)度量空間看作拓?fù)淇臻g時(shí)（這時(shí)，空間的拓?fù)涫怯啥攘空T導(dǎo)出來的拓?fù)洌?，一個(gè)集合是否是某一個(gè)點(diǎn)的鄰域，無論是按2.1中的定義或者是按這里的定義，都是一回事定理拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集U是開集的充分必要條件是U是它的每一點(diǎn)的鄰域，即只要

27、xU，U便是x的一個(gè)鄰域證明定理中條件的必要性是明顯的以下證明充分性如果U是空集，當(dāng)然U是一個(gè)開集下設(shè)U根據(jù)定理中的條件，使得故U=，根據(jù)拓?fù)涞亩x，U是一個(gè)開集定理概括了鄰域系的基本性質(zhì)定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g記為點(diǎn)xX的鄰域系則：（1）對(duì)于任何xX，；并且如果U，則xU；（2）如果U，V，則UV；（3）如果U并且UV，則V；（4）如果U，則存在V滿足條件：(a)VU和(b)對(duì)于任何yV，有V證明（1）X,XP,X,且由定義,如果U，則xU（2）設(shè)U，V則存在UP和P使得和成立從而我們有,T,UV（3）設(shè)U，并且（4）設(shè)U令VP滿足條件V已經(jīng)滿足條件（a），根據(jù)定理，它也滿足條件（b）以下定理

28、表明，我們完全可以從鄰域系的概念出發(fā)來建立拓?fù)淇臻g理論，這種做法在點(diǎn)集拓?fù)浒l(fā)展的早期常被采用這種做法也許顯得自然一點(diǎn)，但不如現(xiàn)在流行的從開集概念出發(fā)定義拓?fù)鋪淼煤?jiǎn)潔定理設(shè)X是一個(gè)集合又設(shè)對(duì)于每一點(diǎn)xX指定了x的一個(gè)子集族恰是點(diǎn)x在拓?fù)淇臻g（X，P)中的鄰域系(證明略)現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射在一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念推廣到拓?fù)淇臻g之間的映射中去定義設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:XY，xX如果f（x）Y的每一個(gè)鄰域U的原象（U）是xX的一個(gè)鄰域，則稱映射f是一個(gè)在點(diǎn)x處連續(xù)的映射，或簡(jiǎn)稱映射f在點(diǎn)x處連續(xù)與連續(xù)映射的情形一樣，按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性也明顯地是受到了

29、2.1中的定理的啟發(fā)并且該定理也保證了：當(dāng)X和Y是兩個(gè)度量空間時(shí)，如果f: XY是從度量空間X到度量空間Y的一個(gè)映射，它在某一點(diǎn)xX處連續(xù)，那么它也是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的一個(gè)在點(diǎn)x處連續(xù)的映射；反之亦然定理設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g則（1）恒同映射：XX在每一點(diǎn)xX處連續(xù)；（2）如果f：XY在點(diǎn)xX處連續(xù)，g：YZ在點(diǎn)f（x）處連續(xù)，則gof：XZ在x處連續(xù)證明請(qǐng)讀者自己補(bǔ)上以下定理則建立了“局部的”連續(xù)性概念和“整體的”連續(xù)性概念之間的聯(lián)系定理設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f：XY則映射f連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一點(diǎn)xX，映射f在點(diǎn)x處連續(xù)證明必要性：設(shè)映射f連續(xù)，這證明f在點(diǎn)X處連續(xù)充分性：設(shè)對(duì)于

30、每一點(diǎn)xX，映射f在點(diǎn)x處連續(xù)這就證明了f連續(xù)作業(yè):掌握證明一個(gè)子集是鄰域的方法,掌握證明一個(gè)映射是否連續(xù)的方法2.4導(dǎo)集，閉集，閉包本節(jié)重點(diǎn)：熟練掌握凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、閉集、閉包的概念；區(qū)別一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉包的概念上的不同；掌握一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉集或閉包的充要條件；掌握用“閉集”敘述的連續(xù)映射的充要條件如果在一個(gè)拓?fù)淇臻g中給定了一個(gè)子集，那么拓?fù)淇臻g中的每一個(gè)點(diǎn)相對(duì)于這個(gè)子集而言“處境”各自不同，因此可以對(duì)它們進(jìn)行分類處理定義設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX如果點(diǎn)xX的每一個(gè)鄰域U中都有A中異于x的點(diǎn)，即U（A-x），則稱點(diǎn)x是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn)或極限點(diǎn)集合A的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為A的導(dǎo)集，記作d

