機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)課程設(shè)計(jì)

1、目錄摘要3關(guān)鍵詞3一、概述3二、優(yōu)化方法介紹3（一）、一維搜索方法3（二）無約束優(yōu)化方法51）共軛方向的生成62）基本算法63)改進(jìn)算法的基本步驟如下7三、優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例101）模型102）變量103）優(yōu)化設(shè)計(jì)源程序104）分析結(jié)果20四、課程總結(jié)20機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)課程設(shè)計(jì)論文摘要：隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)作為一門為工程設(shè)計(jì)提供手段的學(xué)科，在這樣的時(shí)代背景下應(yīng)運(yùn)而生。針對(duì)具體的課題，通過一些設(shè)計(jì)變量而建立起目標(biāo)函數(shù)的過程，稱為數(shù)學(xué)建模；應(yīng)用優(yōu)化方法為工程設(shè)計(jì)尋找出最優(yōu)解是現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計(jì)所研究的主要課題與方向。關(guān)鍵詞：機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)；設(shè)計(jì)變量；目標(biāo)函數(shù)；數(shù)學(xué)模型；優(yōu)化方法一、 概述 優(yōu)化設(shè)計(jì)

2、是20世紀(jì)60年代初發(fā)展起來的一門新學(xué)科，它是將最優(yōu)化原理與計(jì)算技術(shù)應(yīng)用于設(shè)計(jì)領(lǐng)域，為工程設(shè)計(jì)提供一種重要的科學(xué)設(shè)計(jì)方法的手段。利用這種新的設(shè)計(jì)方法，人們就可以從眾多的設(shè)計(jì)方案中尋找出最佳設(shè)計(jì)方案，從而大大提高設(shè)計(jì)效率和設(shè)計(jì)質(zhì)量。因此優(yōu)化設(shè)計(jì)是現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論和方法的一個(gè)重要領(lǐng)域，它已廣泛應(yīng)用于各個(gè)工業(yè)部門，成為現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)的一個(gè)重要手段！二、優(yōu)化方法介紹 （一）、一維搜索方法一維搜索方法可分為兩類，一類稱為試探法，這類方法是按某種給定的規(guī)律來確定區(qū)間內(nèi)插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)位置的確定僅僅按照區(qū)間縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，例如黃金分割法，裴波那契法等。另一類一維搜索法稱作插值法或函數(shù)逼近

3、法。這類方法是根據(jù)某些點(diǎn)處的某些信息，如函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)等，構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù)來逼近原來的函數(shù)，用插值函數(shù)的極小點(diǎn)作為區(qū)間的插入點(diǎn)，這類方法主要有二次插值法，三次插值法等。在此重點(diǎn)討論黃金分割法。黃金分割法適用于a, b區(qū)間上的任何單谷函數(shù)求極小值問題，對(duì)函數(shù)除要求“單谷”外不作其他要求，甚至可以不連續(xù)。因此，這種方法的適應(yīng)面相當(dāng)廣。黃金分割法也是建立在區(qū)間消去法原理基礎(chǔ)上的試探方法，即在搜索區(qū)間a, b內(nèi)適當(dāng)插入兩點(diǎn)1，2，并計(jì)算其函數(shù)值。1，2將區(qū)間分為三段，應(yīng)用函數(shù)的單谷性質(zhì)，通過函數(shù)值大小的比較，刪去其中一段，使搜索區(qū)間得以縮短。然后再在保留下來的區(qū)間上作同樣的處置，如此迭代下

4、去，使搜索區(qū)間無限縮小，從而得到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。黃金分割法要求插入點(diǎn)1、2的位置相對(duì)于區(qū)間a, b兩端點(diǎn)具有對(duì)稱性，即1bba2aba其中，為待定常數(shù)。 圖3-6除對(duì)稱要求外，黃金分割法還要求在保留下來的區(qū)間內(nèi)再插入一點(diǎn)所形成的區(qū)間新三段，與原來區(qū)間的三段具有相同的比例分布 。設(shè)原區(qū)間a, b長度為1如圖3-6所示，保留下來的區(qū)間a, 2長度為，區(qū)間縮短率為。為了保持相同的比例分布，新插入點(diǎn)3應(yīng)在1位置上，1在原區(qū)間的1位置應(yīng)相當(dāng)于在保留區(qū)間的位置。故有110取方程正數(shù)解，得(51)20.618若保留下來的區(qū)間為1, b,根據(jù)插入點(diǎn)的對(duì)稱性，也能推得同樣的 值。所謂的黃金分割是指將一線段劃

