有限群的分類

1、§9 有限群的分類1. 凱萊定理：設是階群，則一定與對稱群的某個子群同構。 凱萊定理表明，理論上講，研究有限群只需把對稱群研究透就夠了，但由于的階數(shù)非常大，很難找出具體與的哪個子群同構。實際當中采用具體研究的方式。，2。群的直和分解概念 定義 設是群的正規(guī)子群。如果，都存在唯一的，使得；同時當時，中的元素與中的元素可交換，則稱為的直和，記為 例如，以克萊茵四元群為例， 取 則 且有 從而根據(jù)定義有 再比如，6階循環(huán)群，。取，則不難驗證有。3.有限群的結構定理 群的分類思想就是把復雜的群分解成簡單的、結構完全已知的 群的直和，而循環(huán)群的結構最簡單、完全清楚，因此，總是將 一般的群分解成

2、循環(huán)群的直和。以下將階循環(huán)群記為。情形1：有限交換群的情形定理1 每個有限交換群都同構于一些循環(huán)群的直和，這些循環(huán)群的階數(shù)分別為， 滿足 ， 即。通常稱為的不變因子（Invariant factors）。定理2 設正整數(shù)，其中為互不相同的素數(shù)，則 （即循環(huán)群還可以進一步分解為更小的循環(huán)群的直和） 結合定理1和定理2得定理3 任何有限交換群都可以寫成一些有限循環(huán)群的直和，其中每個循環(huán)群的階都是素數(shù)的方冪。定理4 素冪階循環(huán)群不可能再分解成階數(shù)更小的循環(huán)群的直和。定理5 若與互素，則。 將在整數(shù)范圍內(nèi)作因式分解，由于 ，因此必有相同的素因子，把它們按從高到低的次序排列如下： 其中有些可以為0，且

3、稱以上分解出的真因子都叫的一個初等因子(elementary factor).定理1，2，3可以簡寫成形式 例1 確定所有4階和6階交換群。解。（1），全部初等因子組為2，2， 因此只有兩種4階交換群：，。其中就是克萊茵四元群（見前面例子）。 （2），初等因子組只有2，3，因此 6階交換群只有一個：。 但要注意，這里給出的僅僅是交換群的情形，還有6階非交換群存在：。例2 列出所有1500階的有限交換群解。全部初等因子組為 ， ， ， ， ，因此共有6種1500階的交換群，分別為 注意：利用定理5可以將重新改寫成 , , , , , ,最后得到的不變因子分別為：5，5，60，5，300，1500

4、，5，10，30，10，150， 2，750。作業(yè)：（1）決定20及20階以下交換群的結構； （2）給出2250階交換群的所有結構，并求出相應的不變因子。再給出兩個關于交換群的結論定理6 素數(shù)階的群總是交換群而且只有一個，即素數(shù)階的循環(huán)群。定理7 設是階交換群，是的任何一個正因子，則總存在階的子群。注意: 定理7對非交換群不成立。如取為的全部偶置換作成的群（即交錯群），它是一個12階非交換群，但可以驗證沒有6階子群。情形2：非交換群的情形 正邊形的對稱群概念：令為正邊形順時針旋轉的旋轉對稱，為關于過中心的對稱軸的鏡面對稱，則正邊形總共有個對稱，正邊形的對稱群表示為： ，其中， 為恒等變換。定理

5、5 設為素數(shù)，且不妨設。 若不整除，則；若，則同構于由和生成的非交換群： 其中，不整除， 。例子：， 不整除，所以15階的群只有循環(huán)群。推論 設是奇素數(shù)，則階的群要么是循環(huán)群，要么是正邊形的對稱群。例如， 階群只有和； 階群只有和； 階群只有和。定理6 8階非交換群只有兩個：一個是正四邊形的對稱群；另一個是四元數(shù)群 定理7 12階非交換群有三個：一個是正六邊形的對稱群；一個是交錯群；一個是由兩個元素生成的群，記為 總結: 15及15階以下交換和非交換群列表群個數(shù) 11 21 314, 2516, (即，非交換)2718, ，, ，59, 210, (非交換)211112, , ，513114, (非交換)