31、（A）如果xA并且x不是A的凝聚點(diǎn)，即存在x的一個(gè)鄰域U使得U（A-x），則稱x為A的一個(gè)孤立點(diǎn)即:(牢記)在上述定義之中，凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、以及孤立點(diǎn)的定義無一例外地都依賴于它所在的拓?fù)淇臻g的那個(gè)給定的拓?fù)湟虼?，?dāng)你在討論問題時(shí)涉及了多個(gè)拓?fù)涠终劦侥硞€(gè)凝聚點(diǎn)時(shí)，你必須明確你所談的凝聚點(diǎn)是相對(duì)于哪個(gè)拓?fù)涠?，不容許產(chǎn)生任何混淆由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于給定拓?fù)涞?，因此類似于這里談到的問題今后幾乎時(shí)時(shí)都會(huì)發(fā)生，我們不每次都作類似的注釋，而請(qǐng)讀者自己留心某些讀者可能已經(jīng)在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念，但絕不要以為對(duì)歐氏空間有效的性質(zhì)，例如歐氏空間中凝聚點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)一般的拓

32、撲空間都有效以下兩個(gè)例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象例離散空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集設(shè)X是一個(gè)離散空間，A是X中的一個(gè)任意子集由于X中的每一個(gè)單點(diǎn)集都是開集，因此如果xX，則X有一個(gè)鄰域x，使得，以上論證說明，集合A沒有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，從而A的導(dǎo)集是空集，即d（A）例平庸空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集設(shè)X是一個(gè)平庸空間，A是X中的一個(gè)任意子集我們分三種情形討論：第1種情形：A=這時(shí)A顯然沒有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，亦即d（A）=（可以參見定理中第（l）條的證明）第2種情形：A是一個(gè)單點(diǎn)集，令 A如果xX，x，點(diǎn)x只有惟一的一個(gè)鄰域X，這時(shí)，所以；因此x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，即xd（A）然而對(duì)于的惟一鄰域X

33、有：所以d（A）=X-A第3種情形：A包含點(diǎn)多于一個(gè)請(qǐng)讀者自己證明這時(shí)X中的每一個(gè)點(diǎn)都是A的凝聚點(diǎn)，即d（A）X定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX則（l）d（）=；（2）AB蘊(yùn)涵d（A）d（B）；（3）d（AB）d（A）d（B）；（4）d（d（A）Ad（A）證明（1）由于對(duì)于任何一點(diǎn)xX和點(diǎn)x的任何一個(gè)鄰域U，有U （2）設(shè)AB如果這證明了d（A）d（B）（3）根據(jù)（2），因?yàn)锳，BAB，所以有d（A），d（B）d（AB），從而d（A）d（B）d（AB）另一方面，如果綜上所述，可見（3）成立(這是證明一個(gè)集合包含于另一個(gè)集合的另一方法:要證,只要證即可)（4）設(shè)：即（4）成立定義設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，

34、AX如果A的每一個(gè)凝聚點(diǎn)都屬于A，即d（A）A，則稱A是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)閉集中的討論可見，離散空間中的任何一個(gè)子集都是閉集，而平庸空間中的任何一個(gè)非空的真子集都不是閉集定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX則A是一個(gè)閉集，當(dāng)且僅當(dāng)A的補(bǔ)集是一個(gè)開集證明必要性：設(shè)A是一個(gè)閉集充分性：設(shè)：即A是一個(gè)閉集例實(shí)數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間設(shè)a，bR，ab閉區(qū)間a，b是實(shí)數(shù)空間R中的一個(gè)閉集，因?yàn)閍，b的補(bǔ)集=（-，a）（b，）是一個(gè)開集同理，（-，a，b，）都是閉集，（-，）R顯然更是一個(gè)閉集然而開區(qū)間（a，b）卻不是閉集，因?yàn)閍是（a，b）的一個(gè)凝聚點(diǎn)，但a（a，b）同理區(qū)間（a，b，a，b），（-，a）和（b