5、分為兩段的方法，使整段長與較長段的長度比值等于較長段與較短段的比值，即11同樣算的0.618 ?？梢婞S金分割法能使得相鄰兩次搜索區(qū)間都具有相同的縮短率0.618，所以黃金分割法又稱為0.618法。1）黃金分割法的搜索過程是：給出初始搜索區(qū)間a, b及收斂精度，將賦以0.618 。2）按坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算公式計(jì)算1 和2，并計(jì)算其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(1) ,f(2) 。根據(jù)消去法原理縮短搜索區(qū)間。為了能用原來的坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算公式，需進(jìn)行區(qū)間名稱的代換，并在保留區(qū)間中計(jì)算一個(gè)新的試驗(yàn)點(diǎn)及其函數(shù)值。4）檢查區(qū)間是否縮短到足夠小和函數(shù)值收斂到足夠近，如果條件不滿足則返回到步驟2 。5）如果條件滿足，則取最后2試驗(yàn)點(diǎn)的

6、平均值作為極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。黃金分割法的程序框圖如圖3-7所示。 圖3-7（二）無約束優(yōu)化方法前面所舉的機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題都是在一定的限制條件下追求某一指標(biāo)為最小，所以它們都屬于約束優(yōu)化問題。但是有些實(shí)際問題，其數(shù)學(xué)模型本身就是一個(gè)無約束優(yōu)化問題，或者除了在非常接近最終極小值的情況下，都可以按無約束優(yōu)化問題來解決。研究約束優(yōu)化問題的另一個(gè)原因是，通過熟悉它的解法可以為研究無約束優(yōu)化問題打下良好的基礎(chǔ)。第三個(gè)原因，約束優(yōu)化問題的求解可以通過一系列無約束優(yōu)化方法來達(dá)到。由此可見，無約束優(yōu)化問題的解法是優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的基本組成，也是優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。屬于無約束優(yōu)化方法的主要有：1、最速下降法2、牛頓型法

7、3、共軛方向及共軛方向法4、共軛梯度法5、變尺度法6、坐標(biāo)輪換法7、鮑威爾法8、單形替換法下面主要介紹鮑威爾法的原理及應(yīng)用。鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來構(gòu)造共軛方向的一種共軛方向法。這種方法是在研究具有正定矩陣G的二次函數(shù)f(x)=1/2 xTGxbTxc的極小化問題時(shí)形成的。其基本思想是在不用導(dǎo)數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)造G的共軛方向。1）共軛方向的生成 設(shè)xk、 xk+1為從不同點(diǎn)出發(fā)，沿著同一方向dj進(jìn)行一維搜索而得到的兩個(gè)極小點(diǎn)，如圖所示。根據(jù)梯度和等值面相互垂直的特性，dj和xk、xk+1兩點(diǎn)處的梯度gg、gg+1之間存在關(guān)系(dj)Tgk=0(dj)Tgk+1=0另一方面，對(duì)于上述二

8、次函數(shù)，其xk、xk+1兩點(diǎn)處的梯度可表示為gk=Gxk+bgk+1=G xk+1+b兩式相減得gk+1gk=G（xk+1xk）因而有(dj)T（ gk+1gk）=(dj)TG(xk+1xk)=0若取方向dk= xk+1xk,如圖4-15所示，則dk和dj對(duì)G共軛。這說明只要沿著dj方向分別對(duì)函數(shù)作兩次一維搜索，得到兩個(gè)極小值xk和xk+1。那么這兩點(diǎn)的連線所給出的方向就是與一起對(duì)G共軛的方向。對(duì)于二維問題，f(x)的等值線為一簇橢圓，A、B為沿x1軸方向上的兩個(gè)極小值點(diǎn)，分別處于等值線與x1軸方向的切點(diǎn)上，如圖4-16所示 。根據(jù)上述分析，則A、B兩點(diǎn)的連線AB就是與x1軸一起對(duì)G共軛的方向

