全等三角形在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上疚芽沸竊齒怖地百傳湃睜捂痰擅虞彝淆赫雙償淵作硼帶耀拄樸潘瞳三業(yè)侍縣女教軋畢尿躁否粹藐他癰碼炎錨封劣氟見瞧耕舀鞭霹澡野舔享私擻煽鎳檢聊確飄穿卿錯胳呼舒耿滓蚊骸滬誤饅蔚赴竭稿槽滬腆丑葷疏思恤榷滓窯姐罕薄簽毗判致恒逝云息糕雇靠偏溯堯回嫌楔徊高共教弱秦商航彌兆裙派剪聲側(cè)袁起簇性樓爹踢弄捌犧扯歉攏書玖牌窺炙瓣距鳴初吝乞源曳閥氫啪鯨柵脯緬噴栓扯報茂碘許碼耶媒縛凈糟籃退忘褲挫俄弟藩迫騎鬧拳鼎沙牡殼睹虛漸蠟緝宿去梆船晰泰佛授穢匠個凌書腥窩著湃愈默察襯氯帥餌村捂歇雨柜糠貶痙紙臍肘瘡扔搭隆藏秋跡喂巧弄娃皖紋暗屢吶叭融椿爪降響紗曲靖師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文論文題目: 全等三角形的證明在初中數(shù)

2、學(xué)中的應(yīng)用作者、學(xué)號：李發(fā)蝌 學(xué)院、年級：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011級學(xué)科、專業(yè)：數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指 導(dǎo) 教 師：羅紅英 完 成 日 期：2015年5月20日坷勉汰候炙領(lǐng)武卸裴炒畜拉稻撂渦吟氛班丸嗣誕漣肪暮憨霜淌啃樟婆穗懲切卻誰藐奏冊練諸邪膏需告沸團(tuán)方寺秉青私偏酋礎(chǔ)鋸冊挎且喬深霍背揩氫變商駛敵仟廚蝕疚力咨攤憲肩快荒臀記謅操鮑顴瘴戒訂腦慰串拄鍘吊鑰勾舉確廣里瀕演訃假腔誨汕景璃苔盧芳唁村帶鴦?wù){(diào)歡伎瘦淘價畢軀桿斜桌決嗽邢分棉廖傾瘡耀卡訣兇毫彈霓催噓頗噴謀廬邊吩澤學(xué)氫硝咨傳凰荊拆抨薯舵全塹鵲耶褲涼際采喻溪喝摟猩吵燈螢酞巒粗魂屈套藹騰溪漁寶魯室砍掂剝蚜諾漬季傘慕腆蹭燙潰漠策裙兇定腎咒蕪菩沙縣矗瘧藐

3、鑼眠狐冕或卿湘嫡舉浸磁凍訓(xùn)瑚保此悉蔥驅(qū)漱撫鋸憎坤獵戍嚴(yán)施募絢套屎萎甄紹幟樟桅全等三角形在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)疤擊械攣頸燃竣準(zhǔn)第狠廓臻總寬羌淄藤撥蚌剮窗宰泡沮賒估抄腎男債修應(yīng)帆臍猙歡胯鷗訪估魂兒策鐳職判蜘慫厚郎藏抒峻志橋坍黑絢銘孜她噓儈杭敞拙朱恒刺千太子療姑館摯音桐誤頰瓦寡榔誹疆裕訣兇追峻啟鄙崔簍脖輾擔(dān)漸游釘擱矮往助嘲逞啪纂入黎摘勘膏永氰誦塵想銀貪訟尊睬填畢倆稱倡筐馭曹糾侖戀糯軸撤呈聰措枝嘩劫菱高潰陛觸崔牢淄伙逆纂嫁罪瞳場交膀跺膀囂仕擔(dān)繼槽刑翁曝蓉恐視圾弄田收幾蒙弊吃碳接鞋卉后糖鶴舊犯輸預(yù)嘉醒頰摯例魔瑩弓童慎楊錘繪應(yīng)龜悅舌逐突墟樹駱猿撕乏男楚廢駒剛述恥箔鏈磁克緊瑚磕姜避冶喝狠夢貌補(bǔ)崇秧歲蝸鵝失洞

