小專題(五)　相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

1、.小專題五相似三角形的斷定與性質(zhì)綜合相似三角形的性質(zhì)與斷定綜合是安徽中考必考內(nèi)容之一,主要考察利用相似三角形知識(shí)解決求線段的長(zhǎng)度、證明線段成比例、證明角相等以及與相似三角形有關(guān)的探究題與新定義題,多與全等三角形知識(shí)相結(jié)合考察,有一定的難度,考察題型中,選擇題、填空題和解答題都有可能出現(xiàn).類型1計(jì)算線段的長(zhǎng)度或線段的比1.泰安中考如圖,四邊形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分BAD,點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且PDAD.1證明:BDC=PDC;2假設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)E,AB=1,CECP=23,求AE的長(zhǎng).解:1AB=AD,AC平分BAD,ACBD,ACD+BDC=90°,AC=A

2、D,ACD=ADC,PDAD,ADC+PDC=90°,BDC=PDC.2過點(diǎn)C作CMPD于點(diǎn)M,BDC=PDC,CE=CM,CMP=ADP=90°,P=P,CPMAPD,CMAD=PCPA,設(shè)CM=CE=x,CECP=23,PC=32x,AB=AD=AC=1,x1=32x32x+1,解得x=13,AE=1-13=23.類型2證明線段成比例關(guān)系2.如圖,在菱形ABCD中,G是BD上一點(diǎn),連接CG并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)E.1求證:AG=GC;2求證:AG2=GE·GF.解:1如圖,菱形ABCD中,AD=CD,1=2,DG=DG,AGDCGD,AG=CG

3、.2如圖,菱形ABCD中,ABCD,F=4,由1得AGDCGD,3=4,3=F,又AGF=AGF,AGEFGA,AGFG=EGAG,即AG2=GE·GF.類型3證明角的關(guān)系3.宿遷中考如圖,在ABC中,AB=AC,點(diǎn)E在邊BC上挪動(dòng)點(diǎn)E不與點(diǎn)B,C重合,滿足DEF=B,且點(diǎn)D,F分別在邊AB,AC上.1求證:BDECEF;2當(dāng)點(diǎn)E挪動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)候,求證:FE平分DFC.解:1AB=AC,B=C,DEF+CEF=B+BDE,DEF=B,CEF=BDE,BDECEF.2由1得BDECEF,BECF=DEEF,E是BC的中點(diǎn),BE=CE,CECF=DEEF,即CEDE=CFEF,C=D

4、EF,EDFCEF,CFE=EFD,即FE平分DFC.4.如圖,在四邊形ABCD中,ABCD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊AB上,連接CF交線段BE于點(diǎn)G,CG2=GE·GD.求證:ACF=ABD.解:CG2=GE·GD,CGGE=GDCG.又CGD=EGC,GCDGEC.BDC=ACF.ABCD,ABD=BDC.ACF=ABD.類型5探究性問題5.如圖,ABC和BEC均為等腰直角三角形,且ACB=BEC=90°,AC=42,點(diǎn)P為線段BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接CP,以CP為直角邊向下作等腰直角CPD,線段BE與CD相交于點(diǎn)F.1求證:PCCD=CECB;2連接

5、BD,請(qǐng)你判斷AC與BD有什么位置關(guān)系?并說明理由.解:1在等腰RtCPD和等腰RtBEC中,CBE=CDP=45°,CEB=CPD=90°,CEBCPD,PCCE=CDCB.PCCD=CECB.2ACBD.理由如下:在等腰RtCPD和等腰RtBEC中,BCE=DCP=45°,BCD=ECP,又PCCD=CECB,BCDECP,CBD=CEP=180°-BEC=90°,在等腰RtABC中,ACB=90°,ACB=CBD,ACBD.6.在ABC中,AB=AC,BAC=2DAE=2.1如圖1,假設(shè)點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F,求證:ADF

6、ABC;2如圖2,在1的條件下,假設(shè)=45°,求證:DE2=BD2+CE2;3如圖3,假設(shè)=45°,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,那么等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請(qǐng)說明理由.解:1點(diǎn)D,F關(guān)于直線AE對(duì)稱,DE=EF,DAE=FAE=.DAF=2=BAC.AB=AC,AD=AF,ABAC=ADAF=1.DAFBAC.2DAF=2=BAC,DAF-DAC=BAC-DAC,即BAD=CAF.又AB=AC,AD=AF,BADCAF.BD=CF,ACF=ABD.BAC=2=2×45°=90°,AB=AC,ABD=ACB=45°,ACF=45

7、°.ECF=ACB+ACF=90°.EF2=EC2+CF2.BD=CF,DE=EF,DE2=EC2+BD2.3還成立.理由如下:如圖,點(diǎn)D,F關(guān)于直線AE對(duì)稱,AD=AF,DE=EF,DAE=FAE=.DAF=2=BAC.DAF-DAC=BAC-DAC,即CAF=BAD.又AB=AC,AD=AF,BADCAF.BD=CF,ACF=ABD.BAC=2=2×45°=90°,AB=AC,ABD=ACB=45°,ACF=45°.ECF=180°-ACB-ACF=90°.EF2=CF2+CE2.EF=DE,CF=BD,DE2=BD2+CE2.類型6實(shí)際應(yīng)用問題7.涼山中考如圖,假設(shè)要在寬AD為20米的城南大道兩邊安裝路燈,路燈的燈臂BC長(zhǎng)2米,且與燈柱AB成120°角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線CO與燈臂BC垂直,當(dāng)燈罩的軸線CO通過公路路面的中心線時(shí)照明效果最好,此時(shí),路燈的燈柱AB高應(yīng)該設(shè)計(jì)為多少米?結(jié)果保存根號(hào)解:如圖,延長(zhǎng)OC,AB交于點(diǎn)P.ABC=120°,PBC=60°,OCB=A=90°,P=30°,AD=20米,OA=12AD=10米,BC=2米,在RtCPB中,PB=2BC=