35、，）都不是閉集定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g記F為所有閉集構(gòu)成的族則：（1）X，F(xiàn)（2）如果A，BF，則AUBF（從而如果)（3）如果在此定理的第（3）條中，我們特別要求的原因在于當(dāng)=時(shí)所涉及的交運(yùn)算沒有定義證明根據(jù)定理，我們有T=|UF其中，T為X的拓?fù)洌?）X，T，（2）若A、BF ，則（3）令：定理證明完成總結(jié)：（1）有限個(gè)開集的交是開集，任意個(gè)開集的并是開集其余情形不一定（2）有限個(gè)閉集的并是閉集，任意個(gè)閉集的交是閉集其余情形不一定定義設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,AX,集合A與A的導(dǎo)集d(A)的并Ad(A)稱為集合A的閉包,記作或容易看出,(注意:與xd(A)的區(qū)別)定理拓?fù)淇臻gX的子集A是閉集的充要

36、條件是A=證明:定理成立是因?yàn)?集合A為閉集當(dāng)且僅當(dāng)d(A)A而這又當(dāng)且僅當(dāng)A=Ad(A)定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,則對(duì)于任意A,BX,有：證明（1）成立是由于是閉集（2）成立是根據(jù)閉包的定義（3）成立是因?yàn)?（4）成立是因?yàn)?Ad（A）d（d（A) Ad（A）=定理拓?fù)淇臻gX的任何一個(gè)子集A的閉包都是閉集證明根據(jù)定理定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，F(xiàn)是由空間X中所有的閉某構(gòu)成的族，則對(duì)于X的每一個(gè)子集A，有 即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之交證明因?yàn)锳包含于，而后者是一個(gè)閉集，由定理有另一方面，由于是一個(gè)閉集，并且，所以(“交”包含于形成交的任一個(gè)成員)綜合這兩個(gè)包含關(guān)系，即得所求證的等式由定理可

37、見，X是一個(gè)包含著A的閉集，它又包含于任何一個(gè)包含A的閉集之中，在這種意義下我們說：一個(gè)集合的閉包乃是包含著這個(gè)集合的最小的閉集在度量空間中，集合的凝聚點(diǎn)，導(dǎo)集和閉包都可以通過度量來刻畫定義設(shè)（X，)一個(gè)度量空間X中的點(diǎn)x到X的非空子集A的距離（x，A）定義為 （x，A）inf（x，y）|yA根據(jù)下確界的性質(zhì)以及鄰域的定義易見：（x，A）0當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意實(shí)數(shù)0，存在yA使得（x，y），換言之即是：對(duì)于任意B（x，）有B（x，)A，而這又等價(jià)于：對(duì)于x的任何一個(gè)鄰域U有UA，應(yīng)用以上討論立即得到定理設(shè)A是度量空間（X，）中的一個(gè)非空子集則（1）xd（A）當(dāng)且僅當(dāng)（x，A-x）=0；（2）x當(dāng)且

38、僅當(dāng)（x，A）0以下定理既為連續(xù)映射提供了等價(jià)的定義，也為驗(yàn)證映射的連續(xù)性提供了另外的手段定理設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:XY則以下條件等價(jià)：（l）f是一個(gè)連續(xù)映射；（2）Y中的任何一個(gè)閉集B的原象(B)是一個(gè)閉集；（3）對(duì)于X中的任何一個(gè)子集A，A的閉包的象包含于A的象的閉包，即； (4)對(duì)于Y中的任何一個(gè)子集B，B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即證明（1）蘊(yùn)涵（2）設(shè)BY是一個(gè)閉集則 是一個(gè)開集，因此根據(jù)（1），是X中的一個(gè)開集，因此(B)是X中的一個(gè)閉集(2)蘊(yùn)涵（3）設(shè)AX由于f（A），根據(jù)（2），成立(3)蘊(yùn)涵(4)設(shè)AY集合(B)X應(yīng)用（3）即得 （4）蘊(yùn)涵（l）設(shè)U是Y中的一個(gè)