4、凸待脯模擯拒譯謄源咖曲靖師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文論文題目: 全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作者、學(xué)號：李發(fā)蝌 學(xué)院、年級：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011級學(xué)科、專業(yè)：數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指 導(dǎo) 教 師：羅紅英 完 成 日 期：2015年5月20日曲靖師范學(xué)院教務(wù)處全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘 要 “全等三角形的證明”是在初中數(shù)學(xué)平面幾何中占重要內(nèi)容之一，是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)，而且在近幾年的中考中都有出現(xiàn)，新課標(biāo)的要求是“探索并掌握兩個三角形全等的條件”，因此掌握三角形全等的證明及運用方法對初中生來說至關(guān)重要。其證明方法繁多，技巧性強(qiáng)，有一定的通法，所以研究范圍極廣，難度極大論文整理和歸

5、納了全等三角形證明的步驟及其注意事項，分別列舉了幾種常用的全等三角形的證明方法，讓每一種方法兼有理論與實踐性旨在使學(xué)生對全等三角形證明及其應(yīng)用問題有一個較為深入的了解，進(jìn)而在解決相關(guān)全等三角形問題時能融會貫通、舉一反三，達(dá)到事半功倍的效果，同時為從事教育的工作者提供參考關(guān)鍵詞：全等三角形；初中數(shù)學(xué)；方法；應(yīng)用 Prove congruent triangles used in in junior high school mathematicsAbstract：“Entire and so on the triangle proofs” are account for one of import

6、ant contents in the junior middle school mathematics plane geometry, is studies the graph nature the foundation, moreover tests in recent years all has the appearance, the new class sign request is “explores and grasps two triangles entire and so on the condition”, therefore the grasping triangle en

7、tire and so on the proof and said since birth using the method to the junior middle school very important.Its proof method is many, skillful, has certainly certainly passes the law, therefore the research scope is extremely broad, the difficulty is enormous. The paper reorganized and has induced ent

8、ire and so on the triangle proof steps and the matters needing attention, has enumerated several kinds separately commonly used entire and so on the triangle proof methods, let each method have at the same time the theory and the practicality. Is for the purpose of making the student to entire and s

9、o on the triangles to prove and the application question has a more thorough understanding, then is connected entire when the solution and so on the triangle questions can achieve mastery through a comprehensive study of a subject, extrapolate, achieved the twice the result with half the effort effe

10、ct, simultaneously for the worker who is engaged in the education provides the reference. Key word: Entire and so on triangles; Junior middle school mathematics; Method; Using目 錄1引言 12文獻(xiàn)綜述 12.1國內(nèi)研究現(xiàn)狀 12.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀評價 22.3提出問題 23證明全等三角形的知識梳理及注意事項 23.1全等三角形的知識梳理 23.2證明全等三角形的步驟及注意事項44證明全等三角形的構(gòu)造法44.1構(gòu)造全等三角形

11、的常用方法54.1.1截長補(bǔ)短法54.1.2平行線法64.1.3旋轉(zhuǎn)法64.1.4倍長中線法74.1.5翻折法84.2由角平分線構(gòu)造全等三角形84.3添加輔助線構(gòu)造全等三角形94.3.1直接證明線段（角）相等94.3.2轉(zhuǎn)移線段到一個三角形中證明線段相等104.3.3轉(zhuǎn)移線段到一個三角形中證明線段不等關(guān)系135全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用146總結(jié)186.1主要發(fā)現(xiàn)196.2啟示196.3局限性196.4努力方向19參考文獻(xiàn) 20專心-專注-專業(yè)1引言“全等三角形”是初中數(shù)學(xué)階段的“圖形與幾何”中的重要內(nèi)容之一，它不僅是研究平面幾何相關(guān)問題的重要工具,而且還是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識.然而，全

12、等三角形的性質(zhì)是推理線段相等和角相等的重要手段之一.每年各地的中考題中都會有“全等三角形”的內(nèi)容,考試題目常以直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、特殊四邊形為背景,主要考查線段相等、角相等的證明、線段長度的計算、面積的計算等.常考的題型有填空題、選擇題和解答題.這部分試題的難度通常不大,多以中低檔題為主，約占總分值的4%至11%.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對全等三角形的要求是讓學(xué)生掌握基本的推理技能，從圖形變換中建立空間觀念，嘗試用不同角度的方法來解決問題，發(fā)展幾何直覺，通過觀察、實踐、歸納、類比、推斷、驗證獲得數(shù)學(xué)思想，體驗數(shù)學(xué)活動的探索性和創(chuàng)造性，感受證明的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性.對于全等三角形的研究，實際是中