9、。沿此共軛方向進(jìn)行一維搜索就可以找到函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)x*。2）基本算法 現(xiàn)在針對(duì)二維情況來描述鮑威爾的基本算法，如圖4-17所示。任選一初始點(diǎn)x0，再選兩個(gè)線性無關(guān)的向量，如坐標(biāo)軸單位向量e1= 1 0T和 e2=0 1T作為初始搜索方向。從x0出發(fā)，順次沿e1、e 2作一維搜索得點(diǎn)x10、x20，兩點(diǎn)連線得一新方向dl= x20x10用dl代替e1形成兩個(gè)線性無關(guān)向量e 2、dl，作為下一輪迭代的搜索方向。再從x20出發(fā)，沿dl作一維搜索得點(diǎn)x01，作為下一輪迭代的初始點(diǎn)。從x1出發(fā)，順次沿e2、d1作一維搜索，得到點(diǎn)x11、x21，兩點(diǎn)連線得一新方向d2= x21x01x01、x21

10、兩點(diǎn)是從不同點(diǎn)x0、x11出發(fā)，分別沿d1方向進(jìn)行一維搜索而得的極小點(diǎn)，所以x01、x21兩點(diǎn)連線的方向d2同d1一同對(duì)G共軛。再從x21出發(fā)，沿d2作一維搜索得點(diǎn)x2 。因?yàn)閤2相當(dāng)于從x0出發(fā)分別沿G的兩個(gè)共軛方向d1、d2進(jìn)行兩次一維搜索而得到的點(diǎn)，所以x2點(diǎn)即是二維問題的極小值點(diǎn)x*3)改進(jìn)算法的基本步驟如下：給定初始點(diǎn)x0（記作x00），選取初始方向組，它由n個(gè)線性無關(guān)的向量d10,d20,，dn0(如n個(gè)坐標(biāo)軸單位向量e1,e2,en)所組成，置k0 。從x0k出發(fā)，順次沿d1k，d2k，,dnk作一維搜索得x1k,x2k,xnk，接著以xnk為起點(diǎn)，沿方向dkn+1=xnk-x0

11、k移動(dòng)一個(gè)xnk-x0k的距離，得到xn+1k=xnk+(xnk-x0k)=2xnk-x0kx0k、xnk、xn+1k分別稱為一輪迭代的始點(diǎn)、終點(diǎn)和反射點(diǎn)。始點(diǎn)、終點(diǎn)和反射點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別表示為F0=f(x0k)F2=f(xnk)F3=f(xn+1k)同時(shí)計(jì)算各中間點(diǎn)處的函數(shù)值，并記為fi=f(xik)(i=0,1,2,n)因此有F0=f0，F(xiàn)2=fn 。計(jì)算n個(gè)函數(shù)值之差f0-f1, f1-f2, fn-1-fn 。記作i=fi-1-fi(i=1,2,n)其中最大者記為m=maxi= fm-1-fm根據(jù)是否滿足判定條件F3F0和（F0-2F2+F3）（F0-F2-m）20.5m（F0-F

12、3）2來確定是否要對(duì)原方向組進(jìn)行替換。若不滿足判別條件，則下輪迭代仍用原方向組，并以xnk、xn+1k中函數(shù)值小者作為下輪迭代的始點(diǎn)。若滿足上述判別條件，則下輪迭代應(yīng)對(duì)原方向組進(jìn)行替換，將dn+1k補(bǔ)充到原方向組的最后位置，而除掉dmk 。即新方向組為d1k，d2k，,dm-1k,dm+1k,dnk，dn+1k作為下輪迭代的搜索方向。下輪迭代的始點(diǎn)取為沿dn+1k方向進(jìn)行一維搜索的極小點(diǎn)x0k+1。判斷是否滿足收斂準(zhǔn)則。若滿足則取x0k+1為極小點(diǎn)，否則應(yīng)置kk+1，返回2，繼續(xù)進(jìn)行下一輪迭代。這樣重復(fù)迭代的結(jié)果，后面加進(jìn)去的向量都彼此對(duì)G共軛，經(jīng)n輪迭代即可得到一個(gè)由n個(gè)共軛方向所組成的方向

