大學(xué)物理 靜電場(chǎng)練習(xí)題及答案

1、練習(xí)題 7-1 兩個(gè)點(diǎn)電荷所帶電荷之和為Q，它們各帶電荷為多少時(shí)，相互間的作用力最大?解: 這是一個(gè)條件極值問題。設(shè)其中一個(gè)點(diǎn)電荷帶電q，則另一個(gè)點(diǎn)電荷帶電， 兩點(diǎn)電荷之間的庫侖力為 由極值條件，得 又因?yàn)?lt;0這表明兩電荷平分電荷Q時(shí)，它們之間的相互作用力最大。 7-2 兩個(gè)相同的小球，質(zhì)量都是m，帶等值同號(hào)的電荷q，各用長(zhǎng)為l的細(xì)線掛在同一點(diǎn)，如圖7-43所示。設(shè)平衡時(shí)兩線間夾角2很小。（1）試證平衡時(shí)有下列的近似等式成立： 式中x為兩球平衡時(shí)的距離。(2)如果l= 1.20 m，m=10 g，x=5.0 cm，則每個(gè)小球上的電荷量q是多少? (3)如果每個(gè)球以的變化率失去電 圖7-4

2、3 練習(xí)題7-2圖荷，求兩球彼此趨近的瞬時(shí)相對(duì)速率dx/dt是多少?解：(1)帶電小球受力分析如圖解所示。小球平衡時(shí)，有由此二式可得因?yàn)楹苄?，可有，再考慮到可解得 （2）由上式解出（3） 由于帶入數(shù)據(jù)解得合力的大小為令，即有 由此解得粒子受力最大的位置為llll+ q+ qP- q- qOx圖7-45 練習(xí)題7-4用圖7-4 由相距較近的等量異號(hào)電荷組成的體系稱電偶極子，生物細(xì)胞膜及土壤顆粒表面的雙電層可視為許多電偶極子的集合。因此，電偶極子是一個(gè)十分重要的物理模型。圖7-45所示的電荷體系稱電四極子，它由兩個(gè)電偶極子組合而成，其中的和均為已知，對(duì)圖7-44中的點(diǎn)(平行于正方形的一邊)，證明當(dāng)

3、x » l時(shí) 其中，p=ql 稱電偶極矩。解：電四極子可看成兩個(gè)電偶極子的組合。設(shè)左邊和右邊兩個(gè)電偶極子在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為E左和E右，由教材例題7-3可知其中，p=ql。點(diǎn)處的合場(chǎng)強(qiáng)為由于x » l上式可簡(jiǎn)化為 證畢。7-5 如圖7-46所示，長(zhǎng)為l的細(xì)直線OA帶電線密度為，求下面兩種情況下在線的延長(zhǎng)線上距線的端點(diǎn)O點(diǎn)為b的P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度： (1)為常量，且>0；(2) =kx，k為大于零的常量，(0x1)。 bxAOP 圖7-46 練習(xí)題7-5用圖解：(1)將帶電直線分割成無數(shù)個(gè)長(zhǎng)度元dx，dx的坐標(biāo)是x。它所帶的電荷元dq=dx，dq在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小

4、為因?yàn)樗须姾稍a(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向都相同，所以場(chǎng)強(qiáng)的矢量疊加可用代數(shù)方法相加。于是帶電直線在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 方向沿x軸的負(fù)方向。 (2) 同樣取電荷微元dq=dx=kxdx 同理方向沿x軸的負(fù)方向。7-6 一個(gè)半徑為R的半圓細(xì)環(huán)上均勻地分布電荷Q，求環(huán)心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：分析在求環(huán)心處的電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，不能將帶電半圓環(huán)視作點(diǎn)電荷。現(xiàn)將其抽象為帶電半圓弧線在弧線上取線元dl，其電荷，此電荷元可視為點(diǎn)電荷，它在O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為因圓環(huán)上電荷對(duì)y軸呈對(duì)稱性分布，電場(chǎng)分布也是軸對(duì)稱的，則有 點(diǎn)O的合電場(chǎng)強(qiáng)度為 習(xí)題7-6用圖其中，負(fù)號(hào)表示場(chǎng)強(qiáng)方向與y方向相反。 將，帶入上式，積分得負(fù)號(hào)表示場(chǎng)強(qiáng)方向與y方向