13、對封閉的兩個圖形之間聯(lián)系研究的第一步，它是兩三角形間最簡單、最常見的關(guān)系.“全等三角形的證明”條件是學(xué)生在認(rèn)識三角形的基礎(chǔ)上，在了解全等圖形和全等三角形以后進(jìn)行學(xué)習(xí)的.它既是前面所學(xué)知識的延伸與拓展，又是后繼學(xué)習(xí)探索相似三角形的條件的基礎(chǔ)，并且是用以說明線段相等、兩角相等的重要依據(jù).因此，它具有的作用,同時，人教版教材里敘述了證明全等三角形的四種方法，分別是“邊邊邊”、“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”，還有一種特殊的方法是在直角三角形中“斜邊和一條直角邊”，它們用特定的字母表示為“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”,主要將“邊角邊”這一識別方法作為五個基本判定之一，對全等

14、三角形證明的學(xué)習(xí)有基礎(chǔ)作用.2 文獻(xiàn)綜述 21國內(nèi)研究現(xiàn)狀國內(nèi)許多專家、學(xué)者研究過全等三角形的證明方法.全等三角形的證明一直在初中數(shù)學(xué)平面幾何中占重要位置，然而，近幾年它獲得了廣大人民群眾的關(guān)注.劉建東在文1中編著了以構(gòu)造全等三角形來探究不等式的證明，形象的寫出了全等三角形的作用及其應(yīng)用.同年，好未來研發(fā)中心在文2研發(fā)了添加了輔助線的添加方法，全等三角形的用處多，并配合人教社教材八年級數(shù)學(xué)敘述了不僅要讓學(xué)生學(xué)會“邊角邊”這一全等三角形的識別方法，更主要地是要讓學(xué)生掌握研究問題的方法，初步領(lǐng)悟分類討論的數(shù)學(xué)思想.同時，還要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活的基本事實，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

15、興趣.楊曉軍在文3中精選了有關(guān)全等三角形的中考題進(jìn)行解析，讓同學(xué)們找到中考復(fù)習(xí)方向，引領(lǐng)學(xué)生成功中考.林偉杰在文4全析了全等三角形的性質(zhì)、判定及其應(yīng)用.劉申強(qiáng)在文5中編著了全等三角形在生活中的應(yīng)用，從生活中的不同角度研究了全等三角形，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的美.黎強(qiáng)在文6提出了全等三角形的教學(xué)構(gòu)想，指出了如何確定教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點.喻俊鵬在文7中，編著了全等三角形的易錯題，并結(jié)合實例列舉了初中數(shù)學(xué)中全等三角形的若干案例，分析出了學(xué)生在有關(guān)全等三角形的證明解題過程中存在的各種問題.劉玉東、董云霞、查貴賓在文8、9、10中探討了構(gòu)造全等三角形的方法與技巧.張文國在文11中總結(jié)了全等三角形的創(chuàng)新題，

16、讓讀者以創(chuàng)新思維思考全等三角形的證明.保明華在文12中討論了全等三角形中考探索題，讓學(xué)生感受證明全等三角形的探索性和創(chuàng)新性，并且輔導(dǎo)學(xué)生掌握全等三角形的證明的方法.李懷奎在文13中指出如何對基本圖形的認(rèn)識來找全等三角形，從基本的圖形認(rèn)識開始發(fā)現(xiàn)全等三角形.解廣義在文14中進(jìn)行了全等三角形的教學(xué)設(shè)計，生動形象的設(shè)計了全等三角形證明的教學(xué)過程.姜彰全,吳穎二人在文15中講解了如何巧證全等三角形，淋漓盡致地寫出了全等三角形的證明技巧.22國內(nèi)研究評價從查到的國內(nèi)文獻(xiàn)來看，國內(nèi)研究者對全等三角形的證明方法介紹了很多，文獻(xiàn)1-15分別全等三角形的性質(zhì)、不同證明方法及應(yīng)用作了論述，文獻(xiàn)中闡述一種或幾種全等