13、組。對(duì)于2次函數(shù)，最多不超過n次就可以找到極小點(diǎn)，而對(duì)于一般函數(shù)，往往要超過n次才能找到極小點(diǎn)（這里的“n”表示設(shè)計(jì)空間的維數(shù)）。改進(jìn)后的鮑威爾法程序框圖如下 開始給定x0、x00x0;di0eii=n?if(xi1k) f(xik)xikxi1k+ikdikik:minf(xi1k+dik) =i1否是K0ii+1結(jié)束否是否否是kk+1x0k+1xn+1kx0k+1xnk+n+1kdn+1kn+1k:minf(xnk+dn+1k) 判別條件是否滿足？x0k+1xnkx*x0k+1|xnkx0k|?dik+1di+1k(i=m,m+1,n)dik+1di+1k(i=1,2,m1)xn+1kxn

14、kx0k xn+1k2xnkx0k 是F2F3F0f(x0k) F2f(xnk) F3f(xn+1k) imax i三、優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例用鮑威爾法解決二維問題1）模型 f（x）=4（x15）2+(x26)22）變量 x1、x23）優(yōu)化設(shè)計(jì)源程序#include stdio.h#include stdlib.h#include math.hdouble objf(double x)double ff;ff=4*x0*x0+x1*x1-40*x0-12*x1+136;return(ff);void jtf(double x0,double h0,double s,int n,double a,doub

15、le b)int i;double *x3,h,f1,f2,f3;for(i=0;i3;i+)xi=(double *)malloc(n*sizeof(double);h=h0;for(i=0;in;i+)*(x0+i)=x0i;f1=objf(x0);for(i=0;i=f1)h=-h0; for(i=0;in;i+) *(x2+i)=*(x0+i); f3=f1; for(i=0;in;i+) *(x0+i)=*(x1+i); *(x1+i)=*(x2+i); f1=f2; f2=f3; for(;) h=2*h; for(i=0;in;i+) *(x2+i)=*(x1+i)+h*si;

16、f3=objf(x2); if(f2f3) break; else for(i=0;in;i+) *(x0+i)=*(x1+i); *(x1+i)=*(x2+i); f1=f2; f2=f3; if(h0) for(i=0;in;i+) ai=*(x2+i); bi=*(x0+i); else for(i=0;in;i+) ai=*(x0+i); bi=*(x2+i); for(i=0;i3;i+) free(xi);double gold(double a,double b,double eps,int n,double xx)int i;double f1,f2,*x2,ff,q,w;fo

17、r(i=0;i2;i+)xi=(double *)malloc(n*sizeof(double);for(i=0;if2) for(i=0;in;i+) bi=*(x0+i); *(x0+i)=*(x1+i); f1=f2; for(i=0;in;i+) *(x1+i)=ai+0.382*(bi-ai); f2=objf(x1); else for(i=0;in;i+) ai=*(x1+i); *(x1+i)=*(x0+i); f2=f1; for(i=0;in;i+) *(x0+i)=ai+0.618*(bi-ai); f1=objf(x0); q=0;for(i=0;ieps);for(i

18、=0;in;i+) xxi=0.5*(ai+bi);ff=objf(xx);for(i=0;i2;i+)free(xi);return(ff);double oneoptim(double x0,double s,double h0,double epsg,int n,double x)double *a,*b,ff;a=(double *)malloc(n*sizeof(double);b=(double *)malloc(n*sizeof(double);jtf(x0,h0,s,n,a,b);ff=gold(a,b,epsg,n,x);free(a);free(b);return (ff)

19、;double powell(double p,double h0,double eps,double epsg,int n,double x)int i,j,m;double *xx4,*ss,*s;double f,f0,f1,f2,f3,fx,dlt,df,sdx,q,d;ss=(double *)malloc(n*(n+1)*sizeof(double);s=(double *)malloc(n*sizeof(double);for(i=0;in;i+)for(j=0;j=n;j+) *(ss+i*(n+1)+j)=0; *(ss+i*(n+1)+i)=1;for(i=0;i4;i+)

20、xxi=(double *)malloc(n*sizeof(double);for(i=0;in;i+)*(xx0+i)=pi;for(;)for(i=0;in;i+) *(xx1+i)=*(xx0+i); xi=*(xx1+i); f0=f1=objf(x); dlt=-1; for(j=0;jn;j+) for(i=0;idlt) dlt=df; m=j; sdx=0; for(i=0;in;i+) sdx=sdx+fabs(xi-(*(xx1+i); if(sdxeps) free(ss); free(s); for(i=0;i4;i+) free(xxi); return(f); for(i=0;in;i+) *(xx2+i)=xi; f2=f; for(i=0;in;i+) *(xx