高中數(shù)學(xué)選修2-2教學(xué)案1.1：變化率與導(dǎo)數(shù)（學(xué)生版）

1、.變化率與導(dǎo)數(shù)_1、 平均變化率的概念、函數(shù)在某點處附近的平均變化率； 2、 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；一、變化率問題：知識導(dǎo)入：問題1 氣球膨脹率將班內(nèi)同學(xué)平均分成4組，每組發(fā)一只氣球，各有一位同學(xué)負(fù)責(zé)將氣球吹起，其他同學(xué)觀察氣球在吹起過程中的變化，并做好準(zhǔn)備答復(fù)以下問題：1氣球在吹起過程中，隨著吹入氣體的增加，它的膨脹速度有何變化？2你認(rèn)為膨脹速度與哪些量有關(guān)系？3球的體積公式是什么？有哪些根本量？4結(jié)合球的體積公式，試用兩個變量之間的關(guān)系來表述氣球的膨脹率問題？總結(jié)：可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描繪這種現(xiàn)象呢?n 氣球的體積V單位:L與半徑r單位

2、:dm之間的函數(shù)關(guān)系是n 假如將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么分析: ，1 當(dāng)V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為2 當(dāng)V從1增加到2時,氣球半徑增加了hto 氣球的平均膨脹率為可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了考慮：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 問題2 高臺跳水在高臺跳水運動中,運發(fā)動相對于水面的高度h單位：m與起跳后的時間t單位：s存在函數(shù)關(guān)系ht= -4.9t2+6.5t+10.如何用運發(fā)動在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描繪其運動狀態(tài)?考慮計算：和的平均速度在這段時間里，；在這段時間里，探究：計算運發(fā)動在這段時間里的平均速度，

3、并考慮以下問題：運發(fā)動在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？你認(rèn)為用平均速度描繪運發(fā)動的運動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)ht= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，所以，雖然運發(fā)動在這段時間里的平均速度為，但實際情況是運發(fā)動仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能準(zhǔn)確描繪運發(fā)動的運動狀態(tài)1、 平均變化率：1上述問題中的變化率可用式子_表示, 稱為函數(shù)fx從x1到x2的平均變化率2假設(shè)設(shè), 這里看作是對于x1的一個“增量可用x1+代替x2,同樣3.那么平均變化率為_考慮：觀察函數(shù)fx的圖象平均變化率表示什么?fx2y=fxyy =fx2-fx1fx1直線AB的斜率x= x2-x1x2

4、x1xO2、 導(dǎo)數(shù)的概念：1、瞬時變化率：從函數(shù)y=fx在x=x0處的瞬時變化率是:我們稱它為函數(shù)在出的導(dǎo)數(shù)，記作或，即_說明：1導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=fx在x=x0處的瞬時變化率2，當(dāng)時，所以3、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：1、 平均變化率與割線的斜率、瞬時變化率與切線的斜率：一曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當(dāng)沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨勢是什么？圖3.1-2 我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點沿著曲線無限接近點P即x0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.問題：割線的斜率與切線PT的斜率有什么關(guān)系？ 切線PT的斜率為多少？容易知道，割線的斜率是,當(dāng)點沿著曲線無限接近點P時，無限

5、趨近于切線PT的斜率，即說明：1設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.這個概念: 提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).2曲線在某點處的切線:1與該點的位置有關(guān);2要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,那么在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,那么在此點處無切線;3曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點處的切線的斜率，即 說明：求曲線在某點處的切線方程的根本步驟:求出P點的坐標(biāo);求出函數(shù)在點處的變化率 ，得到曲線在點的切

6、線的斜率；利用點斜式求切線方程.類型一：求函數(shù)的平均變化率例1、求在到之間的平均變化率，并求，時平均變化率的值.舉一反三：【變式1】求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間2，2+內(nèi)的平均變化率?！咀兪?】函數(shù)，分別計算在以下區(qū)間上的平均變化率： 11，3；21，2；31，1.1；41，1.001. 【變式3】自由落體運動的運動方程為，計算t從3s到3.1s，3.01s，3.001s各段內(nèi)的平均速度位移s的單位為m?！咀兪?】過曲線上兩點和作曲線的割線，求出當(dāng)時割線的斜率.類型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)例2、用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)。舉一反三：【變式1】函數(shù)1求函數(shù)在x=4處的導(dǎo)數(shù).2求曲線上一點處的切

7、線方程。【變式2】利用導(dǎo)數(shù)的定義求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1；2；3；4。例3、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.舉一反三：【變式】在曲線y=x2上過哪一點的切線：1平行于直線y=4x5；2垂直于直線2x6y+5=0；3與x軸成135°的傾斜角。例4函數(shù)可導(dǎo)，假設(shè)，求舉一反三：【變式】函數(shù)可導(dǎo)，假設(shè)，求類型五：求曲線的切線方程例5求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.舉一反三：【變式1】求曲線在點處的切線的斜率，并寫出切線方程.【變式2】，是曲線上的兩點，那么與直線平行的曲線的切線方程是_.【變式3】曲線.1求曲線上橫坐標(biāo)為1的點處的切線的方程；2第1小題中的切線與曲線是否還有其