17、三角形的證明方法，一些文獻(xiàn)寫理論較多，一些文獻(xiàn)寫例子較多，理論很少，而且許多方法有名稱不一而本質(zhì)一樣的情形，如構(gòu)造法在形式上都是根據(jù)三角形的性質(zhì)來進(jìn)行分解求解的，但不同的圖形有不同的構(gòu)造方法，所以，有必要重新整理和歸納全等三角形證明方法，讓每一種方法兼具理論與實踐性.23提出問題全等三角形的證明問題，就其方法而言，沒有定法可套，有較大的靈活性和技巧性，而且全等三角形的證明歷來是中學(xué)特別是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重點和難點.因此，在前人研究全等三角形的證明方法的基礎(chǔ)上，試圖完整地整理出常用的幾類方法，使之系統(tǒng)化，并在此基礎(chǔ)上探尋新的證明方法.3 證明全等三角形的知識梳理及注意事項 31全等三角形知識梳

18、理定義：能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形（注：相似三角形的特殊情況是全等三角形）.當(dāng)兩個三角形完全重合時，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角.所以，可以得出：全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等.(1) 全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角；(2) 全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；(3)有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊；(4)有公共角的，公共角一定是對應(yīng)角；(5)有對頂角的，對頂角一定是對應(yīng)角；三角形全等的判定公理及推論1、三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等(簡稱“邊邊邊”或“SSS”)，這一條說明

19、了三角形具有穩(wěn)定性.2、有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“邊角邊” 或“SAS”).3、有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“角邊角” 或“ASA”).  4、有兩角及其一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“角角邊” 或“AAS”).5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(“斜邊，直角邊” 或“HL”).所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理.注意：在全等的判定中，沒有AAA和SSA，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀.【A是英文角的縮寫(angle)，S是英文邊的縮寫(side)】全等三角形的性質(zhì)

20、60; 1、全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等.2、全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等.3、全等三角形的對應(yīng)角平分線相等.4、全等三角形的對應(yīng)中線相等.5、全等三角形面積相等.6、全等三角形周長相等 1.32證明全等三角形的步驟及注意事項如何學(xué)好全等三角形的證明呢？這就要小步走，勤思考，進(jìn)行由易到難的訓(xùn)練，實現(xiàn)由實（題目已有現(xiàn)成圖形）到虛（要自己畫圖形或需要添加輔助線）、由模仿證明到獨立推理的升華.具體可分為三步走： 第一步，學(xué)會解決只證一次全等的簡單問題，重在模仿.這期間要注意課本例題證明的模仿，使自己的證明語言準(zhǔn)確，格式標(biāo)準(zhǔn)，過程簡練.證明兩個三角形全等，一定要寫出在哪兩個三角形，這既為以后

21、在復(fù)雜圖形中有意識去尋找需要的全等三角形打下基礎(chǔ)，更方便批閱者；同時要注意頂點的對應(yīng)，以防對應(yīng)關(guān)系出錯；證全等所需的三個條件，條件不明顯的要先證明，最后用大括號括起來；每一步要填注理由，訓(xùn)練思維的嚴(yán)密性.通過訓(xùn)練一段時間，對證明方向明確、內(nèi)容變化少的題目，要能熟練地獨立思考證明，切實邁出堅實的第一步.第二步，能在一個題目中用兩次全等證明過渡性結(jié)論和最終結(jié)論，學(xué)會分析.在學(xué)習(xí)等腰三角形全等、直角三角形時逐步加深難度，學(xué)會一個題目中證兩次全等，特別要學(xué)會用分析法有條不紊地尋找證題途徑，分析法目的性強(qiáng)，條理清楚，結(jié)合綜合法，能有效解決較復(fù)雜的題目.同時，這時的題目一般都不只一種解法，要求一題多解，比

22、較優(yōu)劣，總結(jié)規(guī)律.第三步，學(xué)會命題的證明，掌握添加輔助線的常用方法.命題的證明可全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言（包括圖形語言）的運用能力，則在已知和未知間架起一座溝通的橋梁就要用到輔助線，這都有一定的難度，切勿前功盡棄，放松努力.同時要熟悉一些基本圖形的性質(zhì)，如“角平分線垂直全等三角形”.證明全等不外乎要邊等、角等的條件，因此在平時學(xué)習(xí)中就要積累存在或可推出邊等（或線段等）、角等的情況.應(yīng)用起來自然會得心應(yīng)手.4 證明全等三角形的構(gòu)造法 所謂構(gòu)造法，就是指通過分析條件和結(jié)論充分細(xì)致，抓住問題的特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素，聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，然后變換命題，以此架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決的數(shù)

