奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

1、奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（幾何部分）Mathematics Olympic test(geometric part)1. 已知在梯形ABCD中，ADBC，B=40°，C=50°，點(diǎn)E,F,M,N分別為四條邊的中點(diǎn)，求證：BC=EF+MN.【簡(jiǎn)單】2. 已知在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，P為平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，且APC=BPD=90°，求證：平行四邊形ABCD為矩形.【簡(jiǎn)單】3.已知在三角形ABC中，AB=AC，CDAB于D，P為BC上一點(diǎn)，PEAB于E，PFAC于F.求證：PE+PF=CD.【簡(jiǎn)單】4.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，

2、CDAB，AHFH，EFAB，求證：EF=CD+FH.【簡(jiǎn)單】5.已知三角形ABC和三角形BDE都是等腰直角三角形，連結(jié)AD，延長(zhǎng)CE交AD與F,求證：CFAD.【簡(jiǎn)單】6.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，連結(jié)AD交BE于F，連結(jié)CE交AB于G，連結(jié)FG，求證：FGCD.【簡(jiǎn)單】7.已知三角形ABC為正三角形，內(nèi)取一點(diǎn)P，向三邊作垂線，交AB于D，BC于E,AC于F，求證：PD+PE+PF=三角形的高.【簡(jiǎn)單】8.已知三角形ABC為正三角形，AD為高，取三角形外一點(diǎn)P，向三邊（或邊的延長(zhǎng)線）作垂線，交AB的延長(zhǎng)線AE于M，交AC的延長(zhǎng)線AF于N，交BC于Q，求證：PM+PN-PQ=

3、AD.【中等】9.已知在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于O，DE平分ADC交AC于F，若BDE=15°，求COE的度數(shù).【中等】10.已知三角形ABC是直角三角形，BAC=90°，ADBC，AE平分CAD，BF平分ABC，交AD于G，交AE于H，連結(jié)EG,求證：EGAC.【中等】11.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，連結(jié)AE,CD,取AE的中點(diǎn)N，取CD的中點(diǎn)M，連結(jié)BM,BN,MN.求證：三角形BMN是等邊三角形.【中等】12.已知在正方形ABCD中，作對(duì)角線AC的平行線EG，作BC=CH，連結(jié)BE，延長(zhǎng)HG交BE于F，連結(jié)CF，求證：BC=CF.【中等

4、】13.已知在直角梯形ABCD中，ADBC，AD=3，BC=5，將腰CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE，連結(jié)AE，求三角形ADE的面積.【中等】14.已知在任意四邊形ABCD中，AB=CD，P,Q,R分別為AD,BC,BD的中點(diǎn)，ABD=25°，BDC=65°，求PQR的度數(shù).【中等】15.已知在梯形ABCD中，ADBC，E為AB的中點(diǎn)，求證：S三角形CDE=S三角形ADE+S三角形BCE.【較難】16.已知矩形ABCD，在CD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使得DAE=DAF,AF和CD交于G,求證：S矩形ABCD=S三角形AEF.【較難】17.已知在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AD=AE，AFBE交BC于F，過(guò)F作FGCD交BE的延長(zhǎng)線于G， 求證：BG=AF+FG.【很難】【提示：過(guò)C點(diǎn)作AC的垂線，延長(zhǎng)AF，交垂線于H.】18.已知在正九邊形ABCDEFGHI中，連結(jié)AE，AE=1,求AH+AI 的長(zhǎng).【很難】【提示：延長(zhǎng)AH使HK=HG，連結(jié)KG.】 19.已知正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PB：PC：PD=3：2：1，求證：CPD=135°.【超難】【提示：過(guò)C作PC的垂線CP，使CP=CP.】20.已知在任意四邊形A