拋物線方程及幾何意義 教案

1、適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高中二年級(jí)適用區(qū)域人教版課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）2課時(shí)知識(shí)點(diǎn)1. 拋物線的定義.2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3. 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).教學(xué)目標(biāo)1. 掌握拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程.2. 掌握拋物線的幾何性質(zhì).3. 體會(huì)解析幾何的思想，熟悉利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的手段教學(xué)重點(diǎn)1. 拋物線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，2. 利用性質(zhì)解決一些問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)拋物線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)的靈活應(yīng)用.【教學(xué)建議】拋物線是圓錐曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查拋物線的方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、及其幾何性質(zhì)，題型上，選擇題、填空題、解答題、都有可能出現(xiàn)，以考查學(xué)生的運(yùn)算、數(shù)形結(jié)合、和分析問(wèn)題的能力為主。1、 教學(xué)

2、目標(biāo) 本課的教學(xué)目標(biāo)是：掌握拋物線的定義、幾何圖形，明確焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的意義；會(huì)推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；能夠利用給定的條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。過(guò)程與方法：通過(guò)“觀察”“探究”等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類(lèi)比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考與推理，學(xué)會(huì)反思與感悟，形成良好的數(shù)學(xué)觀，并進(jìn)一步感受坐標(biāo)法及數(shù)形結(jié)合的思想。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)提問(wèn)、討論、思考解答等數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生合作、交流的能力，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、善于觀察、勇于探索、嚴(yán)密細(xì)致的科學(xué)態(tài)度；激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。教學(xué)目標(biāo)明確，具體，符合新課標(biāo)的要求。2、 教學(xué)過(guò)程 整個(gè)教學(xué)

3、過(guò)程包括新課的導(dǎo)入，拋物線概念的得出，方程的推導(dǎo)和熟練過(guò)程，到最后的總結(jié)，教學(xué)環(huán)節(jié)完整，層次分明，重點(diǎn)推導(dǎo)拋物線的方程，概念的得出是通過(guò)幾何畫(huà)板現(xiàn)場(chǎng)展示過(guò)程，讓學(xué)生在體會(huì)作圖的特點(diǎn)中感悟概念的得出，體現(xiàn)了知識(shí)的產(chǎn)生和形成過(guò)程，通過(guò)例題和練習(xí)讓學(xué)生達(dá)到熟練的程度，方法合理，過(guò)程安排有序，有效突破難點(diǎn)。 3、 教學(xué)方法 有效運(yùn)用幾何畫(huà)板工具，展現(xiàn)概念的形成過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到拋物線概念中的相等關(guān)系的量，為得到拋物線的概念做了很好的鋪墊，概念的得出是在教師提示下學(xué)生體會(huì)得到的，方程的推導(dǎo)過(guò)程中，師生共同完成，有效地達(dá)到了教學(xué)效果。 4、 教師基本功 板書(shū)布局工整合理，板書(shū)中體現(xiàn)了本課的教學(xué)重點(diǎn)，教態(tài)自

4、然，語(yǔ)言準(zhǔn)確，體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。 五、 創(chuàng)新意識(shí) 教學(xué)設(shè)計(jì)有一定新意，在導(dǎo)課時(shí)，采用具體形象地幾何畫(huà)板工具，現(xiàn)場(chǎng)展示幾何圖形，形象直觀地讓學(xué)生體會(huì)到幾何作圖中所包含的抽象關(guān)系，從而得出拋物線的概念?！局R(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入【教學(xué)建議】導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個(gè)環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生盡快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法： 情境導(dǎo)入，比如講一個(gè)和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象； 溫故知新，在知識(shí)體系中，從學(xué)生已有知識(shí)入手，揭示本節(jié)知識(shí)與舊知識(shí)的關(guān)系，幫學(xué)生建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。提供一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)供講師參考：一、課堂導(dǎo)入1.生活中的拋物線：（1）投籃時(shí)籃球的運(yùn)行軌跡是拋物線；（2）南京秦

5、淮河三山橋的橋拱的形狀是拋物線； （3）衛(wèi)星天線是根據(jù)拋物線的原理制造的.2.數(shù)學(xué)中的拋物線：一元二次函數(shù)的圖像是一條拋物線.提出問(wèn)題：為什么一元二次函數(shù)的圖像是一條拋物線？類(lèi)比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，拋物線又會(huì)有怎樣的幾何性質(zhì)？ 二、拋物線的定義1.拋物線的畫(huà)法（1）介紹作圖規(guī)則.（2）動(dòng)畫(huà)展示作圖過(guò)程.提出問(wèn)題：筆尖所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足的幾何關(guān)系是什么？（3）分析作圖過(guò)程提出問(wèn)題：在作圖過(guò)程中，直尺，三角板，筆尖，點(diǎn)F中，哪些沒(méi)有動(dòng)？哪些動(dòng)了？提出問(wèn)題：在作圖過(guò)程中，繩長(zhǎng)，中，哪些量沒(méi)有變？哪些量變了？（4）結(jié)論動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何關(guān)系是：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離等于它到直尺的距離.2.拋物線的定義問(wèn)題1：