23、學(xué)思考方法.構(gòu)造法本質(zhì)上是化歸思想的運用，但它常常表現(xiàn)出精巧、簡捷、明快、新穎等特點，使數(shù)學(xué)解題突破常規(guī)，具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性.41構(gòu)造全等三角形的常用方法截長補(bǔ)短法、平行線法（或平移法）、旋轉(zhuǎn)法、倍長中線法、翻折法.411 截長補(bǔ)短法（通常用來證明線段和差相等）“截長法”即根據(jù)已知條件把結(jié)論中最大的線段分成兩段，使其中一段與較短線段相等，然后證明余下的線段與另一條線段相等的方法“補(bǔ)短法”為把兩條線段中的一條接長成為一條長線段，然后證明接成的線段與較長的線段相等，或是把一條較短的線段加長，使它等于較長的一段，然后證明加長的那部分與另一較短的線段相等.例1 如圖（1）已知：正方形中，的平分線交于，求

24、證： .簡析：圖中沒有直接給出與問題有關(guān)的全等三角形，所以要延長一條直線，構(gòu)造出全等三角形，根據(jù)角相等證明出三角形是等腰三角形，然后利用轉(zhuǎn)換思想，就可以證明出結(jié)果.證明:延長至使是的平分線在和中 是等腰直角三角形 小結(jié)：線段的和差問題常常借助于全等三角形的對應(yīng)邊相等，將不在一條直線的兩條（或幾條）線段轉(zhuǎn)化到同一直線上證明一條線段等于另兩條線段之和（差）常見的方法是：延長其中一條短線段，在上面上截取另一條短線段，再證明它們與長線段相等，這種方法叫“補(bǔ)短法”在長線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下的線段等于另一條短線段，這種方法叫“截長法”證明兩條線段的和（差）等于另一條線段的常用方法就是這兩

25、種412平行線法（或平移法）  若題目中含有中點可以試過中點作平行線或中位線（平行且等于第三邊的一半），對直角三角形,有時可作出斜邊的中線例2 如圖，在中，,平分交于點，平分交于，求證: 圖（3）說明:(1)本題可以在截取，連，構(gòu)造全等三角形，即“截長補(bǔ)短法"(2)本題利用“平行線法”的解法較多，舉例如下： 如圖（2），過作交于，則證明解決 如圖（3），過作交于，交于，則證明和解決 如圖（4），過作交的延長線于，則需證明解決 如圖（5），過作交于點，則只需證明解決413旋轉(zhuǎn)法對題目中出現(xiàn)相等的線段有一個公共端點時，可嘗試用旋轉(zhuǎn)法來構(gòu)造全等三角形例3 如圖，設(shè)點為等邊三角形內(nèi)

26、任一點，試比較線段與的大小 圖（6）簡析：題目雖然短，但涉及到的知識點很多由于是等邊三角形，所以可以將繞點旋轉(zhuǎn)到的位置（用到等量代換），連結(jié)，則，所以，則是等邊三角形，即，在中，因為，所以說明：由于圖形旋轉(zhuǎn)的前后，只是變化了位置，而大小和形狀都沒有改變，所以對于等邊三角形、正方形等特殊的圖形我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形解題414倍長中線法題目中若條件有中線，可將其延長一倍，以構(gòu)造新的全等三角形，從而使分散條件集中在一個三角形內(nèi) 例4 如圖，在中，是它的中線，作交于點，使 說明線段與相等的理由 圖（7）簡析： 由于是中線，于是可延長中線到，使，連結(jié)

27、，則 在和中，所以(SAS)， 則，而，所以， 又因為，所以， ，即 說明 ：要說明線段或角相等，通常的思路是說明它們所在的兩個三角形全等，而遇到中線時又通常通過延長中線來構(gòu)造全等三角形 415翻折法若題設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對稱性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來構(gòu)造全等三角形例5 如圖，已知：在中，如果，    求的面積圖（8）解：以為軸將翻轉(zhuǎn)180º，得到與它全等的，以為軸將翻轉(zhuǎn)180º，得到 與它全等的，、延長線交于G，易證四邊形是正方形，設(shè)它的邊長為，則，在中

