常微分方程試題

1、一 單項(xiàng)選擇題(每小題2分, 共40分) 1. 下列四個(gè)微分方程中, 為三階方程的有( )個(gè). (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 為確定一個(gè)一般的n階微分方程 =0的一個(gè)特解, 通常應(yīng)給出的初始條件是( ). A. 當(dāng) 時(shí), B. 當(dāng) 時(shí), C. 當(dāng) 時(shí), D. 當(dāng) 時(shí), 3. 微分方程 的一個(gè)解是( ). A. B. C. D. 4. 下列方程中, 既是齊次方程又是線性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程 是恰當(dāng)方程, 則 （ ）. A. B. C. D. 6. 若方程 有只與y有關(guān)的積分因子 , 則可取 為( ). A. B. C

2、. D. 7. 可用變換( )將伯努利方程 化為線性方程. A. B. C. D. 8. 是滿足方程 和初始條件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 設(shè) 是n階齊線性方程 的解, 其中 是某區(qū)間中的連續(xù)函數(shù). 如下敘述中, 正確的是( ). A. 若 的伏朗斯基行列式為零, 則 線性無(wú)關(guān) B. 若 的伏朗斯基行列式不為零, 則 線性相關(guān)C. 若 的伏朗斯基行列式不為零, 則 線性無(wú)關(guān)D. 由 的伏朗斯基行列式是否為零, 不能確定 的線性相關(guān)性10. 設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù) 和 是方程 的解,則方程的通解是( )A. ( 是任意常數(shù), 下同) B. C. D. 11. 三階系數(shù)齊線性方程 的

3、特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程 的基本解組是( ). A. B. C. D. 13. 方程 的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知 是某一三階齊線性方程的解, 則 和 的伏朗斯基行列式 ( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 015. 可將三階方程 化為二階方程的變換為( ). A. B. C. D. 16. 方程組 滿足初始條件 的解為( ). A. B. C. D. 17. n階函數(shù)方陣 在 上連續(xù), 方程組 有基解矩陣 , 如下敘述中, 正確的是( ).A. 的每個(gè)列向量是該方程組

4、的解向量且 在某一點(diǎn) 為零B. 的每個(gè)行向量是該方程組的解向量且 C. 的每個(gè)列向量是該方程組的解向量且 恒不為零 D. 的每個(gè)行向量是該方程組的解向量且 恒不為零18. 設(shè)A是n階常數(shù)方陣, 是A的一個(gè)特征值, 則方程組 有解為 , 其中 是( )A. 矩陣A的對(duì)應(yīng)于 的特征向量 B. 任意向量 C. 矩陣A任意一個(gè)行向量 D. 矩陣A的任意一個(gè)列向量19. n階函數(shù)方陣 在 上連續(xù), 方程組 有兩個(gè)基解矩陣 和 , 如下敘述中, 正確的是( ).A. 存在非奇異的常數(shù)矩陣C, 使得 B. 存在非奇異的常數(shù)矩陣C, 使得 C. 存在非奇異的常數(shù)矩陣C, 使得 D. 存在非奇異的常數(shù)矩陣C,

5、使得 20. 設(shè) 和 都是由方程組 的n個(gè)解向量所組成的方陣, 其中 是在 上連續(xù)的函數(shù)方陣, 是連續(xù)的列向量, 則如下斷言中正確的為( ). A. 必是方程組 的基解矩陣B. 仍是方程組 的解矩陣C. 是方程組 的解矩陣D. 也是方程組 的解矩陣. 二 簡(jiǎn)答題(每小題3分, 共15分)21. 寫出把方程 化為變量分離方程的變換, 并將變換后的方程進(jìn)行變量分離. 22. 試寫出二階歐拉方程 的一個(gè)基本解組 23. 寫出初值問(wèn)題 的第二次近似解. 24. 函數(shù) 和 都是初值問(wèn)題 的解. 試用解的唯一存在性 定理解釋這個(gè)初值問(wèn)題的解存在但不唯一的原因.25. 已知三階方陣 的特征值為1, 1, 2

6、, 對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 試寫出 方程組 的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣(既當(dāng)t=0時(shí)為單位矩陣的基解矩陣) . 三 計(jì)算題(一) (每小題5分, 共15分)26. 解方程 . 27. 解方程 . 28. 求解方程 , 其中 . 四 計(jì)算題(二) (每小題6分, 共18分)29. 解方程 . 30. 求方程組 的一個(gè)基解矩陣, 其中 . 31. 求解方程 . 五 應(yīng)用題 (6分)32. 求平面上過(guò)原點(diǎn)的曲線方程, 該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn)(1,0)的連線相互 垂直. 六 證明題 (6分) 33. 設(shè) 都是區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù), 且 是二階線性方程 的一個(gè)基本解組. 試證明: (i) 和 都只能有簡(jiǎn)單零點(diǎn)(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零); (ii) 和 沒有共同的零點(diǎn);(iii) 和 沒有共同的零點(diǎn).一. 求解下列常微分方程: (每小題10分, 共50分) (1) .(2) .(3) .(4) .(5) .二. (15分) 求二階常系數(shù)微分方程的通解 . 三. (15分) 設(shè) , , . (1) 求齊線性方程組的基解矩陣 ；(2) 求非齊線性方程組 滿足初始條件的 的解 .四.