8、他的公共點？例6直線為曲線在點1，0處的切線，為該曲線的另一條切線，且.1求直線的方程；2求由直線、和軸所圍成的三角形的面積.舉一反三：【變式1】假如曲線的某一切線與直線平行，求切點坐標(biāo)與切線方程【變式2】曲線在點1，1處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為_.【變式3】曲線在0，1處的切線與的間隔 為，求的方程.一、選擇題1將半徑為R的球加熱，假設(shè)球的半徑增量為R，那么球的外表積增量S等于A8RRB8RR4R2C4RR4R2D4R22一質(zhì)點運動的方程為s53t2，假設(shè)該質(zhì)點在時間段1,1t內(nèi)相應(yīng)的平均速度為3t6，那么該質(zhì)點在t1時的瞬時速度是A3B3C6D63某手機配件消費流水線共有甲、

9、乙兩條，產(chǎn)量s單位：個與時間t單位：天的關(guān)系如圖112所示，那么接近t0天時，以下結(jié)論中正確的選項是圖112A甲的日消費量大于乙的日消費量B甲的日消費量小于乙的日消費量C甲的日消費量等于乙的日消費量D無法斷定甲的日消費量與乙的日消費量的大小4設(shè)函數(shù)fx在點x0附近有定義，且有fx0xfx0axbx2a，b為常數(shù)，那么AfxaBfxbCfx0aDfx0b5假設(shè)fxx3，fx03，那么x0的值是A1 B1C±1 D3二、填空題6汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖113所示在時間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為1，2，3，其三者的大小關(guān)系是_圖1137過曲線y

10、fxx21上兩點P1,2和Q1x,2y作曲線的割線，當(dāng)x0.1時，割線的斜率k_.8設(shè)函數(shù)fxmx32，假設(shè)f13，那么m_.三、解答題9正弦函數(shù)ysin x在區(qū)間0，和，的平均變化率哪一個較大？10一做直線運動的物體，其位移s與時間t的關(guān)系是s3tt2位移：m；時間：s1求此物體的初速度2求此物體在t2時的瞬時速度3求t0到t2時的平均速度11柏油路是用瀝青和大小石子等材料混合后鋪成的，鋪路工人鋪路時需要對瀝青加熱使之由固體變成粘稠液體狀假如開場加熱后第x小時的瀝青溫度單位：為fx求開場加熱后第15分鐘和第4小時瀝青溫度變化的瞬時速度，并說明它們的意義_根底穩(wěn)固1.函數(shù)fx=x2-1在x0到

11、x0+x之間的平均變化率為A.2x0-1B.2x0+xC.2x0x+x2D.x2-x+12.以初速度為v0v0>0做豎直上拋運動的物體,t時刻的高度為st=v0t-gt2,那么物體在t0時刻的瞬時速度為A.v0-gt0B.v0C.v0+gt0D.gt03.函數(shù)y=x2+5x在x=3處的導(dǎo)數(shù)是A.3B.5C.11D.144.曲線y=x3+11在點P1,12處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)是A.-9B.-3C.9D.155.假設(shè)曲線y=x2+ax+b在點0,b處的切線方程是x-y+1=0,那么A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-16.如圖,函數(shù)fx的圖象是

12、折線段ABC,其中A,B,C的坐標(biāo)分別為0,4,2,0,6,4,那么ff0=_.用數(shù)字作答.7.函數(shù)y=fx的圖象在點M1,f1處的切線方程是y=x+2,那么f1+f'1=_.8.求函數(shù)fx=x-x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).才能提升一、選擇題1函數(shù)yx21的圖象上一點1,2及鄰近一點1x,2y，那么等于A2B2xC2xD2x22自由落體運動的公式為sstgt2g10 m/s2，假設(shè)v，那么以下說法正確的選項是Av是在01s這段時間內(nèi)的速度Bv是1s到1ts這段時間內(nèi)的速度C5t10是物體在t1s這一時刻的速度D5t10是物體從1s到1ts這段時間內(nèi)的平均速度3惠州高二檢測某物體做直線運動，其運動規(guī)律是st2t的單位是秒，s的單位是米，那么它在4秒末的瞬時速度為A.米/秒B.米/秒C8米/秒D.米/秒4函數(shù)fxx2在x0到x0x之間的平均變化率為k1，在x0x到x0之間的平均變化率為k2，那么k1，k2的大小關(guān)系是Ak1k2Bk1k2Ck1k2D無法確定5點Px0，y0是拋物線y3x26x1上一點，且fx00，那么點P的坐標(biāo)為A1,10B1，2C1，2 D1,10二、填空題6洛陽高二檢測一小球沿斜面自由滾下，其運動方程是stt2, s的單位：米，t的單位：秒，那么小球在t5時的瞬時速度為_7函數(shù)fxax4，假設(shè)f12，那么a_.8假設(shè)函