常微分方程練習(xí)題

1、常微分方程練習(xí)題班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 姓名：第一二章一填空題 1 稱為一階線性方程，它有積分因子 ，其通解為 。 2一階微分方程是恰當(dāng)方程的充分必要條件是_。 3. 方程有只含的積分因子的充要條件是_。有只含的積分因子的充要條件是_。 4 稱為伯努利方程，它有積分因子 。5. 一曲線經(jīng)過原點(diǎn)，且曲線上任意一點(diǎn)處 的切線斜率為，則曲線方程為_。二.求一曲線，其切線在縱軸之截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)。三.求出伯努利方程的積分因子。四求下列方程的通解。 12. = 3 x(4ydx+2xdy)+y(3ydx+5xdy)=04（y-1-xy）dx+xdy=05=y+sinx6(xy+xy)y=17(x-1)y+y

2、-2xy+1=08.dx+dy=09. 。10. 五證明題。1一階非齊線性方程的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程的解2齊線性方程的任一解的常數(shù)倍或任兩解之和仍為其解。第三章一 填空：1 函數(shù)f(x,y)稱為在矩形域R上滿足利普希茲條件，如果 。2 對(duì)畢卡逼近序列， 。3 若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茲條件，則方程的解作為的函數(shù)在它的存在范圍是 。4 微分方程的奇解是指_。5 方程定義在矩形域R：上，則經(jīng)過點(diǎn)（0，0）的解的存在區(qū)間是_-。二 求解下列各題：1 求方程過點(diǎn)（0，0）的第三次近似解。2 求初植問題 R；的解的存在區(qū)間，并求第二近似解，給出解的存在區(qū)間的誤差。三

3、 證明題：假設(shè)函數(shù)于的領(lǐng)域內(nèi)是y的不增函數(shù)，試證方程滿足條件的解于一側(cè)最多只有一個(gè)。第四章一 填空：1_稱為n階齊線性微分方程。2非零為二階齊線性方程的解，這里和于區(qū)間上連續(xù)，則是方程解的充要條件是_。常系數(shù)非齊線性方程中，若，其中與為實(shí)常數(shù)，那么方程有形如_的特解。在n階常系數(shù)齊線性方程中，為常數(shù)，則它的特征方程為_。若方程中滿足_條件，則方程有形如的特解。微分方程的階數(shù)為_。設(shè)是二階齊線性方程的一個(gè)解,則方程的通解可表為_解線性方程的常用方法有_、_、_、_若為齊線性方程的n個(gè)線性無關(guān)解，則這一齊線性方程的通解可表為_.10.若為齊線性方程的一個(gè)基本解組,為非齊線性方程的一個(gè)特解,則非齊線

4、性方程的所有解可表_.11.若1，2，是齊線性方程的個(gè)解，為其伏朗斯基行列式，則滿足一階線性方程_ 。12. 函數(shù)_ 是微分方程 的通解.13. 微分方程滿足初始條件的特解是_.14. 方程的基本解組是 15. 常系數(shù)方程有四個(gè)特征根分別為（二重根），那么該方程有基本解組（ ）二 計(jì)算 求通解 求特解， 設(shè)二階非齊線性方程的三個(gè)特解為求其通解 求解方程 求方程的通解 求方程的解 求解方程 求初始問題的解： 求解方程三設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足，求四證明題 1.若函數(shù)為n階齊線性方程的n個(gè)線性相關(guān)解，則它們的伏朗斯基行列式 2試證n階非齊線性方程存在且最多存在n+1個(gè)線性無關(guān)解。3. 在方程中，在上連續(xù)，求

5、證：若恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式是上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)第五章一、 填空題1設(shè)是方程組的定義于區(qū)間上且滿足初始條件的解，則是積分方程_的定義于上的_解。反之亦然。2在證明用皮卡逼近時(shí)，我們對(duì)于所有的正整數(shù)有如下估計(jì)：_。3如果向量函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的伏朗斯基行列式_。4一定存在一個(gè)基解矩陣，如果是的任一解，那么_。5若是的基解矩陣，則向量函數(shù)=_是的滿足初始條件的解；向量函數(shù)=_是的滿足初始條件的解。6寫出關(guān)于矩陣指數(shù)的性質(zhì)_、_、_。7非齊線性方程組滿足初始條件的解=_。8假設(shè)是方程的三重根，則=_。9設(shè)分別是方程組，的解，則滿足方程的一個(gè)解可以為_。10設(shè)是的基解矩

6、陣，是的某一解，則的任一解都可表示為_。11方程組的個(gè)解線性無關(guān)的充要條件是 。12若矩陣A具有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別是，那么矩陣= 是常系數(shù)線性方程組的一個(gè)基解矩陣。13若是的基解矩陣，則滿足的解= 。14若是上的連續(xù)函數(shù)，是方程的兩個(gè)線性無關(guān)解，則的通解為： 。15.如果是的個(gè)線性無關(guān)解，則它的任一解可表為 。16. 如果是方程組的一個(gè)基解矩陣，則=_17. 設(shè)A,B是兩個(gè)階常數(shù)矩陣，且滿足_, 則exp(A+B)=expAexpB 二計(jì)算1求的基本解矩陣。2求方程組的基解矩陣，并求出滿足初始條件的解。 其中 3求方程的通解。4試用逐步皮卡逼近求方程組 滿足初始條件的第二次近似解。5.求的基解矩陣。 6. 試求矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。7. 試求初值問題，的解。4. 試求，其中 ，滿足初始條件的解.7. 試用逐步逼近法求方程組, 滿足初始條件第三次近似解。8. 試求方程組的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算，其中二證明題1.給定方程其中在上連續(xù)，試?yán)贸?shù)變易公式，