5、相反7-7 一個(gè)半徑為R的帶電圓盤，電荷面密度為，求：（1）圓盤軸線上距盤心為x處的任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度；（2）當(dāng)R時(shí)，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為多少?（3）當(dāng)x » R時(shí)，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度又為多少? 練習(xí)題7-7用圖解：（1）在半徑為R的帶電圓盤上取內(nèi)半徑為r、外半徑為r+dr的細(xì)圓環(huán)，如圖所示。利用教材中例題7-5的結(jié)果可知，該細(xì)圓環(huán)上的電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為于是，整個(gè)圓盤上的電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為（1） 當(dāng)時(shí)，R » x。此時(shí)，上式可化為即此時(shí)可將帶電圓盤看作無限大帶電平面。（3）當(dāng)x » R時(shí)，可將帶電圓盤看作點(diǎn)電荷，此時(shí)P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為7-8 圖7-47為兩個(gè)分別帶有電荷

6、的同心球殼系統(tǒng)。設(shè)半徑為和的球殼上分別帶有電荷和，求：（1）I、II 、III三個(gè)區(qū)域中的場(chǎng)強(qiáng)；R1R2Q1Q2IIIIII圖7-47 練習(xí)題7-8用圖（2）若 =，各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度又為多少？畫出此時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線 (即 關(guān)系曲線)。解：（1）在區(qū)域I，做半徑為rR1的球形高斯面。因?yàn)楦咚姑鎯?nèi)無電荷，根據(jù)高斯定理 = 即 可得區(qū)域I中的電場(chǎng)強(qiáng)度為E1= 0在區(qū)域II，以為半徑做球形高斯面。因?yàn)榇烁咚姑鎯?nèi)的電荷為Q1，由高斯定理得 = 由此可解得區(qū)域II的電場(chǎng)強(qiáng)度為在區(qū)域III，做半徑rR2的球形高斯面。由于該高斯面內(nèi)的電荷為Q1+Q2，由高斯定理可得 = E3 =0 rR2R1E E r關(guān)

7、系曲線（2）當(dāng) =時(shí)，根據(jù)以上結(jié)果易知區(qū)域I的場(chǎng)強(qiáng)為 E1= 0 區(qū)域II的場(chǎng)強(qiáng)為 區(qū)域III的場(chǎng)強(qiáng)為E3= 0根據(jù)上述結(jié)果可畫出如圖所示關(guān)系曲線。7-12 水分子的電偶極矩為，如果這個(gè)電偶極矩是由一對(duì)點(diǎn)電荷±e引起的(e為電子電量)，那么，它們的距離是多少?如果電偶極矩的取向與強(qiáng)度為的電場(chǎng)方向一致，要使這個(gè)電偶極矩倒轉(zhuǎn)成與電場(chǎng)相反的方向需要多少能量(用eV表示)? 解：（1）由電偶極矩的定義得（2）若使電偶極矩倒轉(zhuǎn)需要能量為A，則7-13 計(jì)算練習(xí)題7-8中、區(qū)域中的電勢(shì)。R1R2Q1Q2IIIIII解：（1）根據(jù)題7-8所得、區(qū)域中的電場(chǎng)分布，;可得區(qū)域I的電勢(shì)為由此解得區(qū)域的電勢(shì)分布為區(qū)域的電勢(shì)分布為（2）若，則區(qū)域的電勢(shì)為區(qū)域的電勢(shì)為區(qū)域的電勢(shì)為 7-14 “無限長(zhǎng)”均勻帶電圓柱面，半徑為R，單位長(zhǎng)度上帶電量為+。試求其電勢(shì)分布。(提示：選取距帶電圓柱面軸線為的點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)) 解：由于電荷分布具有軸對(duì)稱性，所以應(yīng)用高斯定理很容易求出電場(chǎng)強(qiáng)度分布為 0 ( R )E= （ R ）電場(chǎng)強(qiáng)度方向垂直于帶電圓柱面沿徑向。選某一距帶電直線為的點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，如本題解圖所示。當(dāng) R時(shí) 這個(gè)結(jié)果可以一般地表示為 當(dāng) R 時(shí) R1R2圖7-49 練習(xí)題7-16用圖7-16 同軸電纜是由兩個(gè)很長(zhǎng)且彼此絕緣的同軸金屬圓柱體構(gòu)成，如圖749