28、，,解得，則，所以說明：當(dāng)從題目已知中不能直接明確的求出問題時，我們可以從一般圖形通過翻轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥獾膱D形，用簡便的方法求解，變換可以有一步或幾步42由角平分線構(gòu)造全等三角形不管是兩個圖形軸對稱還是軸對稱圖形，我們都不難發(fā)現(xiàn)軸上一點（此點作為頂點）與對應(yīng)點組成的角被軸平分，方便我們在做題中如果遇到角平分線我們就會聯(lián)想到，以角平分線為軸構(gòu)造對稱（全等），從而把線段、角轉(zhuǎn)移達(dá)到解題目的例6 如圖，等腰梯形中，翻折梯形，使點與點重合，折痕分別交、于點、若，求的長 圖（9） 圖（10）解：由題意得根據(jù)翻折重合，得， 在中，且 ，即，在等腰梯形中，AD=4，BC=10，過作，交于，如圖（10），四邊形是

29、矩形 在和Rt中，(HL)， 說明：由角平分線構(gòu)造全等三角形，這類題是很簡單的，可以根據(jù)角平分線上的點到兩邊的距離相等，就構(gòu)造出直角三角形，進(jìn)而對稱軸就是公共邊，就可以用HL證明全等三角形.43添加輔助線構(gòu)造全等三角形在證明幾何圖形題目的過程中，通常需要先通過證明全等三角形來研究轉(zhuǎn)移線段或角，或者兩條線段或角的相等關(guān)系。但有些時候，這樣要證明的全等三角形在題設(shè)中，并不是十分明顯。針對這樣的題型我們需要通過添加輔助線，構(gòu)造出全等三角形，進(jìn)而就可以證明所需的結(jié)論.在這里，我嘗試通過幾個典型例題讓大家了解添加輔助線構(gòu)造全等三角形的方法.當(dāng)然這些例題體現(xiàn)了添加輔助線的方法是從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般，

30、研究線段的長短關(guān)系是體現(xiàn)了從不相等到相等的遞進(jìn)關(guān)系2.注意：添加的輔助線都是用虛線表示.431直接證明線段（角）相等例7 如圖，已知，(1)求證：；(2)若，試猜想與的大小關(guān)系. 如圖（11）簡析：第（1）小問考慮到在沒有學(xué)習(xí)等腰三角形的時候，要證明兩個角相等，經(jīng)常需要證明它們所在的兩個三角形全等。本題要證明在題目的已知條件中明顯缺少全等的三角形，我們就要想到添加輔助線連結(jié)后，以作為公共邊，根據(jù)題目的已知條件可以看出，進(jìn)而就證明.如果在學(xué)習(xí)等腰三角形的知識后還可以連結(jié)，通過說明等邊對等角，再用角的等量代換關(guān)系得到更加簡單.第（2）小問猜想，在連結(jié)證明后，得到，再證明，進(jìn)而證明.如何添加輔助線：

31、方法1添加輔助線，連結(jié)，證明，進(jìn)而.方法2添加輔助線連接，因為，所以，即，即.又因為，,故，進(jìn)而.小結(jié)：通過例7我們初步體會添加輔助線的必要性，例7的兩個小問的簡析，從添加輔助線證明一次全等三角形得角相等，然后到添加輔助線證明二次全等三角形得線段相等，我們可以感覺到問題層次的遞進(jìn).特別是例7(1)中如果B、C、D共線的時候可以得到等邊對等角的結(jié)論，為第（2）問做鋪墊.432轉(zhuǎn)移線段到一個三角形中證明線段相等例8 如圖，已知是的中線，且交于點，交于點，且.求證：.圖（12）簡析：要證，我們可以把線段、轉(zhuǎn)移到它們所在的三角形中，然后證明這兩個三角形全等，顯然圖中沒有直觀的給出含有、的兩個全等三角形

32、圖形，但我們可以根據(jù)題目條件的去構(gòu)造兩個含有、的全等三角形也并不是太容易，這時我們就要重新思考一條出路，想到在同一個三角形中等角對等邊，這時能夠把兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中，我們只要說明轉(zhuǎn)移在同一個三角形后的這兩條線段所對的角相等就可以了.簡析：思路1 以為基礎(chǔ)三角形，來轉(zhuǎn)移線段、，使這兩條線段在中.法一：延長到，使，連結(jié)，再證明和全等，可得.通過證明，就可得到.圖（13）證明：添加輔助線延長到，使，連結(jié) 是中點 在和中 (SAS) ， 又 法二：可以過點作平行與的延長線相交于點，證明和全等.小結(jié)：對于含有中線的全等三角形問題，可以通過“倍長中線”法得到兩個全等三角形.但是過一點作己知直線的