6、你能給拋物線下個(gè)定義嗎？拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不過(guò)）的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線.問(wèn)題2：為什么定點(diǎn)不能在定直線上？若點(diǎn)在直線上，則軌跡為過(guò)定點(diǎn)垂直于直線的直線.3.拋物線的相關(guān)概念：定點(diǎn)：拋物線的焦點(diǎn).定直線：拋物線的準(zhǔn)線.設(shè)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.拋物線的對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)：拋物線的頂點(diǎn)三、拋物線的方程1.方程推導(dǎo)（1）建系請(qǐng)同學(xué)們將拋物線畫(huà)在草稿紙上，自己建立平面直角坐標(biāo)系.（2）推導(dǎo)問(wèn)題3：以下三種建系方式，你認(rèn)為哪種建系方式最好？請(qǐng)說(shuō)明理由.提示：設(shè)，先將拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程求出來(lái)，再來(lái)求拋物線的方程.三種建系方式下的拋物線方程分別為：，.不難得出，第二種

7、建系方式下的拋物線方程最簡(jiǎn)潔，因此第二種建系方式最好.：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.3.思考交流問(wèn)題4：你能否分別寫(xiě)出開(kāi)口向左、向上、向下，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？具體要求：以頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為基礎(chǔ)，分別寫(xiě)出開(kāi)口向左、向上、向下，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，不要求寫(xiě)過(guò)程.學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組合作交流.標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)開(kāi)口方向向右向左向上向下范圍對(duì)稱軸軸軸焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程離心率焦半徑拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是指頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)放在坐標(biāo)軸上的拋物線的方程，一共有四種形式.4.例題分析例1.求出下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.（1）； （2

8、）；例2.根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）焦點(diǎn)：； （2）準(zhǔn)線：.四、課堂小結(jié)問(wèn)題5：這節(jié)課你學(xué)到了什么？請(qǐng)談?wù)勀愕氖斋@.1.知識(shí)內(nèi)容：（1）拋物線的定義：（2）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在軸正半軸：；焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸：；焦點(diǎn)在軸正半軸：；焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸：.2.學(xué)習(xí)方法與過(guò)程：類(lèi)比橢圓的研究方法與過(guò)程.3.學(xué)習(xí)中用到的數(shù)學(xué)思想和方法：（1）直接法；（2）待定系數(shù)法；（3）類(lèi)比的思維方法；（4）數(shù)形結(jié)合思想.二、知識(shí)講解考點(diǎn)1拋物線的定義文字形式：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于它到一條定直線的距離的點(diǎn)的軌跡。其中叫焦點(diǎn)，定直線叫準(zhǔn)線.集合形式：（M為動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，為點(diǎn)M到定直線的距離）.考點(diǎn)2 拋物線的

9、方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)開(kāi)口方向向右向左向上向下范圍對(duì)稱軸軸軸焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程離心率焦半徑 考點(diǎn)3 拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，利用拋物線的定義，要優(yōu)先考慮轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離來(lái)解決問(wèn)題。三 、例題精析類(lèi)型一 拋物線的定義及應(yīng)用例題1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 （2）已知拋物線的焦點(diǎn)是，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。答案與解析（1）因?yàn)椋話佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.（2）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在y軸上，所以拋物線方程為.【總結(jié)與反思】（1）先看清一次項(xiàng)，判定對(duì)稱軸與焦點(diǎn)所在位置，畫(huà)草圖，再求出的值得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。（2）先判定出焦點(diǎn)在軸上，從而得到一次項(xiàng)為，

10、再求出的值進(jìn)而寫(xiě)出方程。類(lèi)型二 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)例題1已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y答案D解析1的離心率為2，2，即4，3，.x22py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，1的漸近線方程為y±x，即y±x.由題意得2，p8.故C2的方程為x216y.例題2過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|AF|3，則AOB的面積為_(kāi)答案與解析答案解析由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(