39、開集則是Y中的一個(gè)閉集對(duì)此集合應(yīng)用（4）可見:總結(jié)一下,到目前為止,證明映射連續(xù)的方法有幾種?證明一個(gè)子集是開集,閉集的方法有幾種?如何證明一個(gè)點(diǎn)是某個(gè)子集的凝聚點(diǎn)?作業(yè):P69 122.6 基與子基本節(jié)重點(diǎn)：掌握基與子基的概念，點(diǎn)的鄰域與基之間的關(guān)系；掌握基、子基與開集的關(guān)系；掌握如何用基表示開集在討論度量空間的拓?fù)涞臅r(shí)候，球形鄰域起著基本性的重要作用一方面，每一個(gè)球形鄰域都是開集，從而任意多個(gè)球形鄰域的并也是開集；另一方面，假設(shè)U是度量空間X中的一個(gè)開集則對(duì)于每一個(gè)xU有一個(gè)球形鄰域B（x，）U，因此這就是說，一個(gè)集合是某度量空間中的一個(gè)開集當(dāng)且僅當(dāng)它是這個(gè)度量空間中的若干個(gè)球形鄰域的并因

40、此我們可以說，度量空間的拓?fù)涫怯伤乃械那蛐梧徲蛲ㄟ^集族求并這一運(yùn)算“產(chǎn)生”出來的留意了這個(gè)事實(shí)，下面在拓?fù)淇臻g中提出“基”這個(gè)概念就不會(huì)感到突然了定義設(shè)（X，T）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，B是T的一個(gè)子族如果T中的每一個(gè)元素（即拓?fù)淇臻gX中的每一個(gè)開集）是B中某些元素的并，即對(duì)于每一個(gè)UT，存在使得 則稱B是拓?fù)銽的一個(gè)基，或稱B是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基按照本節(jié)開頭所作的論證立即可得：定理一個(gè)度量空間中的所有球形鄰域構(gòu)成的集族是這個(gè)度量空間作為拓?fù)淇臻g時(shí)的一個(gè)基特別地，由于實(shí)數(shù)空間R中所有開區(qū)間構(gòu)成的族就是它的所有球形鄰域構(gòu)成的族，因此所有開區(qū)間構(gòu)成的族是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)基至于離散空間，它有一個(gè)最簡(jiǎn)單的

41、基，這個(gè)基由所有的單點(diǎn)子集構(gòu)成下面的定理為判定某一個(gè)開集族是否是給定的拓?fù)涞囊粋€(gè)基提供了一個(gè)易于驗(yàn)證的條件定理設(shè)B是拓?fù)淇臻g（X，T）的一個(gè)開集族（即），則B是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一個(gè)xX和x的每一個(gè)鄰域證明設(shè)B是X的一個(gè)基，則根據(jù)基的定義，可知存在這證明B滿足定理中的條件另一方面，設(shè)定理中的條件成立如果U是X中的一個(gè)開集，則對(duì)于每一個(gè)xU，因此，U是B中某些元素之并，從而B是X的一個(gè)基在度量空間中，通過球形鄰域確定了度量空間的拓?fù)洌@個(gè)拓?fù)湟匀w球形鄰域構(gòu)成的集族作為基是否一個(gè)集合的每一個(gè)子集族都可以確定一個(gè)拓?fù)湟运鼮榛?？答案是否定的以下定理告訴我們一個(gè)集合的什么樣的子集族可以成

42、為它的某一個(gè)拓?fù)涞幕ɡ碓O(shè)X是一個(gè)集合，B是集合X的一個(gè)子集族（即BP(X)如果B滿足條件：（1）；（2）如果,則對(duì)于任何則X的子集族TUX|存在使得是集合X的惟一的一個(gè)以B為基的拓?fù)?；反之，如果X的一個(gè)子集族B是X的某一個(gè)拓?fù)涞幕瑒tB一定滿足條件（l）和（2）值得注意的是，如果集合X的子集族B滿足條件：對(duì)于任意B,有B這時(shí)，B必然滿足條件（2）這種情形經(jīng)常遇到證明設(shè)X的子集族B滿足條件（l）和（2）我們先驗(yàn)證定理中給出的T是X的一個(gè)拓?fù)洌海?）根據(jù)條件（1），XT；由于,而B 所以T（2）我們先驗(yàn)證：如果B，則T這是因?yàn)楦鶕?jù)條件（2），對(duì)于每一個(gè)x,存在,由于現(xiàn)在設(shè) 成立因此 根據(jù)前說，上