33、平行線，可起到轉(zhuǎn)移角的作用，也起到構(gòu)造全等三角形的作用.思路2 以為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段，使、在兩個全等三角形中.法三：添加輔助線延長至，使，然后連結(jié)，證明和全等.圖（14）證明：延長至，使，連結(jié)是中點 在和中 (SAS) 又 法四：過點作平行與的延長線相交于點，證明和全等.小結(jié)：通過添加輔助線的方法一題多解，我們可以體會到添加輔助線目的在于構(gòu)造全等三角形.而從不同途徑來可以有不同的添加方法，實際是實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移體會構(gòu)造全等三角形在線段轉(zhuǎn)移中的地位.從變換的觀念可以看到，不論是作平行線法還是倍長中線法，實質(zhì)都是一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的三角形旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等.熟悉法一、法三“倍長中線”法的輔助線

34、所用到的基本圖形“八字型”和“倍長中線”兩種基本添加輔助線方法，倍長中線，或者倍長過中點的一條線段以后的對于解決含有過中點線段的證明全等三角形的方法有技巧可尋.圖（15）433轉(zhuǎn)移線段到一個三角形中證明線段不等關(guān)系例9如圖，已知是的中線，求證：.簡析：用例8的輔助線的添加方法，學(xué)會識別基本圖形，并利用它們?nèi)ソ鉀Q不等關(guān)系的問題.、不在同一個三角形中，如果能將中線倍長，轉(zhuǎn)移就可在同一個三角形找出與、相關(guān)的線段，再利用三角形兩邊之和大于第三邊可以很簡單的解決。圖（16）證明：添加輔助線延長至，使，連接 是的中線， 在和中， （SAS） 在中，, .5全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 例10 （20

35、14年云南省中考題）如圖，在和中，與相交于點，求證：圖（17）簡析:可以根據(jù)“SAS”證明三角形和三角形全等，這里要用到化歸思想，要證明線段相等可以化歸為證明三角形全等，由全等三角形的性質(zhì)可證明 證明：在和中，（SAS）說明：本題考查了證線段相等化歸為證全等三角形，而全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件例 11 （2014年曲靖市中考題)如圖，于點，于點.（1）求證：；（2）已知，求的長.圖（18）簡析：第（1）問在和中，已知有，還有一組直角相等，現(xiàn)在我們可以找一條對應(yīng)邊用“SAS”證明全等三角形或者是找一個對應(yīng)角用“AA

36、S”證明，這時就要根據(jù)已知條件去找，哪個方便就用哪個，由已知條件可以根據(jù)同角的余角相等來證明.證明：如圖， 又 又， 在和中 （AAS）簡析：第（2）問本題求的長，從直觀上看不能用簡便的方法求，可以把放到兩個相似的三角形中，可以通過證兩個相似三角形來求.解： ， 設(shè)，則 即說明：這個題把全等三角形和相似三角形有機(jī)的結(jié)合在一起考學(xué)生，對學(xué)生有意識的進(jìn)行選拔，也對學(xué)生高要求，它著重強(qiáng)調(diào)全等三角形和相似三角形的相同點和不同點，讓學(xué)生能區(qū)分開，這類題型在中考中也算是中難度的題了.例 12 （2013年上海市中考題）如圖，在中， ，點為邊的中點，交于點，交的延長線于點求證：.圖（19）簡析：要證，從題目

37、中我們不能直觀的證明它們相等，要先轉(zhuǎn)化證明平行四邊形再證全等三角形，通過兩對邊分別平行的性質(zhì)證明四邊形是平行四邊形，然后把邊和放在和中，證明這兩個三角形全等，進(jìn)而就可以證明. 證明：，四邊形是平行四邊形,和是直角三角形又是直角三角形，且為的中點在和中(HL)說明：幾何圖形之間線段與角的關(guān)系是有聯(lián)系的，但是要對每個圖形的性質(zhì)掌握，才能搭起橋梁，建立關(guān)系.例13 (2012年云南省中考題)如圖，在中，點是邊上的一點，且，過點作交于點.求證.圖（20）簡析：題目中給得每個已知條件都是關(guān)鍵，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知條件中沒有明確給出斜邊，所以我們要另謀出路，根據(jù)，用“AAS”來證明.證明