11、y1>0，y2<0)，如圖所示，|AF|x113，x12，y12.設(shè)AB的方程為x1ty，由消去x得y24ty40.y1y24.y2，x2，SAOB×1×|y1y2|.【總結(jié)與反思】(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此類(lèi)型三 直線與拋物線的綜合問(wèn)題例題1已知拋物線C：y28x與點(diǎn)M(2,2)，過(guò)C的焦點(diǎn)且

12、斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)若·0，則k_.答案與解析答案2解析拋物線C的焦點(diǎn)為F(2,0)，則直線方程為yk(x2)，與拋物線方程聯(lián)立，消去y化簡(jiǎn)得k2x2(4k28)x4k20.設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1x24，x1x24.所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因?yàn)?#183;(x12，y12)·(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，將上面各個(gè)量代入，化簡(jiǎn)得k24k40，所以k2.例題2已知拋物線C：ymx2(m>0)，焦點(diǎn)為F，直線2x

13、y20交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR,2)到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時(shí)m的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由答案與解析解(1)拋物線C：x2y，它的焦點(diǎn)F(0，)(2)|RF|yR，23，得m.(3)存在，聯(lián)立方程消去y得mx22x20，依題意，有(2)24×m×(2)>0m>.設(shè)A(x1，mx)，B(x2，mx)，則(*)P是線段AB的中點(diǎn)，P(，)，即P(，yP)，Q(，)得(x1，m

14、x)，(x2，mx)，若存在實(shí)數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則·0，即(x1)·(x2)(mx)(mx)0，結(jié)合(*)化簡(jiǎn)得40，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，)存在實(shí)數(shù)m2，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形【總結(jié)與反思】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整

15、體代入”等解法提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解四 、課堂運(yùn)用基礎(chǔ)1.（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.（2）已知拋物線的焦點(diǎn)是，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則拋物線的方程為 .答案與解析1. 【答案】（1），（2）【解析】（1）因?yàn)椋話佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.（2）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在y軸上，所以拋物線方程為.2. 【答案】【解析】設(shè)拋物線的方程為.由方程組解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，而點(diǎn)是的中點(diǎn)，從而有，故所求拋物線的方程為.鞏固1.已知點(diǎn)在拋物線上，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和的最

16、小值為 2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )A（2，0） B（- 2，0） C（4，0） D（- 4，0）來(lái)3. 已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn),M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)最小時(shí),M點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）A. B. C. D. 4.已知?jiǎng)訄AM與直線y =2相切，且與定圓C：外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為 答案與解析1. 過(guò)作于點(diǎn)(為準(zhǔn)線），顯然,當(dāng)時(shí)有最小值，此時(shí)2. 由,易知焦點(diǎn)坐標(biāo)是，故選B3. 設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為,則，當(dāng)最小時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)是，選C4. 設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為r，則由題意可得M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義可知：動(dòng)圓圓心的軌跡是以C（0，-3）為焦點(diǎn)，以y=3為

17、準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為3.4拔高1. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于兩點(diǎn)， 求證：（1） （2）2.已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的弦AB長(zhǎng)為12，則直線AB傾斜角為 .3.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，且、成等差數(shù)列， 則有（）A B C D. 4. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)且與交于，兩點(diǎn)。若，則的方程為（ ）（A）或 （B）或（C）或 （D）或答案與解析1.（1）如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作.兩式相加即得：（2）當(dāng)ABx軸時(shí)，有成立；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為：.代入拋物線方程：.化簡(jiǎn)得：方程（1）之二根為x1，x2，.故不論弦AB與x軸是否垂直，恒有成立2. 由結(jié)論：若AB是

18、拋物線的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為，則，有12=（其中為直線AB的傾斜角），則，所以直線AB傾斜角為或3. 由拋物線的定義可得，由于、成等差數(shù)列，所以4. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則因?yàn)椋?，所以。因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，所以此時(shí)，若，則,此時(shí),此時(shí)直線方程為。若，則,此時(shí),此時(shí)直線方程為。所以的方程是或，選C.五 、課堂小結(jié)1認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)區(qū)分yax2與y22px (p>0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2mx (m0)或x2my(m0)2拋物線的離心率e1，體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等

19、于到準(zhǔn)線的距離因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問(wèn)題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，即|PF|x|或|PF|y|.六 、課后作業(yè)基礎(chǔ)1已知拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線與曲線x2y24x50相切，則p的值為()A2 B1 C. D.2已知拋物線y22px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()Ax1 Bx1 Cx2 Dx23已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y

20、2)，則的值一定等于()A4 B4 Cp2 Dp24(2019·浙江)如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()A. B. C. D.答案與解析1.答案A解析曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y29，其表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x，由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切得23，解得p2，故選A.2.答案B解析y22px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為yx，即xy，將其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)