43、式中最后那個(gè)并集中的每一項(xiàng)都是B中某些元素之并，所以也是B中某些元素之并，因此（3）設(shè)則以上證明了T是集合X的一個(gè)拓?fù)涓鶕?jù)T的定義立即可見B是拓?fù)銽的一個(gè)基假設(shè)集合X還有一個(gè)拓?fù)湟訠為它的一個(gè)基根據(jù)基的定義，任何一個(gè)A必為B中某些元素的并，所以AT 這證明T,另一方面，由于B,所以如果AT則A是B中的某些元素之并，因此也是 中某些元素之并；由于是一個(gè)拓?fù)?，所以A這又證明了T因此T=這說明以B為基的拓?fù)涫俏┮坏淖詈笞C明定理的后半段設(shè)B是X的某一個(gè)拓?fù)銽*的一個(gè)基由XT*可知X必為B中的某些元素的并，故必為集族B之并因此（1）成立設(shè)和x由于BT*是x的一個(gè)開鄰域，根據(jù)定理，存在使得,這證明條件（2

44、）成立在定義基的過程中我們只是用到了集族的并運(yùn)算，如果再考慮集合的有限交運(yùn)算（注意拓?fù)渲皇菍?duì)有限交封閉的，所以只考慮有限交），便得到“子基”這個(gè)概念定義設(shè)（X，T)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是T的一個(gè)子族如果的所有非空有限于族之交構(gòu)成的集族，即是拓?fù)銽的一個(gè)基，則稱集族 是拓?fù)銽的一個(gè)子基，或稱集族是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子基例實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)子基實(shí)數(shù)集合R的一個(gè)子集族=(a,)|aR(-,b)|bR是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)子基這是因?yàn)槭菍?shí)數(shù)空間的一個(gè)開集族，并且的每一個(gè)有限非空子族之交的全體構(gòu)成的集族恰好就是所有有限開區(qū)間構(gòu)成的族并上再并上，顯然它是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)基定理設(shè)X是一個(gè)集合，是X的一個(gè)子集族（即P(X

45、)如果則X有惟一的一個(gè)拓?fù)銽以為子基并且若令則證明令B和T如定理中容易驗(yàn)證B滿足定理中的條件（l）和（2），因此根據(jù)該定理，B是T的一個(gè)基，所以 是T的一個(gè)子基如果是X的一個(gè)拓?fù)?，它以為一個(gè)子基，則根據(jù)子基的定義，以B為基根據(jù)定理中的惟一性，我們有 =T 映射的連續(xù)性可以通過基或子基來驗(yàn)證一般說來，基或子基的基數(shù)不大于拓?fù)涞幕鶖?shù)，所以通過基或子基來驗(yàn)證映射的連續(xù)性，有時(shí)可能會(huì)帶來很大的方便定理設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:XY則以下條件等價(jià)：（l）f連續(xù)；（2）拓?fù)淇臻gY有一個(gè)基B，使得對(duì)于任何一個(gè)BB，（B）是X中的一個(gè)開集；（3）Y有一個(gè)子基,使得對(duì)于任何一個(gè)S原象(S)是X中的一個(gè)開集證明

46、條件（l）蘊(yùn)涵（3）是顯然的，因?yàn)閅的拓?fù)浔旧肀闶荵的一個(gè)子基條件（3）蘊(yùn)涵（2）設(shè)是Y的拓?fù)涞囊粋€(gè)子基,滿足（3）中的要求根據(jù)定義，是Y的拓?fù)涞囊粋€(gè)基對(duì)于任何,i1，2，n，其中n，我們有它是X中n個(gè)開集之交，因此是X中的一個(gè)開集條件（2）蘊(yùn)涵（1）設(shè)B是Y的拓?fù)涞囊粋€(gè)基，它滿足（2）中的要求如果U是Y中的一個(gè)開集，則是X中一族開集之并，所以是X中的一個(gè)開集這證明f連續(xù)對(duì)于局部情形，也有類似于基和子基的概念定義設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，xX記為x的鄰域系的子族如果滿足條件：對(duì)于每一個(gè)U，存在V，使得VU，則稱是點(diǎn)x的鄰域系的一個(gè)基，或簡(jiǎn)稱為點(diǎn)x的一個(gè)鄰域基 的子族如果滿足條件：每一個(gè)有限非空子族之