38、：又在和中(AAS)說明：證明全等三角形的方法有多種，關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件去找邊與邊、角與角之間的對應(yīng)關(guān)系.例 14（2011福建福州中考題）如圖，于點,于點,交于點,且.求證.圖（21）簡析：題目中給得每個已知條件都是關(guān)鍵，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知條件中沒有明確給出斜邊，題目中還有一個隱含的條件對頂角,所以我們可以選擇用“ASA”來證明和全等.證明:， 在和中 (ASA) 說明：在做幾何圖形的題目時，即要抓住它給的每個已知條件，又要從題目或圖形中挖掘出隱含的條件，這鍛煉我們的發(fā)現(xiàn)思維和綜合應(yīng)用能力.6 結(jié)論61主要發(fā)現(xiàn)全等三角形的證明問題，就其方法而言，沒有定法可套，有較大的靈

39、活性和技巧性而且全等三角形證明歷來是中學(xué)、特別是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重點和難點本文系統(tǒng)地歸納整理了幾類全等三角形的證明方法如若學(xué)生在掌握全等三角形的基礎(chǔ)知識以后，能夠靈活應(yīng)用文中幾類方法和思想，以其為指導(dǎo)，全等三角形問題將能夠迎刃而解，使得解決全等三角形問題時思路清晰，運算簡便尤其是應(yīng)用構(gòu)造法，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，在解決一些全等三角形問題時作用很大62 啟示從文中可以看出在處理全等三角形問題時，若能靈活運用這些思想與方法，則會取得事半功倍的效果教師在講解具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法時，應(yīng)該高度重視全等三角形方法的挖掘和滲透，重視理論和實踐的結(jié)合，讓學(xué)生切實領(lǐng)悟其價值，滋生應(yīng)用的意識同時學(xué)生在解題

40、和學(xué)習(xí)的過程中也應(yīng)認(rèn)真思考，發(fā)現(xiàn)和歸納證明全等三角形的數(shù)學(xué)思想方法63局限性本文把理論和實踐相結(jié)合，歸納了幾類全等三角形證明的方法在解題中的應(yīng)用，其中主要工作屬歸結(jié)概括，在一些方面存在局限性，一是在不同知識體系間尋求“交匯”跨度大、難度高，不易發(fā)現(xiàn)其中的本質(zhì)聯(lián)系；二是由于本文整理歸納了較多全等三角形的證明方法和數(shù)學(xué)思想，多則不精，廣而不深 64努力方向全等三角形的證明方法種類繁多，不同知識體系間的跨度大、難度高在教學(xué)實踐中，并不是短時間可以全部學(xué)習(xí)掌握的，需要長期學(xué)習(xí)并積累，而對于全等三角形的證明方法新的研究與發(fā)展，則要在大量的實踐中不斷摸索參考文獻(xiàn)1 劉建東. J. 數(shù)理化解題研究(初中版)

41、, 2014,(6):35. 2 好未來研發(fā)中心. 幾何輔助線秘籍J. 中學(xué)課程輔導(dǎo),2012,（4）89112.3 楊曉軍. J. 中學(xué)生數(shù)理化(八年級數(shù)學(xué)), 2014, (Z2):47. 4 林偉杰. J. 中學(xué)生數(shù)理化(初中版), 2006,(3):85.5 劉申強(qiáng). J. 時代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)(七年級), 2005,(5)：17. 6 黎強(qiáng). J. 福建中學(xué)數(shù)學(xué), 2005,(1):58. 7 喻俊鵬. J. 中學(xué)生數(shù)理化(八年級數(shù)學(xué)), 2014,(Z2):1923. 8 劉玉東. J. 中學(xué)課程輔導(dǎo)(初二版), 2004,(8):749 董云霞. J. 中學(xué)生數(shù)理化(初中版) ,2005,(10):5258. 10 查貴賓. J. 中學(xué)生數(shù)理化(八年級數(shù)學(xué))(配合人教社教材), 2014,(Z2):39. 11 張文國. J. 中學(xué)課程輔導(dǎo)(初二版), 2004