21、，則y1y22p，p2，拋物線的方程為y24x，其準(zhǔn)線方程為x1.3.答案A解析若焦點(diǎn)弦ABx軸，則x1x2，所以x1x2；y1p，y2p，y1y2p2，4.若焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸，可設(shè)AB的直線方程為yk(x)，聯(lián)立y22px得k2x2(k2p2p)x0，則x1x2.所以y1y2p2.故4.4.答案A解析由圖形可知，BCF與ACF有公共的頂點(diǎn)F，且A，B，C三點(diǎn)共線，易知BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點(diǎn)F(1，0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x1.點(diǎn)A，B在拋物線上，過(guò)A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點(diǎn)K，H，且與y軸分別交于點(diǎn)N，M.由拋物線定義，得|BM|BF

22、|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.鞏固1(2019·課標(biāo)全國(guó))設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|等于()A. B6 C12 D72已知拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A、B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.3.如圖，過(guò)拋物線y22px (p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為_(kāi)4已知一條過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線與拋物線y22x交于A，B兩點(diǎn)，且P是弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為_(kāi)5.如圖，已知

23、拋物線y22px (p>0)有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，兩直角邊OA與OB的長(zhǎng)分別為1和8，求拋物線的方程6已知點(diǎn)F為拋物線E：y22px(p0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2，m)在拋物線E上，且|AF|3.(1)求拋物線E的方程；(2)已知點(diǎn)G(1,0)，延長(zhǎng)AF交拋物線E于點(diǎn)B，證明：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切答案與解析1答案C解析焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，方法一直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為y，即yx，代入y23x，得x2x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，所以|AB|x1x2p12，故選C.方法二由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得|AB|12.2答案

24、6解析由題意知B，代入方程1得p6.3答案y23x解析如圖，分別過(guò)A、B作AA1l于A1，BB1l于B1，由拋物線的定義知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130°，AFx60°，連接A1F，則AA1F為等邊三角形，過(guò)F作FF1AA1于F1，則F1為AA1的中點(diǎn)，設(shè)l交x軸于K，則|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，拋物線方程為y23x.4答案xy10解析依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有y2x1，y2x2，兩式相減得yy2(x1x2)，即1，直線AB的斜率為1，直線AB的方程是y1x2，即xy10.

25、5解設(shè)直線OA的方程為ykx，k0，則直線OB的方程為yx，由得x0或x.A點(diǎn)坐標(biāo)為，同理得B點(diǎn)坐標(biāo)為(2pk2，2pk)，由|OA|1，|OB|8，可得÷得k664，即k24.則p2.又p>0，則p，故所求拋物線方程為y2x.6方法一(1)解由拋物線的定義得|AF|2.因?yàn)閨AF|3，即23，解得p2，所以拋物線E的方程為y24x.(2)證明因?yàn)辄c(diǎn)A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m±2，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，從而B(niǎo).又G(1,0)，所以kGA，kGB.

26、所以kGAkGB0，從而AGFBGF，這表明點(diǎn)F到直線GA，GB的距離相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切方法二(1)解同方法一(2)證明設(shè)以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因?yàn)辄c(diǎn)A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m±2，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20.解得x2或x，從而B(niǎo).又G(1,0)，故直線GA的方程為2x3y20.從而r.又直線GB的方程為2x3y20.所以點(diǎn)F到直線GB的距離dr.這表明以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切拔高1.設(shè)直線l與拋物線

27、y24x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓(x5)2y2r2(r0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是()A(1,3) B(1,4) C(2,3) D(2,4)2已知拋物線y2x，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，·2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則ABO與AFO面積之和的最小值是()A2 B3 C. D.3拋物線C：x28y與直線y2x2相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C上異于A，B的一點(diǎn)，若直線PA，PB分別與直線y2相交于點(diǎn)Q，R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·_.4 如圖，已知拋物線C：x24y，過(guò)點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作y軸

28、的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上；(2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y2相交于點(diǎn)N1，與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2，證明：|MN2|2|MN1|2為定值，并求此定值5.已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0)，焦點(diǎn)為F(0,1)(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)若直線AO，BO分別交直線l：yx2于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值答案與解析1答案D 解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則相減得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，符合條件的直線l必有兩條；當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，如圖x1x2，則有·2，即y0·k2，由CMAB得，k·1，y0·k5x0,25x0，x03，即M必在直線x3上，將x3代入y24x，得y212，2y02，點(diǎn)M在圓上，(x05)2yr2，r2y412416，又y44，4r216，2r4.故選D.2答案B解析如圖，可設(shè)