47、交的全體構(gòu)成的集族，即是x的一個(gè)鄰域基，則稱此是點(diǎn)x的鄰域系的一個(gè)子基，或簡(jiǎn)稱為點(diǎn)x的一個(gè)鄰域子基顯然，在度量空間中以某一個(gè)點(diǎn)為中心的全體球形鄰域是這個(gè)點(diǎn)的一個(gè)鄰域基；以某一個(gè)點(diǎn)為中心的全體以有理數(shù)為半徑的球形鄰域也是這個(gè)點(diǎn)的一個(gè)鄰域基鄰域基和鄰域子基的概念可以用來驗(yàn)證映射在一點(diǎn)處的連續(xù)性定理設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:XY，xX則以下條件等價(jià)：（1）f在點(diǎn)x處連續(xù)；（2）f(x)有一個(gè)鄰域基，使得對(duì)于任何V；，原象(V)是x的一個(gè)鄰域；（3）f(x)有一個(gè)鄰域子基 ，使得對(duì)于任何W，原象(W)是x的一個(gè)鄰域證明(略)基與鄰域基,子基與鄰域子基有以下關(guān)聯(lián)定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，xX則（1）如果

48、B是X的一個(gè)基，則=BB|xB是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域基；（2）如果是X的一個(gè)子基，則=S|xS是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域子基證明(略)作業(yè)：P82 1472.7 拓?fù)淇臻g中的序列本節(jié)重點(diǎn):掌握拓?fù)淇臻g中序列的概念,及極限點(diǎn)的概念；掌握數(shù)學(xué)分析中的序列的性質(zhì)與拓?fù)淇臻g中的序列的性質(zhì)有何不同；掌握不可數(shù)集中序列的特性；掌握點(diǎn)集的凝聚點(diǎn)與序列的極限點(diǎn)的關(guān)系在讀者熟知的數(shù)學(xué)分析課程中，往往用序列收斂的概念作為出發(fā)點(diǎn)來刻畫集合的凝聚點(diǎn)，函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)性等等在這一節(jié)我們便會(huì)看到這種做法在一般的拓?fù)淇臻g中并不可行；而要使得它變?yōu)榭尚械?，則要對(duì)拓?fù)淇臻g加以適當(dāng)?shù)南拗莆覀儗碓傺芯窟@種限制加到什么程度為合適定義設(shè)X是一個(gè)

49、拓?fù)淇臻g每一個(gè)映射S:X，叫做X中的一個(gè)序列我們常將序列S記作；或者，或者干脆記作，其中有時(shí)我們也將記號(hào)簡(jiǎn)化為，但這時(shí)要警惕不要與單點(diǎn)集相混拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)序列實(shí)際上就是在X中按先后次序取到的一串點(diǎn)，這些點(diǎn)可能重復(fù)因此一個(gè)序列 可以僅由有限個(gè)點(diǎn)組成，當(dāng)這個(gè)集合是單點(diǎn)集時(shí)，我們稱序列為一個(gè)常值序列定義設(shè)是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)序列，xX如果對(duì)于x的每一個(gè)鄰域U，存在M,使得當(dāng)iM時(shí)有xiU，則稱點(diǎn)x是序列 ，的一個(gè)極限點(diǎn)（或極限），也稱為序列收斂于x，記作 limx或x(i)如果序列至少有一個(gè)極限，則稱這個(gè)序列是一個(gè)收斂序列拓?fù)淇臻g中序列的收斂性質(zhì)與以前我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中熟悉的有很大的差別例如，容易驗(yàn)證平庸空間中任何一個(gè)序列都收斂，并且收斂于這個(gè)空間中的任何一個(gè)點(diǎn)這時(shí)極限的惟一性當(dāng)然無法保證了定義設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，S,：X是X中的兩個(gè)序列如果存在一個(gè)嚴(yán)格遞增的映射N：(即對(duì)于任意 ，如果，則有N（）N（)，使得 SoN，則稱序列是序列S的一個(gè)子序列假如我們將此定義中的序列S記作那么序列自然可以記作，也就是說，序列第i個(gè)點(diǎn)恰是序列第N（i）個(gè)點(diǎn)我們已經(jīng)看到，我們以前熟悉的序列的性質(zhì)有許多對(duì)于拓?fù)淇臻g中的序列是不適合的但總有一些性質(zhì)還保留著，其中最主要的可見于以下三個(gè)定理中定理設(shè)是拓?fù)淇?/p>